GEOMETRIA I GRAFIKA INŻYNIERSKA

(3)

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI

KATEDRA URZĄDZEŃ ELEKTRYCZNYCH I TECHNIKI ŚWIETLNEJ

7. RZUTOWANIE PROSTOKĄTNE NA DWIE I WIĘCEJ
RZUTNI (Rzuty Monge’a)

7.1. Rzuty punktu na dwie rzutnie

Mając rzut, ukośny lub prostokątny, obiektu na jedną rzutnię, nie jesteśmy
w stanie odtworzyć rzeczywistego kształtu i rozmiarów obiektu. Na
przykład mając rzut w postaci równoległoboku nie wiemy czy obiektem
rzutowania był prostokąt, kwadrat czy nawet prostopadłościan. Może to być
także rzut równoległoboku na płaszczyznę równoległą. Ponadto, przy
pojedynczym rzucie, położenie obiektu w przestrzeni nie jest znane.

Potrzebne są co najmniej dwa rzuty. Najwygodniej jest, jeżeli będą to dwa rzuty
prostokątne na płaszczyzny wzajemnie mprostopadłe: pionową i poziomą. Rzutnie te
dzielą przestrzeń na 4 ćwiartki.

Rys. 7.1. Rzut punktu A na dwie rzutne

Weźmy pod uwagę punkt

A

w ćwiartce I.

Promienie rzutujące

p

1





1

i

p

2





2

przecinają się w punkcie

A

pod kątem

prostym wyznaczając płaszczyznę (nazwijmy
ją

e

) przecinającą rzutnię



1

i



2

w prostych

A’A

x

i

A”A

x

prostopadłych do osi

x

12

.

Punkty

A’

i

A”

to rzuty punktu

A

–

poziomy i pionowy. Takimi indeksami
będziemy je oznaczać.

Oznaczamy więc:

A’, B’, p’,



’

– rzuty poziome (punktów,

prostej, płaszczyzny),

A”, B”, p”,



”

– rzuty pionowe.

Odległość punktu A od rzutni poziomej nazywamy wysokością punktu A.
Odległość punktu A od rzutni pionowej nazywamy głębokością punktu A.

w

A

= |

AA‟| = |A”A

x

|

g

A

= |

AA”| = |A‟A

x

|

Dwa rzuty punktu określają w sposób jednoznaczny położenie
punktu w przestrzeni

Po sprowadzeniu układu do jednej płaszczyzny widzimy dwa rzuty punktu

A

natomiast sam punkt

A

na rysunku nie występuje. Mając dwa rzuty znamy lokalizację

punktu w przestrzeni i zawsze możemy do przestrzeni wrócić.

Rzuty prostokątne punktu na płaszczy-
zny wzajemnie prostopadłe leżą na
jednej prostej prostopadłej do krawędzi
przecięcia się płaszczyzn.

Proste prostopadłe do osi odpowiadają
prostym rzutującym i nazywane są
również promieniami rzutującymi.

Rys. 7.2. Położenie rzutu pionowego
i poziomego punktu A

Najczęściej przy posługiwaniu się rzutniami
rysujemy tylko oś (krawędź ich przecięcia)
oznaczając ją jako x

12

lub krócej jako x.

Płaszczyzny są nieograniczone.

Rys. 7.3. Rzuty punktów leżących w różnych ćwiartkach
przestrzeni

Przykład 1. Mając dwa rzuty punktów, określić w której ćwiartce
przestrzeni one się znajdują (patrz rysunek obok).

7.2. Rzuty prostych i figur płaskich

Rzuty prostych tworzą rzuty punktów leżących na tych prostych
(wystarczą dwa punkty leżące na prostej). Rzuty prostych wyznaczają też
płaszczyzny rzutujące prostopadłe do rzutni i przechodzące przez tą prostą
(mające krawędź przecięcia w tej prostej). Krawędzie przecięć tych
płaszczyzn z rzutniami



1

i



2

dają nam rzuty prostej.

Płaszczyzna





1

to płaszczyzna poziomo rzutująca,

płaszczyzna





2

to płaszczyzna pionowo rzutująca.

Rys. 7.4. Rzuty prostej „a‟ na rzutnię poziomą i pionową

Punkt

V

(punkt przebicia

rzutni pionowej przez prostą

a

) nazywany jest

“śladem

pionowym”

prostej

a

.

