1.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:

(a)

f (x, y) = x

2

+ 4x + 2y

2

− 12y + 3

(b)

f (x, y) = x

2

− 2x − 4y

2

+ 8y + 1

(c)

f (x, y) = x

2

+ xy + y

2

− 4x − 5y + 2

(d)

f (x, y) = x

3

+ 4y

2

+ 4xy − 5x − 8y

(e)

f (x, y) = e

x

(2x + y

2

)

(f)

f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

− 51x − 24y

(g)

f (x, y) = xy +

8
y

+

8

x

2.

Obliczyć całki podwójne:

(a)

Z Z

K

(x + y) dxdy , gdzie K jest kwadratem o wierzchołkach (0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2).

(b)

Z Z

T

(xy − 4y) dxdy , gdzie T jest trójkątem o wierzchołkach (0, 0), (0, −4), (4, 0).

(c)

Z Z

A

y dxdy , gdzie A jest zbiorem punktów ograniczonym liniami y = x + 1, y = x

2

− 1.

3.

Zmienić kolejność całkowania (zadanie dodatkowe - takich nie będzie na kolokwium)

(a)

2

Z

0

dx

4−x

Z

2

f (x, y) dy

(b)

3

Z

−3

dx

√

9−x

2

Z

0

f (x, y) dy

(c)

π

2

Z

0

dx

2x

Z

sin x

f (x, y) dy

(d)

1

Z

−1

dy

y

2

+1

Z

2y

2

f (x, y) dx

4.

Obliczyć całki przy pomocy współrzędnych biegunowych:

(a)

Z Z

A

1

3

p

x

2

+ y

2

dxdy, gdzie A

1

jest kołem o środku (0, 0) i promieniu 1

(b)

Z Z

B

1

x

2

+ y

2

− 1

dxdy, gdzie B = {(x, y) : 9 ¬ x

2

+ y

2

¬ 25}

(c)

Z Z

C

y dxdy, gdzie C = {(x, y) : x

2

+ y

2

¬ 4 ∧ y ­ 0}

(d)

Z Z

D

p

x

2

+ y

2

dxdy, gdzie D = {(x, y) : x

2

+ y

2

¬ 9 ∧ y ­ x ∧ y ­ −x}

5.

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

(a)

x

2

+ y

2

= 1, z = 0, z = 8 − x

2

− y

2

(b)

z = 6 −

p

x

2

+ y

2

, z = x

2

+ y

2

(c)

x

2

+ y

2

= 4, x

2

+ y

2

+ z

2

= 9

(d)

x

2

+ y

2

= 1, y

2

+ z

2

= 9