CAŁKI PODWÓJNE

CAŁKI PODWÓJNE PO PROSTOKĄCIE

Definicja 1 (podział prostokąta)

Podziałem prostokąta R = {( x, y) : a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d }

nazywamy zbiór P złożony z prostokątów R , R ,..., R , które 1

2

n

całkowicie wypełniają prostokąt R i mają parami rozłączne wnętrza.

Oznaczenia:

x

∆ , y

∆ – wymiary prostokąta R .

k

k

k

∂( P) = max{ ( x

∆ )2 + ( y

∆ )2 : 1 ≤ k ≤ }

n – średnica podziału P.

k

k

CAŁKA PODWÓJNA 2 / 26

Definicja 2 (suma całkowa funkcji po prostokącie)

Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie R

oraz niech P będzie podziałem tego prostokąta, a Ξ = {( *

x , *

y ), ( *

x , *

y ),...,( *

x , *

y ),} zbiorem punktów pośrednich.

1

1

2

2

n

n

Sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi P oraz punktom pośrednim Ξ nazywamy liczbę

n

∑ f ( *

x , *

y )( x

∆ )(∆ y ).

k

k

k

k

k 1

=

Uwaga 1

Suma całkowa jest przybliżeniem objętości bryły ograniczonej

wykresem funkcji z = f ( x, y) > 0 nad prostokątem R oraz płaszczyzną xOy przez sumę objętości prostopadłościanów o podstawach R i wysokościach f ( *

x , *

y ) dla 1 ≤ k ≤ n.

k

k

k

CAŁKA PODWÓJNA 3 / 26

Definicja 3 (całka podwójna po prostokącie) Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie R.

Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie R oznaczoną symbolem ∫∫ f ( x, y) dP definiujemy wzorem: R

n

∫∫ f ( x, y) dxdy = lim ∑ f ( *

x , *

y )(∆ x )( y

∆ ),

k

k

k

k

∂( P)→0

R

k 1

=

o ile jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału prostokąta ani od sposobów wyboru punktów pośrednich Ξ.

Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna na prostokącie R.

Fakt 1

Funkcja ciągła na prostokącie jest na nim całkowalna.

CAŁKA PODWÓJNA 4 / 26

Twierdzenie 1 (liniowość całki)

Niech f i g będą całkowalne na prostokącie R oraz niech α, β

będą liczbami rzeczywistymi. Wtedy

∫∫ ( f

α ( x, y) + β g( x, y)) dP = α∫∫ f ( x, y) dP + β ∫∫ g( x, y) dP.

R

R

R

Twierdzenie 2 (addytywność całki względem obszaru całkowania)

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostokącie R, to dla dowolnego podziału tego prostokąta na prostokąty R , R

1

2

o rozłącznych wnętrzach zachodzi

∫∫ f ( x, y) dxdy = ∫∫ f ( x, y) dxdy + ∫∫ f ( x, y) dxdy.

R

1

R

2

R

CAŁKA PODWÓJNA 5 / 26

Twierdzenie 3 (o zamianie całki podwójnej na całki iterowane)

Jeżeli funkcja f jest ciągła na prostokącie [ a, b]×[ c, d ], to b d

d

b









∫∫ f ( x, y) dxdy = ∫ ∫ f ( x, y) dy dx



= ∫ ∫ f ( x, y) dx dy

 .

[ a, b] [× c, d]

a  c



c  a



Uwaga 2

Zamiast

b d





d

b





∫ ∫ f ( x, y) dy dx



 i ∫ ∫ f ( x, y) dx dy



a  c



c  a



piszemy odpowiednio

b

d

d

b

∫ dx ∫ f ( x, y) dy i ∫ dy∫ f ( x, y) dx .

a

c

c

a

CAŁKA PODWÓJNA 6 / 26

Przykład 1

Obliczyć całki iterowane:

4

3

2

3

1) ∫ dx∫ ( x − 2

y ) dy , 2) ∫ dy∫ ( x +

2

xy ) dx .

0

2

−1

0

Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach:

1) ∫∫ x 2 y 2 dxdy , R = [ ]

1

,

0

×[− ]

1

,

1 ,

R

 π π   π 

2) ∫∫ sin( x + y) dxdy , R = − ,

×



  ,

0

.