Punkt

H

(punkt przebicia

rzutni poziomej przez prostą

a

) nazywany jest

“śladem

poziomym”

prostej

a

.

Punkty

V

i

H

to punkty

rzeczywiste leżące na
rzutniach (pokrywają się ze
swoimi rzutami.

Rys. 7.4a. Rzuty prostej „a‟ na rzutnię poziomą i pionową

Rzuty figur płaskich to rzuty punktów (i prostych) należących do
figury. Pamiętać należy, że rzuty odpowiadających sobie punktów leżą
na jednej prostej prostopadłej do osi

x

.

Rys. 7.5. Przykład rzutów trójkąta

Rys. 7.6. Przykład rzutów okręgu

W przypadku rzutów trójkąta wystarczą rzuty jego wierzchołków. Figura bardziej
złożona wymaga obiektów pomocniczych, np. prostych. Im więcej prostych tym
wierniejsze odwzorowanie.

Przy rzutach wielokątów płaskich (liczba boków > 3) do prawidłowego narysowania
rzutów nie wystarczy już warunek, aby rzuty wierzchołków leżały na tych samych
prostych prostopadłych do osi. Trzy punkty wyznaczają jedną płaszczyznę ale cztery
niekoniecznie.
Aby rzuty pionowy i poziomy wielokąta płaskiego przedstawiały ten sam wielokąt musi
być spełniony warunek, aby wszystkie jego wierzchołki leżały w jednej płaszczyźnie.

Przykład 2. Wykreślić rzuty pionowy
i poziomy dowolnego czworokąta
usytuowanego dowolnie względem
rzutni.

Rysujemy dowolny rzut pionowy czworokąta.
Z punktów

A”

,

B”

,

C”

i

D”

prowadzimy proste

rzutujące prostopadłe do

x

. Rzuty pionowe i po-

ziome wierzchołków wielokąta muszą leżeć na
tych prostych.
W dowolny sposób można obrać położenie
rzutów poziomych trzech punktów należących
do czworokąta. Rzuty te ustalają płaszczyznę na
której leży czworokąt. Pozostałe punkty już mają
ściśle określone położenie które musimy
wyznaczyć. Na rysunku 7.7 dowolnie wyznaczo-
no położenie rzutów A‟, B‟ i S‟. Przekątne
spełniają rolę elementów pomocniczych
pozwalając na wyznaczenie położenia
pozostałych wierzchołków wielokąta

Rys. 7.7. Przykład rzutów czworokąta płaskiego

Jeżeli punkt leży na prostej lub prosta przechodzi przez dany punkt to punkt i prosta
są elementami do siebie przynależnymi. Podobnie jest z prostą leżącą na płaszczyźnie
lub płaszczyzną przechodzącą przez prostą.

7.3. Przynależność elementów i elementy wspólne

Rzuty elementów wspólnych obiektów są elementami wspólnymi
rzutów tych obiektów.

Jeżeli elementy do siebie przynależą to ich rzuty też do siebie przynależą.

Jest to konsekwencja 1 niezmiennika.

Elementy wspólne dotyczą także obiektów przecinających się.
a) punkt wspólny przy prostych przecinających się – punkt przecięcia,
b) punkt wspólny prostej i płaszczyzny – punkt przebicia płaszczyzny przez prostą,
c) punkt wspólny pary płaszczyzn przecinających się – krawędź przecięcia.

Zadanie 7.1. Mając rzuty pionowe 2 prostych przecinających się oraz
rzut poziomy jednej z tych prostych i ślad poziomy drugiej wyznaczyć
rzut poziomy drugiej prostej. W której ćwiartce leży punkt przecięcia ?

Punkt przecięcia (

A

) jest

punktem wspólnym obydwu
prostych i przynależy do
obydwu prostych. Rzut
poziomy tego punktu musi
leżeć na rzutach poziomych
tych prostych i promieniu
rzutującym prostopadłym do
osi x. Jest punktem wspólnym
rzutów tych prostych.

Rys. 7.8. Ilustracja zadania 7.1

Prowadzimy prostą pomocniczą

a

przechodzącą przez punkt

1

i jeden z wierzchoł-

ków trójkąta. prosta ta przynależy do płaszczyzny trójkąta. Jej punkt przecięcia z
przeciwległym bokiem wyznacza punkt umożliwiający znalezienie rzutu poziomego
tej prostej i w konsekwencji rzutu poziomego punktu

1

który do tej prostej

przynależy.

