Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064
Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Przykłady do listy 1: Całki podwójne
Przykłady do zadania 1.1 :
Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach
(a)
Z Z
R
sin(x + y) dxdy, R =
−
π
4
,
π
4
×
0,
π
4
•
Z Z
R
sin(x + y) dxdy =
π
4
Z
−
π
4
dx
π
4
Z
0
sin(x + y)dy =
• =
π
4
Z
−
π
4
(− cos(x + y)
y=
π
4
y=0
dx =
π
4
Z
−
π
4
(− cos(x +
π
4
) + cos x)dx =
• = (− sin(x +
π
4
) + sin x
x=
π
4
x=−
π
4
= − sin
π
2
+ sin
π
4
+ sin 0 − sin
−
π
4
=
√
2 − 1
(b)
Z Z
R
(x
2
+ y
2
x) dxdy, R = [−1, 1] × [2, 4]
•
Z Z
R
(x
2
+ y
2
x) dxdy =
4
Z
2
dy
1
Z
−1
(x
2
+ y
2
x)dx =
• =
4
Z
2
x
3
3
+ y
2
·
x
2
2
x=1
x=−1
dy =
4
Z
2
2
3
+ 0
dy =
• =
2
3
· 2 =
4
3
(c)
Z Z
R
e
x+y
dxdy, R = [0, 1] × [0, 1]
•
Z Z
R
e
x+y
dxdy =
Z Z
R
e
x
e
y
dxdy =
• =
1
Z
0
e
x
dx
·
1
Z
0
e
y
dy
=
1
Z
0
e
x
dx
2
=
• =
e
x
x=1
x=0
2
= (e − 1)
2
(d)
Z Z
R
xy(x + y) dxdy, R = [−1, 1] × [−1, 1]
•
Z Z
R
xy(x + y) dxdy =
Z Z
R
x
2
y dxdy +
Z Z
R
xy
2
dxdy =
• =
1
Z
−1
x
2
dx
·
1
Z
−1
ydy
+
1
Z
−1
xdx
·
1
Z
−1
y
2
dy
= 2
1
Z
−1
x
2
dx
·
1
Z
−1
ydy
= 0,
bo druga całka w iloczynie równa jest 0 jako całka z funkcji nieparzystej po przedziale
symetrycznym względem 0.
1
Przykłady do zadania 1.2 :
Podane całki podwójne zamienić na całki iterowane i obliczyć. Narysować obszar całkowania.
(a)
Z Z
D
1
(1 + x + y)
2
dxdy, gdzie D =
n
(x, y) : 0 ¬ x ¬ 2,
x
2
¬ y ¬ 2x
o
• rysunek
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
y
x
2
0
y=2x
y=x/2
•
Z Z
D
1
(1 + x + y)
2
dxdy =
2
Z
0
dx
2x
Z
x
2
dy
(1 + x + y)
2
=
2
Z
0
−
1
1 + x + y
y=2x
y=
x
2
dx =
=
2
Z
0
−
1
1 + 3x
+
1
1 +
3
2
x
!
dx =
−
1
3
ln |1 + 3x| +
2
3
ln
1 +
3
2
x
x=2
x=0
= −
1
3
ln 7 +
2
3
ln 4
(b)
Z Z
D
e
xy
dxdy, gdzie D =
(x, y) : 1 ¬ x ¬ e, 0 ¬ y ¬
1
x
• rysunek
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
−0.5
0
0.5
1
1.5
y
x
1
e
y=1/x
y=0
•
Z Z
D
e
xy
dxdy =
e
Z
1
dx
1
x
Z
0
e
xy
dy =
e
Z
1
1
x
e
xy
y=
1
x
y=0
dx =
e
Z
1
1
x
e −
1
x
dx =
=
(e − 1) ln |x|
x=e
x=1
= e − 1
2
(c)
Z Z
D
x dxdy, gdzie D =
n
(x, y) : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬
√
1 − x
2
o
.
