CAŁKI PODWÓJNE
Zad.1. (E, 2 pkt.) Obliczyć całki:
a)
1
0
2
0
dydx
y
x
xy
b)
3
2
2
2
x
x
dydx
y
x
c)
2
1
2
1
y
y
dxdy
y
x
y
d)
4
2
2 x
x
dy
x
y
dx
e)
1
0
ln
0
y
x
dxdy
e
f)
1
0
0
y
y
x
dx
e
dy
g)
1
0
1
0
2
2
1
dydx
y
x
h)
dy
ydx
x
y
y
1
0
2
2
i)
1
0
1
0
2
x
xydy
dx
Zad.2. Obliczyć następujące całki:
a)
D
y
x
dxdy
2
, gdzie D – obszar ograniczony prostymi:
2
,
1
,
4
,
3
y
y
x
x
b)
D
xy
dxdy
ye
x
2
, gdzie D – obszar ograniczony prostymi:
4
,
0
,
1
,
0
y
y
x
x
c)
D
dxdy
y
x
, gdzie D – obszar ograniczony liniami:
2
,
1
,
4
,
2
x
y
y
x
x
d)
2
2
2
2
4
D
x
dxdy, y
x , y
x
y
Zad.3. Obliczyć pola obszarów płaskich ograniczonych krzywymi:
a)
x
y
y
y
x
3
,
2
2
2
b)
0
,
3
,
4
2
y
y
x
x
y
c)
1
,
2
3
x
x
y
x
y
d)
5
,
4
y
x
xy
e)
4
,
2
,
2
2
y
y
y
x
x
f)
2
,
1
,
,
ln
x
y
x
e
y
x
y
x
Zad.4. Korzystając z twierdzenia o zamianie zmiennych w całce podwójnej obliczyć:
a)
D
y
x
dxdy
e
2
2
, gdzie D:
0
,
0
,
1
2
2
y
x
y
x
b)
D
dxdy
y
x
2
2
1
ln
, gdzie
x
y
y
x
y
x
y
x
D
,
1
,
4
:
)
,
(
2
2
2
2
c)
D
dxdy
y
x
arcctg
, gdzie D – obszar ograniczony krzywymi
1
2
2
y
x
,
0
,
0
y
x
d)
D
dxdy
y
x
y
x
2
2
2
2
ln
, gdzie
2
2
2
1
:
)
,
(
e
y
x
y
x
D
Zad.5. Obliczyć objętość brył ograniczonych powierzchniami:
a)
2
2
1
y
x
z
, z = 0,
9
2
2
y
x
b)
4
2
2
2
y
x
z
,
3
z
,
3
z
c)
4
2
2
y
x
,
2
2
16
4
y
x
z
,
0
z
d)
z
y
x
3
2
2
,
2
2
4
y
x
z
e)
2
2
z
x
y
,
2
2
8
z
x
y
f)
2
2
9
y
x
z
,
2
2
y
x
z
g)
2
2
y
x
z
,
2
2
6
y
x
z
h)
2
2
4z
x
y
,
2
2
3
z
x
y
i)
2
2
y
x
z
,
2
2
6
y
x
z
j)
2
2
2
2
4
,
3
z
x
y
z
x
y