Rys.7.9. Ilustracja do zadania 7.2

Zadanie 7.2. Mając dwa rzuty trójkąta

ABC

i rzut pionowy punktu

1

należącego do płaszczyzny trójkąta wyznaczyć rzut poziomy tego
punktu.

Zadanie 7.3. Wyznaczyć punkt przecięcia prostej i trójkąta mając dane
rzuty pionowy i poziomy tych obiektów.

Przez prostą

a

poprowadźmy płaszczyznę poziomo rzutującą. Przecina ona płaszczyznę

trójkąta wzdłuż krawędzi o rzucie poziomym



’

i boki tego trójkąta w punktach

1’

i

2’

.

Zadanie sprowadziliśmy do problemu znalezienia punktu przecięcia dwóch prostych:
prostej

a

i krawędzi przecięcia trójkąta przez płaszczyznę



. Jest to punkt

P

.

Widoczność prostej można ustalić biorąc pod uwagę różne głębokości punktów o tych
samych wysokościach. Z analizy punktów trójkąta i prostej wskazywanych strzałką
można wywnioskować, że punkt na prostej znajduje się bliżej rzutni pionowej.

Rys.7.10. Ilustracja
do zadania 7.3

7.4. Trzecia rzutnia

Pomimo, że dwa rzuty określają jednoznacznie położenie obiektu w przestrzeni, to
interpretacja przebiegu prostych czy “odczytanie” kształtu figury może nie być
łatwe.
Np. na rysunkach poniżej pokazano, że bez dodatkowych informacji interpretacja
rysunków może być błędna.

Prosta a prostopadła
do osi x

Prosta a równoległa
do rzutni poziomej

Prosta a przebijająca
obie rzutnie

Rys. 7.11. Przykład szczególnego ułożenia prostej względem dwóch rzutni

W przypadku różnych brył możemy mieć też identyczne rzuty
pionowe i poziome.

W większości przypadków przy rysunku technicznym wykorzystuje się większą liczbę
rzutów.
W europejskich normach technicznych ustalone zostały zasadnicze trzy kierunki
rzutowania z uwzględnieniem dwóch zwrotów w każdym kierunku.
Do rzutów poziomego i pionowego dochodzi jeszcze rzut boczny. Uwzględniając
zwroty, możemy mieć do czynienia z 6 rzutniami tworzącymi sześcian
(prostopadłościan) otaczający obiekt.

Rys.7.12. Ilustracja identycznych rzutów różnych obiektów

Rys. 7.13. Układ 3 rzutni: poziomej, pionowej i bocznej

W przestrzeni trójwymiarowej trzy współrzędne – odległości od trzech rzutni:
pionowej, poziomej i bocznej (prostopadłej do pierwszych dwóch) – określają
jednoznacznie położenie punktu.

Trzy rzutnie prostopadłe
względem siebie przecinają się
wzdłuż osi prostokątnego ukła-
du współrzędnych, przy czym:
oś

x =



1





2

oznaczana jest

też przez

x

12

,

oś

y =



1





3

oznaczana jest

też przez x

13

,

oś

z =



2





3

oznaczana jest

też przez

x

23

.

Punkt przecięcia wszystkich osi
wyznacza środek układu współ-
rzędnych (punkt

0

) i należy do

każdej z trzech rzutni.
Przez dowolnie przyjęty punkt

A

możemy poprowadzić trzy
promienie rzutujące

k

1





1

,

k

2





2

i

k

3





3

, wyznaczające rzuty

poziomy, pionowy i boczny
punktu A.

Odległości punktu A od trzech rzutni to:

wysokość

w

A

= |A‟A| = |A

x

A”| = |A

y

A‟‟‟| = |0A

z

| – to współrzędna z,

głębokość

g

A

= |A”A| = |A

x

A‟| = |A

z

A‟‟‟| = |0A

y

| – to współrzędna y,

szerokość

s

A

= |A‟‟‟A| = |A

y

A‟| = |A

z

A”| = |0A

x

| – to współrzędna x.

Współrzędne punktu

A

można zatem podawać jako

A(A

x

, A

y

, A

z

)

lub jak często

w praktyce inżynierskiej

A(s

A

, g

A

, w

A

).