 4 4   4 

R

CAŁKA PODWÓJNA 7 / 26

Twierdzenie 4 (całka podwójna z funkcji o rozdzielonych zmiennych)

Jeżeli funkcja f jest funkcją postaci f ( x, y) = g( x) h( y), gdzie funkcje g i h są ciągłe odpowiednio na przedziałach [ a, b] i [ c, d ], to

 b

  d



∫∫ f ( x, y) dxdy =  ∫ g( x) dx ⋅  ∫ h( y) dy  .

[ a, b] [× c, d]

 a

  c



Przykład 2

Podane całki zamienić na sumy i iloczyny całek pojedynczych:

1) ∫∫ x+ y

e

dxdy , R = [ ]

1

,

0

×[− ]

1

,

1 ,

R

 π π   π 

2) ∫∫ cos( x + y) dxdy , R = − ,

×



  ,

0

.

 4 4   4 

R

CAŁKA PODWÓJNA 8 / 26

CAŁKI PODWÓJNE PO OBSZARACH NORMALNYCH

Definicja 4 (obszary normalne względem osi układu)

1. Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym

względem osi Ox, jeżeli

D = {( x, y) : a ≤ x ≤ b , g( x) ≤ y ≤ h( x)}, gdzie funkcje g i h są ciągłe na a, b .

2. Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym

względem osi Oy, jeżeli

D = {( x, y) : p( y) ≤ x ≤ q( y) , c ≤ y ≤ d}, gdzie funkcje p i q są ciągłe na c, d .

CAŁKA PODWÓJNA 9 / 26

Przykład 3

Zbadać, czy obszary ograniczone podanymi krzywymi są

normalne względem osi Ox i osi Oy. Naszkicować te obszary.

1)

2

y = ,

0 x = ,

1 y = x ,

2)

2

y = ,

2 x = ,

0 y = x ,

3)

2

2

y = − x + ,

2 y = x ,

4) y = 3 x ,

2

y = x − 2.

CAŁKA PODWÓJNA 10 / 26

Twierdzenie 5 (obliczanie całki po obszarach normalnych)

1. Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym D = {( x, y) : a ≤ x ≤ b , g( x) ≤ y ≤ h( x)}

normalnym względem osi Ox, to

b h( x



)



∫∫ f ( x, y) dxdy = ∫

∫ f ( x, y) dy dx



 .

D

a  g ( x)



2. Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym D = {( x, y) : p( y) ≤ x ≤ q( y) , c ≤ y ≤ d}

normalnym względem osi Oy, to

d

q( y



)



∫∫ f ( x, y) dxdy = ∫

∫ f ( x, y) dx dy



 .

D

c  p( y )



CAŁKA PODWÓJNA 11 / 26

Przykład 4

Zamienić całkę podwójną ∫∫ f ( x, y) dxdy na całki iterowane, jeżeli D

obszar D jest ograniczony przez:

1) y = 1 + 2

2

x − x , x = ,

0 x = ,

2 y = 0,

2)

2

x = y , y = x − 2.

Obliczyć całki iterowane. Narysować obszar całkowania.

3

3 x

π / 2

2 x

1) ∫ dx ∫

2

( x − y) dy , 2) ∫ dx ∫ sin( x + y) dy.

0

x

0

0

Obliczyć całki podwójne po obszarach normalnych:

1) ∫∫ ( x 2 − xy 2 ) dxdy,

2

D = {( x, y) : y ≥ x , y ≤ 4 x − x , D

2) ∫∫ x 2 ydxdy ,

2

2

D = {( x, y) : y ≥ x , y ≤ 3 x − x .

D

CAŁKA PODWÓJNA 12 / 26

Definicja 5 (obszar regularny na płaszczyźnie)

Sumę skończonej liczby obszarów normalnych (względem osi Ox

lub osi Oy) o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie.

Fakt 2

Niech obszar regularny D będzie sumą obszarów normalnych D 1, D 2, …, D n o rozłącznych wnętrzach oraz niech funkcja f będzie całkowalna na D.

