WETI, r.ak. 2013/2014
CA LKI PODW ÓJNE
Zad.1 Obliczyć ca lki
Z Z
a)
xy2 sin(yx2) dxdy, gdzie obszar D określony jest nierównościami 0 ≤ x ≤ 2 i 0 ≤ y ≤ π/2
D
Z Z
b)
xy dxdy, gdzie obszar D jest ograniczony przez y = x, y = 2x, x = −1, x = 2
D
Z Z
c)
xy dxdy, gdzie obszar D jest ograniczony krzywymi y = x2, x = y2
D
Z Z
d)
(2x + y) dxdy, gdzie obszar D jest ograniczony przez x = 0, y = 0, x + y = 3
D
Z Z
π
e)
sin(x + y) dxdy, gdzie obszar D jest ograniczony przez y = 0, y = x, y + x = 2
D
Z Z
x
f)
dxdy, gdzie obszar D jest ograniczony przez y = x, x = 2y, x = 2
x2 + y2
D
Z Z
√
1
g)
x2y dxdy, gdzie obszar D ograniczony jest krzywymi y = − −x, y =
i prost¸
a y = −2
x
D
Z Z
√
h)
xy dxdy, gdzie obszar D ograniczony jest krzywymi y = −x2 + 4, y = 3 x i prost¸
a y = 0
D
Z Z
i)
(x2 + y2) dxdy, gdzie obszar D określony jest nierówności¸
a x2 + y2 ≤ 2ax
D
Z Z
y 2
j)
dxdy, gdzie obszar D określony jest nierównościami 1 ≤ x2 + y2 ≤ 2x x
D
Z Z
k)
ln(1 + x2 + y2) dxdy, gdzie D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 9 ∧ y ≥ 0}
D
Z Z
q
l)
1 − x2 − y2 dxdy, gdzie D = {(x, y) : x2 + y2 − x ≤ 0 ∧ y ≥ 0}
D
Z Z
q
m)
4 − x2 − y2 dxdy, gdzie D = {(x, y) : x2 + y2 − 2y ≤ 0 ∧ x ≥ 0}
D
Z Z
ln(x2 + y2)
n)
dxdy, gdzie D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ e2, x2 + y2 ≥ 1}
x2 + y2
D
Z Z
q
o)
x2 x2 + y2 dxdy, gdzie D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1, y ≥ x}
D
Z Z
dxdy
p)
√
, gdzie D = {(x, y) : x2 + y2 ≥ 1, x2 + y2 ≤ 4, y ≥ x}
x2 + y2
D
1
Z Z
√
+ x yey dxdy
3
r)
x+1
, gdzie obszar D jest ograniczony krzyw¸
a
q
q
2[3 3 ( π + 1)2 + π2 − 3 3 (arcsin y + 1)2 − (arcsin y)2]
D
2
4
π
y = sin x i prostymi y = 0, x = 0, x = 2
√
√
y
√
√
2
2
1
2
2 2 y
Z
Z
e x+1
Z
Z
2ye x
s)
dy
√
√
dx
t)
dy
dx
2 x(1 −
x3)(x + 1)2
x − x4
0
y2
0
y2
8
4
3
√
a
4
ax−x2
9
3
Z
Z
q
Z
Z
u)
dx
x2 + y2 dy
v)
dy
sin (πx3) dx
√
√
√
0
a
3 −
3
0
a2−x2
y
2
4
Zad.2 Obliczyć pola obszarów p laskich ograniczonych krzywymi
√
a) y = −x2 + 4, y = 3 x, y = 0 dla x ≤ 0
b) y = x, y = 1 , y = 2
x
c) x = 4 − y2, x = y − 2
d) y = x2, y = −x2 + x + 1
e) y = 3x2 − 4x, x = −1, x = 1, y = 0
f) xy = 1, xy = 2, y = x, y = 4x
g) y2 = x, y2 = 4x, x2 = y, x2 = 9y
