ELEMENTY LINIOWE UKŁADÓW AUTOMATYKI

Elementy inercyjne pierwszego rz du

ELEMENTY INERCYJNE PIERWSZEGO RZ DU

)

t

(

x

k

)

t

(

y

dt

)

t

(

dy

T

⋅

=

+

T - stała czasowa, k - współczynnik wzmocnienia

)

s

(

kx

)

s

(

y

)

s

(

Tsy

=

+

)

s

(

kx

)

1

Ts

(

)

s

(

y

=

+

=

Transmitancja operatorowa

sT

1

k

)

s

(

G

+

=

Odpowied jednostkowa

)

sT

1

(

s

k

h

s

+

=

)

t

(

1

)

e

1

(

k

h

T

t

t

⋅

−

=

−

Oznaczenie członu inercyjnego pierwszego rz du na schematach blokowych

k

h(t)

t

Odpowied jednostkowa elementu inercyjnego pierwszego rz du.

ELEMENTY LINIOWE UKŁADÓW AUTOMATYKI

Elementy inercyjne pierwszego rz du

Odpowied impulsowa

sT

1

k

)

s

(

g

+

=

)

t

(

1

e

T

k

)

t

(

g

T

t

⋅

=

−

0

t

g(t)

Odpowied impulsowa elementu inercyjnego.

Transmitancja widmowa

T

j

1

k

)

j

(

G

ω

+

=

ω

;

2

2

T

1

)

T

j

1

(

k

)

j

(

G

ω

+

ω

−

=

ω

st d

2

2

T

1

k

)

(

P

ω

+

=

ω

;

2

2

T

1

T

k

)

(

Q

ω

+

ω

−

=

ω

Charakterystyka amplitudowo-fazowa zaczyna si w punkcie:

P(0) = k Q(0) = 0 przy = 0

0

ω

k

P (

ω)

Q(

ω)

ω

0

Charakterystyka amplitudowa i fazowa

Charakterystyka amplitudowo-fazowa ko czy si w punkcie

P(+

∞

)=0, Q(+

∞

)=0 przy =+

∞

ELEMENTY LINIOWE UKŁADÓW AUTOMATYKI

Elementy inercyjne pierwszego rz du

i jest półokr giem o promieniu

2

k

r

=

i rodku poło onym na dodatniej cz ci

rzeczywistej zgodnie z równaniem okr gu:

2

2

2

r

]

b

)

(

Q

[

]

a

)

(

P

[

=

−

ω

+

−

ω

współrz dne rodka:

2

k

a

=

, b=0

Redukuje si ona do półokr gu, poniewa w całym zakresie pulsacji

∞

≤

≤

ω

0

składowa

0

)

(

<

ω

Q

Q(

ω)

Re

ω

A(

ω)

P(

ω)

ω=0

Im

0

k

2

k

ω=∞

ϕ(ω)

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Moduł transmitancji widmowej jest równy stosunkowi modułów licznika i

mianownika tej transmitancji

2

2

T

1

k

)

(

A

ω

+

=

ω

Ten sam wzór otrzymuje si ze wzoru

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

T

1

k

T

1

T

k

T

1

k

)

(

Q

)

(

P

)

(

A

ω

+

=

ω

+

ω

−

+

ω

+

=

ω

+

ω

=

ω

K t fazowy

ELEMENTY LINIOWE UKŁADÓW AUTOMATYKI

Elementy inercyjne pierwszego rz du

2

2

2

2

T

1

k

T

1

T

k

arctg

)

(

P

)

(

Q

arctg

)

(

ω

+

ω

+

ω

=

ω

ω

=

ω

ϕ

T

arctg

)

(

ω

−

=

ω

ϕ

ϕ(ω)

ω

T

1

4

Π

−

2

Π

−

Charakterystyka fazowa

ω

A(

ω)

k

0

Charakterystyka amplitudowa

Czwórnik RC

Dla nieobci onego czwórnika RC, po wyznaczeniu spadków napi na

rezystancji R i pojemno ci C (przy zerowych warunkach pocz tkowych) otrzymuje
si równania:

τ

τ

+

=

t

0

we

d

)

(

I

C

1

)

t

(

RJ

)

t

(

U

τ

τ

=

t

0

wy

d

)

(

I

C

1

)

t

(

U

ELEMENTY LINIOWE UKŁADÓW AUTOMATYKI

Elementy inercyjne pierwszego rz du

I(t)

C

R

U

we

(t)

U

wy

(t)

Czwórnik RC

Eliminuj c pr d

sRC

1

)

0

(

RCU

sRC

1

)

s

(

U

)

s

(

U

wy

we

wy

+

+

+

=

Zakładaj c U

wy

(0)=0, znajdujemy transmitancj

sT

1

1

)

s

(

U

)

s

(

U

)

s

(

G

we

wy

+

=

=

T - stała czasowa

T=RC

Zbiornik ze swobodnym wypływem cieczy

h

A

Q

1

f

1

Q

2

2

Zbiornik ze swobodnym wypływem cieczy:

Q

1

- sygnał wej ciowy - nat enie dopływu cieczy; f - sygnał wej ciowy -

przekrój zaworu; h - sygnał wyj ciowy - poziom cieczy w zbiorniku; A - pole

przekroju poprzecznego zbiornika

ELEMENTY LINIOWE UKŁADÓW AUTOMATYKI

Elementy inercyjne pierwszego rz du

Warunkiem stanu ustalonego jest Q

1

=Q

2

W stanach nieustalonych zmiany poziomu cieczy w zbiorniku mo na opisa za

pomoc równania

2

1

Q

Q

dt

dh

A

−

=

Zbiornik ze swobodnym wypływem cieczy jest elementem inercyjnym

pierwszego rz du.

Masa wiruj ca na wale

M

ω

Masa wiruj ca na wale:

M - sygnał wej ciowy - moment obrotowy; - sygnał wyj ciowy - pr dko

k towa

Z równania momentów

ϕω

+

ω

ω

=

d

d

I

M

gdzie: I - moment bezwładno ci; - współczynnik tarcia lepkiego

otrzymujemy:

M

1

dt

d

I

ϕ

=

ω

+

ω

⋅

ϕ

zakładaj c, e:

ϕ

=

I

T

;

ϕ

= 1

k

kM

dt

d

T

=

ω

+

ω

Masa wiruj ca na wale jest elementem inercyjnym pierwszego rz du