Stanisław Kowalski,

Wykłady z matematyki –

Funkcje dwu zmiennych

– wykład 14.

48

Całka podwójna na prostok cie

Niech

R

→

2

:

R

f

b dzie funkcj okre lon i ograniczon w prostok cie

]

,

[

]

,

[

d

c

b

a

P

×

=

.

Podzielmy prostok t

]

,

[

]

,

[

d

c

b

a

P

×

=

na dowoln liczb prostok tów

i

P ,

n

i

≤

≤

1

, o rozł cznych wn trzach

(linie podziałów s równoległe do osi układu). Oznaczmy ten podział przez

Π.

Niech

)

,

(

1

1

η

ξ

,

)

,

(

2

2

η

ξ

, ... ,

)

,

(

n

n

η

ξ

oznaczaj punkty wybrane dowolnie, po jednym z ka dego prostok ta:

}

,...,

2

,

1

,

)

,

(

:

)

,

(

{

)

(

n

i

P

i

i

i

i

i

=

∈

η

ξ

η

ξ

=

Π

ω

Utwórzmy sum

(

)

|

|

)

,

(

...

|

|

)

,

(

|

|

)

,

(

)

(

,

2

2

2

1

1

1

n

n

n

P

f

P

f

P

f

S

⋅

η

ξ

+

+

⋅

η

ξ

+

⋅

η

ξ

=

Π

ω

Π

.

Sum t nazywa si sum Riemanna funkcji f odpowiadaj c podziałowi

Π przedziału

]

,

[ b

a

i wyborowi

ω(Π)

punktów po rednich.

Znaczenie geometryczne sumy

(

)

)

(

,

Π

ω

Π

S

jest oczywiste, gdy funkcja f jest w prostok cie

]

,

[

]

,

[

d

c

b

a

P

×

=

nieujemna. Wówczas iloczyn

|

|

)

,

(

i

i

i

P

f

⋅

η

ξ

jest obj to ci prostopadło cianu o podstawie

|

|

i

P i wysoko ci

)

,

(

i

i

f

η

ξ

.

Suma

(

)

)

(

,

Π

ω

Π

S

jest sum obj to ci prostopadło cianów o podstawach

|

|

1

P ,

|

|

2

P ,...,

|

|

n

P i wysoko ciach

)

,

(

1

1

η

ξ

f

,

)

,

(

2

2

η

ξ

f

, ... ,

)

,

(

n

n

f

η

ξ

.

Długo najwi kszej przek tnej prostok ta wchodz cego w skład podziału

Π oznaczamy δ(Π) i nazywamy

rednic podziału

Π

.

Definicja.

Je li istnieje liczba I taka, e ró nica

(

)

|

)

(

,

|

I

S

−

Π

ω

Π

jest dowolnie mała dla dostatecznie „drobnych” podziałów

Π i to niezale nie od wyboru ω(Π) punktów po rednich, to

liczb I nazywa si

całk oznaczon

funkcji f na prostok cie

]

,

[

]

,

[

d

c

b

a

P

×

=

i oznacza symbolem

P

dx

y

x

f

)

,

(

.

Je li istnieje

P

dx

y

x

f

)

,

(

, to mówimy, e

funkcja

f

jest całkowalna w sensie Riemanna

w prostok cie

P.

Definicja.

Je eli funkcja f jest ci gła w prostok cie

]

,

[

]

,

[

d

c

b

a

P

×

=

, to całki

dx

dy

y

x

f

dy

y

x

f

dx

b

a

d

c

b

a

d

c

=

)

,

(

)

,

(

,

dy

dx

y

x

f

dx

y

x

f

dy

d

c

b

a

d

c

b

a

=

)

,

(

)

,

(

nazywa si całkami iterowanymi.

Twierdzenie Fubiniego.

Je eli funkcja f jest ci gła w prostok cie

]

,

[

]

,

[

d

c

b

a

P

×

=

, to istniej całki iterowane i zachodz zale no ci

=

b

a

d

c

P

dy

y

x

f

dx

dy

dx

y

x

f

)

,

(

)

,

(

,

=

d

c

b

a

P

dx

y

x

f

dy

dy

dx

y

x

f

)

,

(

)

,

(

Stanisław Kowalski,

Wykłady z matematyki –

Funkcje dwu zmiennych

– wykład 14.