• rysunek
−0.5
0
0.5
1
1.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
y
x
1
0
y=(1−x
2
)
1/2
•
Z Z
D
x dxdy =
1
Z
0
dx
√
1−x
2
Z
0
xdy =
1
Z
0
xy
y=
√
1−x
2
y=0
dx =
1
Z
0
x
√
1 − x
2
dx =
y = 1 − x
2
dy = −2xdx
x 0 1
y 1 0
=
= −
1
2
0
Z
1
√
ydy =
−
1
2
·
y
3/2
3/2
y=0
y=1
=
1
3
Przykłady do zadania 1.3 :
Obszar D ograniczony jest krzywymi o podanych równaniach. Całke podwójną
Z Z
D
f (x, y) dxdy
(gdzie f (x, y) jest ciągła na D) zamienić na dwa rodzaje całek iterowanych.
(a) x = 0, y = 1, y = x
• rysunek
−0.5
0
0.5
1
1.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
y=1
x=0
y=x
1
1
0
x
y
• D to obszar normalny względem osi 0x, bo
D = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 1, x ¬ y ¬ 1}
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
1
Z
0
dx
1
Z
x
f (x, y)dy
• D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
D = {(x, y) : 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ x ¬ y}
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
1
Z
0
dy
y
Z
0
f (x, y)dx
3
(b) y = x
2
, y =
√
x
• rysunek
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y
x
1
1
0
y=x
2
y=x
1/2
• szukamy punktów wspólnych podanych krzywych:
x
2
=
√
x
x
4
= x, x 0
x(x
3
− 1) = 0, x 0
x = 0 ∨ x = 1
,
dla x = 0 mamy y = 0
2
= 0, dla x = 1 mamy y = 1
2
= 1
• D to obszar normalny względem osi 0x, bo
D = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 1, x
2
¬ y ¬
√
x}
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
1
Z
0
dx
√
x
Z
x
2
f (x, y)dy
• rysunek
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y
x
1
1
0
x=y
1/2
x=y
2
• D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
D = {(x, y) : 0 ¬ y ¬ 1, y
2
¬ x ¬
√
y}
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
1
Z
0
dy
√
y
Z
y
2
f (x, y)dx
4
(c) (x − 1)
2
+ (y + 2)
2
= 4
• krzywa to okrąg o środku (1, −2) i promieniu 2
• wyznaczenie dolnej i górnej funkcji:
(x − 1)
2
+ (y + 2)
2
= 4
y + 2 = ±
q
4 − (x − 1)
2
y = −2 ±
q
4 − (x − 1)
2
, −1 ¬ x ¬ 3
d(x) = −2 −
q
4 − (x − 1)
2
, g(x) = −2 +
q
4 − (x − 1)
2
, −1 ¬ x ¬ 3
• rysunek
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
−1
3
(1,−2)
y=−2+(4−(x−1)
2
)
1/2
y=−2−(4−(x−1)
2
)
1/2
0
y
x
• D to obszar normalny względem osi 0x, bo
D =
n
(x, y) : −1 ¬ x ¬ 3, −2 −
q
4 − (x − 1)
2
¬ y ¬ −2 +
q
4 − (x − 1)
2
o
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
3
Z
−1
dx
−2+
√
4−(x−1)
2
Z
−2−
√
4−(x−1)
2
f (x, y)dy
• wyznaczenie lewej i prawej funkcji:
(x − 1)
2
+ (y + 2)
2
= 4