Wtedy

∫∫ f ( x, y) dxdy = ∫∫ f ( x, y) dxdy + ∫∫ f ( x, y) dxdy + ... + ∫∫ f ( x, y) dxdy D

D

D

D

1

2

n

CAŁKA PODWÓJNA 13 / 26

Przykład 5

Obliczyć całki podwójne po obszarach ograniczonych krzywymi:

1

1) ∫∫ xydxdy , D : y = x , y =

, y = ,

0 x = 4,

D

x

2) ∫∫ ydxdy , D :

2

y = x , y = − x + ,

4 y = ,

0 x ≥ 0.

D

Przykład 6

Obliczyć całki podwójne po obszarze D : x

2

2

+ y ≤ ,

3 x ≥ ,

0 y ≥ 0:

1. ∫∫ dxdy ,

D

2. ∫∫

2

( x + 2

y ) dxdy .

D

CAŁKA PODWÓJNA 14 / 26

ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁKACH PODWÓJNYCH

Definicja 6 (przekształcenie obszarów na płaszczyźnie)

Niech ∆ i D będą obszarami odpowiednio na płaszczyznach uOv i xOy . Przekształceniem obszaru ∆ w obszar D nazywamy funkcję τ : ∆ → D określoną wzorem:

( x, y) =τ ( u, v) = (ϕ( u, v),ψ ( u, v)), gdzie ( u, v)∈ ∆.

Obrazem zbioru ∆ przy przekształceniu τ nazywamy zbiór

τ(∆) = ({ x, y) : x =ϕ( u, v) , y =ψ( u, v) , ( u, v)∈ }

∆ .

Przekształcenie τ nazywamy:

1. Ciągłym, jeżeli funkcje ϕ i ψ są ciągłe na obszarze ∆ ,

2. Różnowartościowym, jeżeli różnym punktom obszaru ∆

odpowiadają różne punkty jego obrazu D .

CAŁKA PODWÓJNA 15 / 26

Fakt 3

Obraz obszaru przy przekształceniu ciągłym i różnowartościowym

jest również obszarem.

Definicja 7 (jakobian przekształcenia)

Jakobianem przekształcenia τ ( u, v) = (ϕ( u, v),ψ ( u, v)) nazywamy funkcję określoną wzorem:

 ∂ϕ

∂ϕ





( u, v)

( u, v) 

∂ u

∂

J ( u, v)

τ

= det

v

∂ψ

∂ψ

.



( u, v)

( u, v)

 ∂ u

∂ v



Uwaga 3

∂(ϕ,ψ )

D(ϕ,ψ )

Jakobian oznacza się również przez ∂

lub

.

( u, v)

D( u, v)

CAŁKA PODWÓJNA 16 / 26

Twierdzenie 6 (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)

Niech

 x = ϕ( u, v)

1. przekształcenie τ : 

odwzorowuje

 y =ψ ( u, v)

różnowartościowo wnętrze obszaru regularnego ∆ na wnętrze

obszaru regularnego D ,

2. funkcje ϕ i ψ mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego

rzędu na pewnym zbiorze otwartym zawierającym obszar ∆ ,

3. funkcja f jest ciągłą na obszarze D ,

4. jakobian τ

J jest różny od zera wewnątrz obszaru D .

Wtedy

∫∫ f ( x, y) dxdy = ∫∫ f (ϕ( u, v),ψ ( u, v)) J ( u, v) dudv τ

.

D

∆

CAŁKA PODWÓJNA 17 / 26

WSPÓŁRZĘDNE BIEGUNOWE W CAŁKACH PODWÓJNYCH

Definicja 8 (współrzędne biegunowe)

Położenie punktu P na płaszczyźnie można opisać parą liczb ( r,ϕ ), gdzie:

r – oznacza odległość punktu P od początku układu współrzędnych, przy czym 0 ≤ r < ∞

ϕ – oznacza miarę kąta między dodatnią częścią osi Ox a promieniem wodzącym punktu P, przy czym 0 ≤ ϕ ≤ π

2

albo − π ≤ ϕ ≤ π .

Parę liczb ( r,ϕ ) nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu płaszczyzny.

CAŁKA PODWÓJNA 18 / 26

Fakt 4

Współrzędne kartezjańskie ( x, y) punktu płaszczyzny danego we współrzędnych biegunowych ( r,ϕ ) określone są wzorami:

 x =

Β

r cosϕ

: 

.

 y = r sinϕ

Jakobian przekształcenia biegunowego Β wynosi r, tj.

J ( r

Β

,ϕ ) = r .

