CAŁKI PODWÓJNE

Zad.1. (E, 2 pkt.) Obliczyć całki:

a)









1

0

2

0

dydx

y

x

xy

b)





 



3

2

2

2

x

x

dydx

y

x

c)





 





2

1

2

1

y

y

dxdy

y

x

y

d)

 

4

2

2 x

x

dy

x

y

dx

e)

 

1

0

ln

0

y

x

dxdy

e

f)

 

1

0

0

y

y

x

dx

e

dy

g)





1

0

1

0

2

2

1

dydx

y

x

h)

dy

ydx

x

y

y

 















1

0

2

2

i)

 



1

0

1

0

2

x

xydy

dx

Zad.2. Obliczyć następujące całki:

a)









D

y

x

dxdy

2

, gdzie D – obszar ograniczony prostymi:

2

,

1

,

4

,

3









y

y

x

x

b)



D

xy

dxdy

ye

x

2

, gdzie D – obszar ograniczony prostymi:

4

,

0

,

1

,

0









y

y

x

x

c)



D

dxdy

y

x

, gdzie D – obszar ograniczony liniami:

2

,

1

,

4

,

2

x

y

y

x

x









d)

2

2

2

2

4

D

x

dxdy, y

x , y

x

y



 



Zad.3. Obliczyć pola obszarów płaskich ograniczonych krzywymi:

a)

x

y

y

y

x

3

,

2

2

2







b)

0

,

3

,

4

2









y

y

x

x

y

c)

1

,

2

3











x

x

y

x

y

d)

5

,

4







y

x

xy

e)

4

,

2

,

2

2









y

y

y

x

x

f)

2

,

1

,

,

ln











x

y

x

e

y

x

y

x

Zad.4. Korzystając z twierdzenia o zamianie zmiennych w całce podwójnej obliczyć:

a)





D

y

x

dxdy

e

2

2

, gdzie D:

0

,

0

,

1

2

2









y

x

y

x

b)











D

dxdy

y

x

2

2

1

ln

, gdzie





x

y

y

x

y

x

y

x

D













,

1

,

4

:

)

,

(

2

2

2

2

c)



D

dxdy

y

x

arcctg

, gdzie D – obszar ograniczony krzywymi

1

2

2





y

x

,

0

,

0





y

x

d)











D

dxdy

y

x

y

x

2

2

2

2

ln

, gdzie





2

2

2

1

:

)

,

(

e

y

x

y

x

D









Zad.5. Obliczyć objętość brył ograniczonych powierzchniami:

a)

2

2

1

y

x

z







, z = 0,

9

2

2





y

x

b)

4

2

2

2







y

x

z

,

3



z

,





3



z

c)

4

2

2





y

x

,

2

2

16

4

y

x

z







,

0



z

d)

z

y

x

3

2

2





,

2

2

4

y

x

z







e)

2

2





z

x

y

,

2

2

8

 



z

x

y

f)

2

2

9

y

x

z







,

2

2

y

x

z





g)

2

2

y

x

z





,

2

2

6

y

x

z







h)

2

2

4z

x

y

  

,

2

2

3

z

x

y







i)

2

2

y

x

z





,

2

2

6

y

x

z







j)





2

2

2

2

4

,

3

z

x

y

z

x

y

 