x − 1 = ±
q
4 − (y + 2)
2
x = 1 ±
q
4 − (y + 2)
2
, −4 ¬ y ¬ 0
l(y) = 1 −
q
4 − (y + 2)
2
, p(y) = 1 +
q
4 − (y + 2)
2
, −4 ¬ y ¬ 0
• rysunek
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
−4.5
−3.5
−2.5
−1.5
−0.5
0.5
y
x
(1,−2)
−4
0
x=1+(4−(y+2)
2
)
1/2
x=1−(4−(y+2)
2
)
1/2
• D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
D =
n
(x, y) : −4 ¬ y ¬ 0, 1 −
q
4 − (y + 2)
2
¬ x ¬ 1 +
q
4 − (y + 2)
2
o
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
0
Z
−4
dy
1+
√
4−(y+2)
2
Z
1−
√
4−(y+2)
2
f (x, y)dx
5
(d) y = −1, y = 1, x = 2 −
√
1 − y
2
, x = −1 +
√
1 − y
2
• dwie ostatnie krzywe to półokręgi:
x = 2 −
√
1 − y
2
x − 2 = −
√
1 − y
2
(x − 2)
2
= 1 − y
2
(x − 2)
2
+ y
2
= 1, x ¬ 2
lewy półokrąg o środku (2, 0) i promieniu 1
x = −1 +
√
1 − y
2
x + 1 =
√
1 − y
2
(x + 1)
2
= 1 − y
2
(x + 1)
2
+ y
2
= 1, x 1
prawy półokrąg o środku (−1, 0) i promieniu 1
• rysunek
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
y
x
(−1,0)
(2,0)
1
−1
x=2−(1−y
2
)
1/2
x=−1+(1−y
2
)
1/2
• D to obszar normalny względem osi 0y, bo
D =
n
(x, y) : −1 ¬ y ¬ 1, −1 +
√
1 − y
2
¬ x ¬ 2 −
√
1 − y
2
o
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
1
Z
−1
dy
2−
√
1−y
2
Z
−1+
√
1−y
2
f (x, y)dx
6
• D nie jest obszarem normalnym względem osi 0x, ale jest sumą takich obszarów o roz-
łącznych wnętrzach
D = D
1
∪ D
2
∪ D
3
∪ D
4
∪ D
5
gdzie D
1
=
n
(x, y) : −1 ¬ x ¬ 0, −1 ¬ y ¬ −
q
1 − (x + 1)
2
o
D
2
=
n
(x, y) : −1 ¬ x ¬ 0,
q
1 − (x + 1)
2
¬ y ¬ 1
o
D
3
= [0, 1] × [−1, 1]
D
4
=
n
(x, y) : 1 ¬ x ¬ 2, −1 ¬ y ¬ −
q
1 − (x − 2)
2
o
D
5
=
n
(x, y) : 1 ¬ x ¬ 2,
q
1 − (x − 2)
2
¬ y ¬ 1
o
• rysunek
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
y
x
−1
0
1
2
y=1
y=−1
y=(1−(x−2)
2
)
1/2
y=−(1−(x−2)
2
)
1/2
y=(1−(x+2)
2
)
1/2
y=−(1−(x+2)
2
)
1/2
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
0
Z
−1
dx
−
√
1−(x+1)
2
Z
−1
f (x, y)dy +
0
Z
−1
dx
1
Z
√
1−(x+1)
2
f (x, y)dy+
+
1
Z
0
dx
1
Z
−1
f (x, y)dy +
2
Z
1
dx
−
√
1−(x−2)
2
Z
−1
f (x, y)dy +
2
Z
1
dx
1
Z
√
1−(x−2)
2
f (x, y)dy
7
(e) x = y
2
, y = x − 2
• D to obszar między parabolą x = y
2
a prostą x = y + 2
• rysunek
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
−2.5
−1.5
−0.5
0.5
1.5
2.5
x
y
−1
2
x=y
2
x=y+2
• szukamy punktów wspólnych tych krzywych:
y
2
= y + 2
y
2
− y − 2 = 0
∆ = 9
y
1
=
1−3
2
= −1, y
2
=
1+3
2
= 2
• D to obszar normalny względem osi 0y, bo
D = {(x, y) : −1 ¬ y ¬ 2, y
2
¬ x ¬ y + 2 }
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
2
Z
−1
dy
y+2