CAŁKA PODWÓJNA 19 / 26

Fakt 5

Współrzędne kartezjańskie ( x, y) punktu płaszczyzny danego we współrzędnych biegunowych uogólnionych ( r,ϕ ) określone są wzorami:

 x =

Β

ar cosϕ

: 

.

 y = br sinϕ

Jakobian przekształcenia biegunowego Β wynosi abr , tj.

J ( r

Β

,ϕ ) = abr.

Współrzędne biegunowe uogólnione stosuje się dla elipsy

o równaniu

2

2

x + y =1.

2

2

a

b

CAŁKA PODWÓJNA 20 / 26

Twierdzenie 7 (współrzędne biegunowe w całce podwójnej)

Niech

1. obszar ∆ we współrzędnych biegunowych będzie regularny,

2. funkcja f będzie ciągła na obszarze D , który jest obrazem zbioru ∆ przy przekształceniu biegunowym; D = (

Β ∆).

Wtedy

∫∫ f ( x, y) dxdy = ∫∫ f ( r cosϕ, r sinϕ ) r d

rdϕ .

D

∆

CAŁKA PODWÓJNA 21 / 26

Przykład 7

Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całki:

1) ∫∫

2

xy dxdy , D

: x

2

2

+ y ≤ ,

4 x ≥ 0,

D

( 2

ln x + 2

y )

2) ∫∫

dxdy , D : 1

≤ x2

2

+ y ≤ ,

4 y ≥ 0,

2

2

D

x + y

3) ∫∫ ( 2

x + 2

y ) dxdy, D : x

2

2

+ y − 2 x ≤ 0.

D

3

1

1

∫ sin4 xdx = x − sin 2 x +

sin 4 x + C

8

4

32

CAŁKA PODWÓJNA 22 / 26

Uwaga 4

Jeżeli we współrzędnych biegunowych obszar ∆ ma postać

∆ = {( r,ϕ) : α ≤ ϕ ≤ β , g(ϕ) ≤ r ≤ h(ϕ)}

gdzie funkcje g i h są ciągłe na przedziale α, β ⊂

,

0 π

2

, to

β

h(ϕ )

∫∫ f ( r cosϕ, r sinϕ )

r dr ϕ

d

= ∫ ϕ

d

∫ f ( r cosϕ, r sinϕ )

r dr.

∆

α

g (ϕ )

Współrzędne biegunowe stosujemy głównie wtedy, gdy obszar

całkowania jest ograniczony łukami okręgów o środku w początku

układu współrzędnych oraz odcinkami prostych przechodzących

przez początek układu.

CAŁKA PODWÓJNA 23 / 26

ZASTOSOWANIA CAŁEK PODWÓJNYCH W GEOMETRII

Pole obszaru regularnego

2

D ⊂ R wyraża się wzorem:

D = ∫∫ dP .

D

Objętość bryły V położonej nad obszarem regularnym 2

D ⊂ R

i ograniczonej z dołu i z góry odpowiednio wykresami funkcji

ciągłych z = d ( x, y) i z = g( x, y) wyraża się wzorem: V = ∫∫ [ g( x, y) − d ( x, y)] dP.

D

Pole płata S , który jest wykresem funkcji z = f ( x, y), gdzie ( x, y) ∈ D wyraża się wzorem:

 ∂ f 2  ∂ f 2

S = ∫∫ 1 + 

 + 

 dP .

D

 ∂ x 

 ∂ y 

CAŁKA PODWÓJNA 24 / 26

Przykład 8

Obliczyć:

1) pole powierzchni obszaru ograniczonego przez:

y = ex , y = ln x, x + y = , 1 x = 2,

2) objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

2

2

x + y = ,

1 x + y + z = ,

3 z = 0,

3) pole powierzchni płata z = 8 − 4 x − 2 y, gdzie x ≥ ,

0 y ≥ ,

0 z ≥ 0.

CAŁKA PODWÓJNA 25 / 26

ZASTOSOWANIA CAŁEK PODWÓJNYCH W FIZYCE

Masa obszaru

Momenty statyczne

Współrzędne środka masy

Momenty bezwładności

Parcie

Natężenie pola elektrycznego

Siła przyciągania grawitacyjnego

Energia kinetyczna

…

CAŁKA PODWÓJNA 26 / 26