TW. Rolle’a

Jeśli f jest ciągła w <a,b>, różniczkowalna w (a,b)

oraz f(a)=f(b), to istnieje że f’(c) = 0

TW.Lagrange

Jeżli f jest ciągła w <a,b> i różniczkowalna w (a,b)

to istnieje

TW.Weierstrassa

Jeśli funkcja jest ciągła w <a,b> to jest w tym

przedziale ograniczona i istnieją punkty w których f przyjmuje
swoje kresy.

TW. Darboux

Jeśli f jest ciągła w <a,b> oraz g jest

między f(a) i f(b) to istnieje co najmniej 1 pkt taki, że f(c) = g
(przyjmuje każdą wartość pośrednią między f(a) i f(b).

TW. Farmata

Jeśli f ma w

ekstremum i ma pochodną to

Zbiór ogra. z góry istnieje liczba M taka, że

Kres górny – najmniejsze z ograniczeń górnych

Własności:

1.

2.

w zbiorze A i istnieje element większy
od b.

3.

gdy

Ograniczenie dolne:

Kres dolny – największe z ograniczeń dolnych

Otoczenie punktu

- dowolny zbiór otwarty zawierający

otoczenie

o promieniu r – zbiór

Sąsiedztwo punktu jest to otoczenie

bez tego punktu.

Granica ciągu:

dla dowolnej dodatniej istnieje taka, że wszystkie wyrazy ciągu o
wskaźnikach większych od różnią się od q mniej niż o . Liczbę q
nazywamy granicą ciągu jeżeli w dowolnym otoczeniu liczby q leżą
prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

TW1.

Jeśli ciąg jest zbieżny to ma dokładnie jedną granicę.

TW2.

Jeżeli ciąg jest zbieżny to jest ograniczony.

Z:

T:

D:

W zbiorze

istnieje

Z tego wynika, że

gdzie

TW3.

Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny.

Z:

jest ograniczony i rosnący. T:

Zbiór

Z własności

istnieje El. większy). Ponieważ ciąg

jest rosnący to

Jeżeli

TW4.

Jeżeli

oraz dla prawie wszystkich n

jest spełniona

to

Z:

D:

TW5.

Jeśli ciąg jest ograniczony

i

to

D:

Ponieważ dowolne więc pokazaliśmy, że

TW6.

Jeżeli

i

oraz dla prawie wszystkich n

spełnia nierówność

TW7.

Jeśli granica ciągu jest dodatnia to prawie wszystkie wyrazy

ciągu są dodatnie. Jeśli ciąg jest zbieżny i ma nieskończenie wiele
wyrazów nieujemnych to granica jest nieujemna.

TW8.

Ciąg jest zbieżny

TW9.

Niech dany będzie ciąg

oraz ciąg rosnący

gdzie każdy

wyraz

- podciąg ciągu

odpowiadający ciągowi

. Jeśli

jest zbieżny do q to każdy jego podciąg jest zbieżny do q. Ciąg

jest rozbieżny gdy 2 jego podciągi są zbieżne do innych granic.
Punkt skupienia – w każdym sąsiedztwie a są punkty należące do
zbioru a jest p. skupienia

Granica funkcji:
Heinego: q jest granicą funkcjiw pkt. c jeżeli dla każdego ciągu

o wyrazach

, ciąg wartości funkcji

jest zbieżny

do q.
Cauchy’ego:

Ciągłość funkcji:
Heinego: dla każdego

o wyrazach z D zbieżnego do

jest zbieżny do

).

Cauchy’ego:

Funkcja jest ciągła w

gdy

Pochodna

funkcji:

wartość

skończonej

granicy

TW10.

Jeśli f ma pochodną w

to jest w tym pkt. ciągła.

D:

TW. Bolzano-Weierstrassa

Z każdego ciągu ograniczonego

można wybrać podciąg zbieżny.
D: maximum wł. tzn. istnieje

dla

dla

Różniczka funkcji w

dla przyrostu

TW11.

Jeśli f określona w otoczeniu

ma pochodną

to dla

takiego że

Otoczenia zachodzi równość

gdzie gdy

TW12.

Funkcja

wypukła

w (a,b) gdy dla

takich że

zachodzi

; dla

wklęsłej

znak

F – funkcja pierwotna f jeżeli

(przedział)

Całka nieoznaczona – zbiór wszystkich funkcji pierwotnych f w
przedziale P.
Średnia podziału

- długość przedziału

Suma całkowa

Całka oznaczona – granica do której jest zbieżny ciąg sum
całkowych

dla każdego normalnego ciągu podziału przedziału.

TW13.

Jeśli f i g są ograniczone w <a,b> i g przyjmuje różne

wartości od f w skończenie wielu pkt. to

to F(x) =

jest ciągła w

<a,b> oraz ma pochodną F(x) i zachodzi równość F’(x)=f(x) funkcja
górnej granicy całkowania (w pkt. gdzie f jest ciągła)
Średnia całkowa

gdy istnieje że

Jeśli f jest całkowalna w <a,b> i

jest ciągła w <a,b> oraz ma pochodną F(x)

i zachodzi równość F’(x)=f(x) funkcja górnej granicy całkowania (w
pkt gdzie f jest ciągła).