Z
y
2
f (x, y)dx
• D jest też obszarem normalnym względem osi 0x, wygodniej przedstawić go jako sumę
takich obszarów o rozłącznych wnętrzach
D = D
1
∪ D
2
gdzie D
1
= {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 1, −
√
x ¬ y ¬
√
x }
D
2
= {(x, y) : 1 ¬ x ¬ 4, x − 2 ¬ y ¬
√
x }
• rysunek
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
−2.5
−1.5
−0.5
0.5
1.5
2.5
y
x
y=x−2
y=x
1/2
y=−x
1/2
4
1
0
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
1
Z
0
dx
√
x
Z
−
√
x
f (x, y)dy +
4
Z
1
dx
√
x
Z
x−2
f (x, y)dy
8
(f) x = 0, y = e
2
, y = e
x
• rysunek
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x
2
e
2
1
0
y=e
2
x=ln(y)
y=e
x
x=0
• D to obszar normalny względem osi 0x, bo
D = {(x, y) : 1 ¬ y ¬ e
2
, 0 ¬ x ¬ ln y}
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
e
2
Z
1
dy
ln y
Z
0
f (x, y)dx
• x = ln y ⇐⇒ y = e
x
• Zatem D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
D = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 2, e
x
¬ y ¬ e
2
}
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
2
Z
0
dx
e
2
Z
e
x
f (x, y)dy
9
(g) y = 0, y = sin x, przy czym 0 ¬ x ¬ π
• rysunek
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
y
x
y=sin(x)
y=0
π
0
• D to obszar normalny względem osi 0x, bo
D = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x}
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
π
Z
0
dx
sin x
Z
0
f (x, y)dy
• y = sin x, 0 ¬ x ¬
π
2
⇐⇒ x = arc sin y, 0 ¬ y ¬ 1
y = sin x,
π
2
¬ x ¬ π ⇐⇒ x = π − arc sin y, 0 ¬ y ¬ 1
• rysunek
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
y
x
1
0
x=
π
−arcsin(x)
x=arcsin(x)
• Zatem D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
D = {(x, y) : 0 ¬ y ¬ 1, arc sin y ¬ x ¬ π − arc sin y}
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
1
Z
0
dy
π−arc sin y
Z
arc sin y
f (x, y)dx
10
Przykłady do zadania 1.4 :
Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
(a)
Z Z
D
e
−(x
2
+y
2
)
dxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywą x
2
+ y
2
= 2
• D = {(x, y) : x
2
+ y
2
¬ 2} - koło o środku (0, 0) i promieniu
√
2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
2
1/2
• D we współrzędnych biegunowych odpowiada ∆ = {(ϕ, ρ) : 0 ¬ ϕ ¬ 2π, 0 ¬ ρ ¬
√
2}
•
Z Z
D
e
−(x
2
+y
2
)
dxdy =
Z Z
∆
e
−ρ
2
ρ dρdϕ =
2π
Z
0
dϕ
√
2
Z
0
e
−ρ
2
ρ dρ =
2π
Z
0
dϕ
·
√
2
Z
0
e
−ρ
2
ρ dρ
=
= 2π ·
−
1
2
e
−ρ
2
√
2
0
= π(1 − e
−2
)
(b)
Z Z
D
dxdy
x
2
+ y
2
− 1
, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi x
2
+ y