1.

Przykład.

Oblicz

+

−

P

dy

dx

xy

x

)

6

2

(

3

,

]

4

,

1

[

]

2

,

1

[

−

×

=

P

.

[

]

=

+

−

=

+

−

=

+

−

=

−

=

−

dx

y

xy

y

x

dy

xy

x

dx

dy

dx

xy

x

y
y

P

2

1

4

1

2

3

2

1

4

1

3

3

6

)

6

2

(

)

6

2

(

4

105

2

1

3

)

30

15

5

(

=

+

−

dx

x

x

2.

Przykład.

Oblicz

+

P

dy

dx

x

y

y

x

)

sin

cos

(

,

]

,

0

[

]

,

0

[

2

2

π

π

×

=

P

.

[

]

=

+

=

+

=

+

π

=
=

π

π

π

2

1

2

2

1

2

1

0

0

2

2

1

0

0

sin

sin

)

sin

cos

(

)

sin

cos

(

dx

x

y

y

x

dy

x

y

y

x

dx

dy

dx

x

y

y

x

y
y

P

2

4

1

0

2

8

1

2

1

)

sin

(

π

=

π

+

π

dx

x

x

3.

Przykład.

Oblicz

+

P

dy

dx

x

y

y

x

)

sin

cos

(

2

2

,

]

,

0

[

]

,

0

[

2

2

π

π

×

=

P

.

[

]

=

+

=

+

=

+

π

=
=

π

π

π

2

1

2

2

1

2

1

0

0

3

3

1

2

0

0

2

2

2

2

sin

sin

)

sin

cos

(

)

sin

cos

(

dx

x

y

y

x

dy

x

y

y

x

dx

dy

dx

x

y

y

x

y
y

P

3

12

1

0

3

24

1

2

2

1

)

sin

(

π

=

π

+

=

π

dx

x

x

48

Całka podwójna na obszarze normalnym

Definicja.

Zbiór

2

R

D ⊂

nazywa si

obszarem normalnym

wzgl dem osi odci tych, je li mo na okre li go nast puj co:

)}

(

)

(

,

:

)

,

{(

x

y

x

b

x

a

y

x

ψ

≤

≤

ϕ

≤

≤

=

D

gdzie funkcje

ϕ i ψ s ci głe w [a, b] i

)

(

)

(

x

x

ψ

≤

ϕ

dla wszystkich

]

,

[ b

a

x

∈

.

Fakt.

Je eli funkcja f jest ci gła i ograniczona w obszarze normalnym

)}

(

)

(

,

:

)

,

{(

x

y

x

b

x

a

y

x

ψ

≤

≤

ϕ

≤

≤

=

D

, to

ψ

ϕ

=

b

a

x

x

D

dy

y

x

f

dx

dy

dx

y

x

f

)

(

)

(

)

,

(

)

,

(

4.

Przykład.

Oblicz

+

+

D

dy

dx

x

y

xy

y

x

)

4

(

2

2

, gdzie

D jest obszarem ograniczonym krzywymi

x

x

y

2

2

−

=

,

x

y 2

=

.

Stanisław Kowalski,

Wykłady z matematyki –

Funkcje dwu zmiennych

– wykład 14.

D:

4

0

≤

≤ x

,

x

y

x

x

2

2

2

≤

≤

−

[

]

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

−

=

−

4

0

2

2

3

3

1

2

2

2

2

1

4

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

4

(

)

4

(

dy

xy

xy

y

x

dy

xy

xy

y

x

dx

dy

dx

xy

xy

y

x

x

y

x

x

y

x

x

x

D

761

04

19

,

780

)

4

(

21

16384

4

3

40

5

4

0

6

2

3

7

3

1

=

=

+

−

+

−

=

dx

x

x

x

x

5.

Przykład.

Oblicz pole obszaru

D ograniczonego krzywymi

2

2x

y

=

,

1

2

+

= x

y

.

D:

1

1

≤

≤

−

x

,

1

2

2

2

+

≤

≤

x

y

x

[ ]

3

4

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

)

1

(

|

|

2

2

2

2

=

−

=

=

=

=

−

−

+

=
=

−

+

dx

x

dx

y

dy

dx

dy

dx

x

y

x

y

x

x

D

D