h) y2 = x, y2 = 2x, xy = 2, xy = 4
√
i) x2 + y2 = 2y, x2 + y2 = 4y, y = x, y =
3x
Zad.3 Za pomoc¸
a ca lki podwójnej obliczyć obj¸etości bry l ograniczonych powierzchniami
√
a) z =
x2 + y2, z = 4
√
b) z = x2 + y2, z =
x2 + y2
c) z = x2 + y2, x2 + y2 = 1, z = 0
√
d) x + y + z =
2 oraz p laszczyznami uk ladu wspó lrz¸ednych e) x2 + y2 = 1, z = y − 1, z = 0
f) z = 7 − x2, z = −2, y = −1, y = 4
√
g) z =
x2 + y2, z = 6 − x2 − y2
x2
y2
x2
y2
h)
+
= 1, z =
+
, z = 0
16 √ 9
16
9
i) z =
x2 + y2, z = 1, z = 2
j) z2 = x2 + y2, x2 + y2 + z2 = 1
k) x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 3z
l) x2 + y2 = 2z, y + z = 4
m) z = 4 − 6(x2 + y2), z = 12y + 4
n) z = 28(x2 + y2) + 3, z = 56y + 3
x2
y2
o)
+
= 1, z = x2 + y2, z = x2 + y2 + 4
9
4
p) x2 + y2 − 4z2 = 0, x2 + y2 − 8x = 0
r) x2 + y2 = z2, x2 + y2 = 6 − z, dla z ≥ 0
s) x2 + y2 = 4, x + z = 2, x − z = 2
t) y2 + z2 − x = 1, x = 0
Zad.4 Obliczyć pole powierzchni
√
a) cz¸eści stożka z =
x2 + y2 ograniczonego powierzchni¸
a x2 + y2 = 4
x2
y2
x2
y2
b) wyci¸etej walcem
+
= 1 z paraboloidy 2z =
+
9
4
3
2
√
c) walca parabolicznego z = x2 wyci¸etego p laszczyznami y = 2x, y = 3x, x =
2
x2
y2
d) paraboloidy z =
+
zawartej wewn¸
atrz walca x2 + y2 = 4
2
2
e) wyci¸etego walcem x2 + y2 = 4 ze sfery x2 + y2 + z2 = 9
f) cz¸eści sfery x2 + y2 + z2 = R2 leż¸
acej wewn¸
atrz walca x2 + y2 = Rx
g) cz¸eści sfery x2 + y2 + z2 = 3a2 zawartej wewn¸
atrz paraboloidy x2 + y2 = 2az
√
h) cz¸eści powierzchni walcowej y =
2x ograniczonej p laszczyznami x = 8/9, z = y i z = −y x2
i) p lata wyci¸etego z walca x2 + y2 = 16 przez walec z = 4 +
i p laszczyzn¸e OXY
4
Zad.1
√
a)
1
b)
51
c)
1
d) −4, 5 e)
2 2−3
64
8
12
2
f )
π
g)
50, 29 h)
14 2
i)
3πa4
j)
− 18+π
6
3
2
8
√
k)
π (10 ln 10 − 9) l)
4−π
m) − 2 3 2 ( 2 − π ) n) 2π
o)
π
2
6
3
3
2
10
√
p) π
r)
1
s)
e −
e
t)
e2
v)
2
2
3
Zad.2
√
a)
11
b)
1, 5 − ln 2 c) 33, 5 d)
5
e) 4 f ) 3 ln 2
3
6
h)
10 ln 2 i) π+9
3
2
Zad.3
√
√
a)
64π
b)
π
c)
π
d)
2
e) 2π
f )
200 7
g)
32π
3
6
2
3
3
√
h) 6π
i)
7π
j)
0
k)
31−12 2 π l)
81π
m) 9π
n) 42π
3
6
4
o)
24π p)
1024
r)
32π
s)
16π
t)
π
9
3
2
Zad.4
√
√
√
√
a) 2 2π
b) 4π(2 2 − 1)
c)
13
d)
2π ( 125 − 1) e) 2π (3 −
5)
6
3
3
√
f )
R2( π − 1) g)
πa(3a −
9a2 − 6a)
2