2
= 9 i x
2
+ y
2
= 25
• D = {(x, y) : 9 ¬ x
2
+y
2
¬ 25} - pierścień kołowy o środku (0, 0) i promieniu wewnętrznym
3, zewnętrznym 5
−6
−4
−2
0
2
4
6
−6
−4
−2
0
2
4
6
y
x
3
5
• D we współrzędnych biegunowych odpowiada ∆ = {(ϕ, ρ) : 0 ¬ ϕ ¬ 2π, 3 ¬ ρ ¬ 5}
•
Z Z
D
dxdy
x
2
+ y
2
− 1
=
Z Z
∆
1
ρ
2
− 1
ρ dρdϕ =
2π
Z
0
dϕ
5
Z
3
ρ
ρ
2
− 1
dρ =
2π
Z
0
dϕ
·
5
Z
3
ρ
ρ
2
− 1
dρ
=
= 2π ·
1
2
ln |ρ
2
− 1|
5
3
= π(ln 24 − ln 8) = π ln 3
11
(c)
Z Z
D
y dxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi x
2
+ y
2
= 1, x
2
+ y
2
= 4, y = x, y = 0,
(x, y 0)
• D = {(x, y) : 1 ¬ x
2
+ y
2
¬ 4, 0 ¬ y ¬ x} - wycinek pierścienia kołowego o środku (0, 0) i
promieniu wewnętrznym 1, zewnętrznym 2
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
y
x
2
1
y=x
y=0
• D we współrzędnych biegunowych odpowiada ∆ =
n
(ϕ, ρ) : 0 ¬ ϕ ¬
π
4
, 1 ¬ ρ ¬ 2
o
•
Z Z
D
y dxdy =
Z Z
∆
(ρ sin ϕ) ρ dρdϕ =
π
4
Z
0
dϕ
2
Z
1
ρ
2
sin ϕ dρ =
π
4
Z
0
sin ϕ dϕ
·
2
Z
1
ρ
2
dρ
=
=
− cos ϕ
ϕ=
π
4
ϕ=0
·
ρ
3
3
ρ=2
ρ=1
=
−
√
2
2
+ 1
!
·
8
3
−
1
3
=
7(2 −
√
2)
3
(d)
Z Z
D
x dxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi x
2
+ (y − 1)
2
= 1, y = x, (x y)
• D = {(x, y) : x
2
+ (y − 1)
2
¬ 1, 0 ¬ y ¬ x} - fragment koła o środku (0, 1) i promieniu 1
leżący poniżej prostej y = x
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y
x
1
y=x
• x
2
+ (y − 1)
2
¬ 1 ⇐⇒ x
2
+ y
2
¬ 2y ⇐⇒ ρ
2
¬ 2ρ sin ϕ ⇐⇒ ρ ¬ 2 sin ϕ
Zatem D we współrzędnych biegunowych odpowiada ∆ =
n
(ϕ, ρ) : 0 ¬ ϕ ¬
π
4
, 0 ¬ ρ ¬ 2 sin ϕ
o
•
Z Z
D
x dxdy =
Z Z
∆
(ρ cos ϕ) ρ dρdϕ =
π
4
Z
0
dϕ
2 sin ϕ
Z
0
ρ
2
cos ϕ dρ =
π
4
Z
0
ρ
3
3
ρ=2 sin ϕ
ρ=0
cos ϕ dϕ =
=
2
3
π
4
Z
0
4 sin
3
ϕ cos ϕ dϕ =
2
3
sin
4
ϕ
π
4
0
=
2
3
√
2
2
!
4
=
1
6
12
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
calki podwojne lista1
14 wyklad calki podwojne
Zestaw Całki podwójne
16 Calki podwojneid 16744
Zestawy zadań matma, Calki podwojne, dr Anna Barbaszewska-Wiśniowska
calki podwojne id 287910 Nieznany
Arkusz nr 5 (Całki podwójne)
calki podwojne
Matematyka III (Ćw) Lista 07 Całki podwójne Odpowiedzi
22 calki podwojne
Całki podwójne przykłady
Matematyka III (Ćw) - Lista 07 - Całki podwójne, Zadania
ekstema funcji 2 zmiennych calki podwojne
09Calki wielokrotne 2. Interpretacja geometryczna i fizyczna całki podwójnej
Calki podwojne id 108020 Nieznany
03 Własności całki podwójnej
Calki Podwojne
Matematyka III (Ćw) - Lista 07 - Całki podwójne, Odpowiedzi
3 calki podwojne, teoria id 33 Nieznany (2)
więcej podobnych podstron