WŁASNOŚCI CAŁKI PODWÓJNEJ
I. Liniowość całki.
f, g – całkowalne w P,
R
,
1
O
αf + βg – całkowalne w P
oraz
2
O
P
P
P
gd
fd
d
g
f
II. Addywność całki względem obszaru całkowania.
f – całkowalna w prostokącie P, gdzie
P jest sumą dwóch prostokątów P
1
,P
2
,
,
2
1
P
P
P
o rozłącznych wnętrzach,
.
int
int
2
1
o
P
P
1
O
f – całkowalna w P
1
,
f – całkowalna w P
2
oraz
2
O
1
2
P
P
P
fd
fd
fd
III. Ograniczoność całki.
f – całkowalna w prostokącie P,
y
x
f
M
y
x
f
m
P
y
x
P
y
x
,
sup
:
,
inf
:
,
,
,
,
M
d
y
x
f
m
P
gdzie
- pole prostokąta P.
Twierdzenie
(
całkowe o wartości średniej
)
Z:
P
C
f
, gdzie C(P) – klasa funkcji ciągłych na prostokącie P
wartość średnia
,
,
1
)
(
:
:
T
P
d
y
x
f
A
f
P
A
gdzie
- pole prostokąta P.
Dowód
Korzystając z właśności III otrzymamy oszacowanie wartości średniej
M
d
y
x
f
m
P
,
1
funkcja f ciągła, więc spełniona jest własność Darboux
P
d
y
x
f
A
f
P
A
,
1
)
(
:
□
1