Rzutnie sprowadzamy do płaszczyzny rysunku rozcinając układ wzdłuż osi y. Na
płaszczyźnie rysunku mamy trzy rzuty punktu. Do umiejscowienia obiektu w prze-
strzeni wystarczą dwa rzuty – na dwóch rzutach możemy odczytać wszystkie trzy
współrzędne.

Rys. 7.14.
Sprowadzenie układu
trzech rzutni do
płaszczyzny rysunku.
Rzuty punktu A -
pionowy, poziomy i
boczny, s

A

, g

A

, w

A

-

szerokość, głębokość i
wysokość punktu A.

Przy rysowaniu trzech rzutów obiektu można nie rysować osi. Każdy
rzut może być rysowany w oddzielnym układzie, często na innej kartce.

x

z

y

y

z

x

Rys. 7.15. Układy osi dla 3 rzutów głównych: pionowego,
bocznego i poziomego

Przyjmuje się następującą zasadę:

Przy rzutowaniu, obiekt (przedmiot rzutowany) znajduje się między
obserwatorem i rzutnią.

Rzut obiektu odwzorowuje elementy obiektu widoczne od strony
obserwatora.
Taka zasada rzutowania obowiązuje w Europie.
Inaczej jest w USA – rzutnia znajduje się między obiektem i obser-
watorem (obiekt spełnia rolę pieczątki).

Rys. 7.16. Ilustracja zasady rzutowania obowiązującej w
Polsce (i w Europie)

Rys. 7.17. Rzut prostokątny ściętego stożka na rzutnię



(metoda europejska)

Zasadę rzutowania (na przy-
kładzie rzutowania ściętego
stożka) ilustruje rysunek 7.17
umieszczany niekiedy w ta-
bliczkach rysunkowych
rysunków technicznych.

Przy sporządzaniu rzutów
prostokątnych obiektu
obowiązują 3 poniższe ogólne
reguły:

1. Kierunek patrzenia jest
zgodny z kierunkiem
rzutowania,
2. Rzutowany obiekt musi być
określony – prętowy,
ściankowy, bryłowy,
3. Krawędzie widoczne
kreślimy grubą ciągłą linią,
niewidoczne – linią cienką
kreskową (½ grubości).

Przy 6 rzutniach kierunki patrzenia i rozwinięcie rzutów pokazuje
rysunek 7.18. Kolejne rzuty obiektu powstają przez jego obracanie o 90



.

W rysunku technicznym rzuty nazywamy widokami.

Rys. 7.18. Sześć rzutni i ich rozwinięcie

Zadanie 7.4. Na podstawie rysunku poglądowego wyznaczyć 3 rzuty
główne obiektu bryłowego powstałego przez wycięcia z sześcianu o
boku 3 cm.

Rys. 7. 19. Rysunek do zadania 7.4

Na rysunku 7.19 pokazano dodatkowo widok z tyłu – krawędzie niewidoczne w tym
widoku narysowane zostały linią kreskową cienką. Rzut ten jest niepotrzebny, nie
wnosi dodatkowych informacji ułatwiających interpretację obiektu.
Przy rzutowaniu obiekt sytuujemy w układzie rzutni tak, aby kreślenie rzutów
(widoków) było jak najprostsze (ściany i krawędzie równoległe do rzutni).

7.5. Rzuty transformowane. Kłady

Mając rzuty prostokątne obiektu (przynajmniej dwa) możemy określić wszystkie
współrzędne jego punktów a także wyznaczyć rzeczywiste rozmiary i kształty jego
elementów (odcinków, kątów, ścian). Jeżeli z posiadanych rzutów nie da się
bezpośrednio odczytać rzeczywistych rozmiarów i kształtu (choć daje się obliczyć),
konieczne staje się wykonanie dodatkowych rzutów. Przy czym nowe rzutnie mogą
być dowolne, pozwalające na obrót obiektu o dowolny kąt.
Jeżeli rolę nowej dodatkowej rzutni spełnia płaszczyzna

pionowo-

lub

poziomo-

rzutująca

, to taką płaszczyznę nazywamy

płaszczyzną transformacji

, a rzut na nią

rzutem transformowanym

.

Zadanie 7.5. Wyznaczyć rzeczywistą
długość odcinka mając jego rzuty:
pionowy i poziomy (rys. 7.20).

