1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
(a) f ( x, y) = x 2 + 4 x + 2 y 2 − 12 y + 3
(b) f ( x, y) = x 2 − 2 x − 4 y 2 + 8 y + 1
(c) f ( x, y) = x 2 + xy + y 2 − 4 x − 5 y + 2
(d) f ( x, y) = x 3 + 4 y 2 + 4 xy − 5 x − 8 y (e) f ( x, y) = ex(2 x + y 2)
(f) f ( x, y) = x 3 + 3 xy 2 − 51 x − 24 y (g) f ( x, y) = xy + 8 + 8
y
x
2. Obliczyć całki podwójne:
Z Z
(a)
( x + y) dxdy , gdzie K jest kwadratem o wierzchołkach (0 , 0) , (0 , 2) , (2 , 0) , (2 , 2).
K
Z Z
(b)
( xy − 4 y) dxdy , gdzie T jest trójkątem o wierzchołkach (0 , 0) , (0 , − 4) , (4 , 0).
T
Z Z
(c)
y dxdy , gdzie A jest zbiorem punktów ograniczonym liniami y = x + 1, y = x 2 − 1.
A
3. Zmienić kolejność całkowania (zadanie dodatkowe - takich nie będzie na kolokwium) 2
Z
4 −x
Z
(a)
dx
f ( x, y) dy
0
2
√
3
Z
9 −x 2
Z
(b)
dx
f ( x, y) dy
− 3
0
π
2
Z
2 x
Z
(c)
dx
f ( x, y) dy
0
sin x
1
Z
y 2+1
Z
(d)
dy
f ( x, y) dx
− 1
2 y 2
4. Obliczyć całki przy pomocy współrzędnych biegunowych:
Z Z p
(a)
3 x 2 + y 2 dxdy, gdzie A 1 jest kołem o środku (0 , 0) i promieniu 1
A 1
Z Z
1
(b)
dxdy, gdzie B = {( x, y) : 9 ¬ x 2 + y 2 ¬ 25 }
x 2 + y 2 − 1
B
Z Z
(c)
y dxdy, gdzie C = {( x, y) : x 2 + y 2 ¬ 4 ∧ y 0 }
C
Z Z p
(d)
x 2 + y 2 dxdy, gdzie D = {( x, y) : x 2 + y 2 ¬ 9 ∧ y x ∧ y −x}
D
5. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
(a) x 2 + y 2 = 1, z = 0, z = 8 − x 2 − y 2
p
(b) z = 6 −
x 2 + y 2, z = x 2 + y 2
(c) x 2 + y 2 = 4, x 2 + y 2 + z 2 = 9
(d) x 2 + y 2 = 1, y 2 + z 2 = 9