Rys. 7.20. Rzuty poziomy i pionowy odcinka AB

Odcinek

AB

nie jest równoległy do żadnej z rzutni. Aby wyznaczyć jego rzeczywistą

długość należy zrzutować go na płaszczyznę do niego równoległą. Należy taką rzutnię
wprowadzić. Może to być rzutnia pionowo-rzutująca lub poziomo-rzutująca.

Sposób graficzny 1.
Wprowadzamy rzutnię np. poziomo-rzutującą przechodzącą przez tą prostą, jej
krawędź przecięcia

x

1

przechodzi przez rzut poziomy odcinka

A’B’

(rys. 7.20a).

Rzut odcinka na nowej rzutni będzie widoczny jeżeli położymy ją na płaszczyźnie
rysunku przez obrót wokół osi

x

1

. Rzutujemy odcinek

AB

na nową rzutnię

prowadząc promienie rzutujące



do nowej osi

x

1

. Na tych promieniach będą leżeć

trzecie rzuty punktów

A

i

B

. Odległości rzutów

A*

i

B*

od rzutni (osi x

1

) będą

równe wysokościom punktów

A

i

B

. Długość rzutu

A*B*

odcinka jest równa

rzeczywistej długości odcinka

AB

.

Przy takiej konstrukcji rzut

A*B*

nazywamy jego

kładem

na rzutnię poziomą.

Rys. 7.20a. Kład odcinka AB na rzutnię poziomą

Sposób graficzny 2.
Trzecia rzutnia poziomo- lub pionowo-rzutująca nie musi przechodzić przez
odcinek, musi być natomiast do niego równoległa i może znajdować się w
dowolnym miejscu układu (rys. 7.20b). Wyznaczenie trzeciego rzutu jest podobne.
Rzut

A

’’’

B

’’’

ma taką samą długość jak odcinek

AB

.

Rys. 7.20a. Rzut odcinka AB na
płaszczyznę do niego równoległą

Sposób obliczeniowy.
Obliczenie można przeprowadzić znając długości rzutów oraz odległości od rzutni.
Dane te są dostępne na dwóch rzutach odcinka (rys. 7.20c). Obliczenia można
przeprowadzić posługując się wysokościami lub głębokościami punktów

A

i

B

.

2

)

B

w

A

w

(

2

)

'

B

'

A

(

AB







2

)

B

g

A

g

(

2

)

"

B

"

A

(

AB







Rys. 7.20c. Odcinek AB i jego rzuty w układzie
przestrzennym

Zadanie 7.6. Wyznaczyć rzeczywisty kształt i rozmiary trójkąta mając
jego dwa rzuty: pionowy i poziomy (rys. 7.21a).

Rys. 7.21a. Rzuty poziomy i pionowy
trójkąta ABC

Podobnie jak w zadaniu
poprzednim możemy dokonać
kładu trójkąta na płaszczyznę
rysunku. Płaszczyzna trójkąta

ABC

jest prostopadła do rzutni

poziomej, wobec tego możemy
wykonać następującą
konstrukcję:

Rys. 7.21b. Wyznaczanie rzeczywistego kształtu i rozmiarów trójkąta

– poprowadźmy płaszczyznę



równoległą do rzutni poziomej i

przechodzącą przez punkt

A

,

– przez punkt

A

poprowadźmy prostą

p

leżącą w płaszczyźnie trójkąta i

prostopadłą do rzutni pionowej,
– obróćmy płaszczyznę trójkąta dookoła prostej

p

i połóżmy ją na

płaszczyźnie



.

Trójkąt

A*B*C*

jest

kładem trójkąta ABC na
płaszczyznę poziomą, ma
zatem rzeczywisty kształt
i rozmiary.

Zadanie powyższe można rozwiązać inaczej, przy mniejszej liczbie
elementów pomocniczych (rys. 7.21c).

– przez trójkąt

ABC

poprowadźmy płaszczyznę



pionowo rzutującą (lub nową
rzutnię równoległą do płaszczyzny
trójkąta),
– odległości punktów

A’”, B’”

i

C’”

od tej płaszczyzny

odpowiadają głębokościom
punktów

A

,

B

i

C

. Trójkąt

A’”B’”C’”

ma rzeczywisty kształt

i rozmiary.

Rys. 7.21c. Wyznaczanie rzeczywistego kształtu i rozmiarów trójkąta

Dziękuję za uwagę