ELEMENTY LINIOWE UKŁADÓW AUTOMATYKI
Elementy inercyjne pierwszego rz du
ELEMENTY INERCYJNE PIERWSZEGO RZ DU
)
t
(
x
k
)
t
(
y
dt
)
t
(
dy
T
⋅
=
+
T - stała czasowa, k - współczynnik wzmocnienia
)
s
(
kx
)
s
(
y
)
s
(
Tsy
=
+
)
s
(
kx
)
1
Ts
(
)
s
(
y
=
+
=
Transmitancja operatorowa
sT
1
k
)
s
(
G
+
=
Odpowied jednostkowa
)
sT
1
(
s
k
h
s
+
=
)
t
(
1
)
e
1
(
k
h
T
t
t
⋅
−
=
−
Oznaczenie członu inercyjnego pierwszego rz du na schematach blokowych
k
h(t)
t
Odpowied jednostkowa elementu inercyjnego pierwszego rz du.
ELEMENTY LINIOWE UKŁADÓW AUTOMATYKI
Elementy inercyjne pierwszego rz du
Odpowied impulsowa
sT
1
k
)
s
(
g
+
=
)
t
(
1
e
T
k
)
t
(
g
T
t
⋅
=
−
0
t
g(t)
Odpowied impulsowa elementu inercyjnego.
Transmitancja widmowa
T
j
1
k
)
j
(
G
ω
+
=
ω
;
2
2
T
1
)
T
j
1
(
k
)
j
(
G
ω
+
ω
−
=
ω
st d
2
2
T
1
k
)
(
P
ω
+
=
ω
;
2
2
T
1
T
k
)
(
Q
ω
+
ω
−
=
ω
Charakterystyka amplitudowo-fazowa zaczyna si w punkcie:
P(0) = k Q(0) = 0 przy = 0
0
ω
k
P (
ω)
Q(
ω)
ω
0
Charakterystyka amplitudowa i fazowa
Charakterystyka amplitudowo-fazowa ko czy si w punkcie
P(+
∞
)=0, Q(+
∞
)=0 przy =+
∞
ELEMENTY LINIOWE UKŁADÓW AUTOMATYKI
Elementy inercyjne pierwszego rz du
i jest półokr giem o promieniu
2
k
r
=
i rodku poło onym na dodatniej cz ci
rzeczywistej zgodnie z równaniem okr gu:
2
2
2
r
]
b
)
(
Q
[
]
a
)
(
P
[
=
−
ω
+
−
ω
współrz dne rodka:
2
k
a
=
, b=0
Redukuje si ona do półokr gu, poniewa w całym zakresie pulsacji
∞
≤
≤
ω
0
składowa
0
)
(
<
ω
Q
Q(
ω)
Re
ω
A(
ω)
P(
ω)
ω=0
Im
0
k
2
k
ω=∞
ϕ(ω)
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Moduł transmitancji widmowej jest równy stosunkowi modułów licznika i
mianownika tej transmitancji
2
2
T
1
k
)
(
A
ω
+
=
ω
Ten sam wzór otrzymuje si ze wzoru
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
T
1
k
T
1
T
k
T
1
k
)
(
Q
)
(
P
)
(
A
ω
+
=
ω
+
ω
−
+
ω
+
=
ω
+
ω
=
ω
K t fazowy
ELEMENTY LINIOWE UKŁADÓW AUTOMATYKI
Elementy inercyjne pierwszego rz du
2
2
2
2
T
1
k
T
1
T
k
arctg
)
(
P
)
(
Q
arctg
)
(
ω
+
ω
+
ω
=
ω
ω
=
ω
ϕ
T
arctg
)
(
ω
−
=
ω
ϕ
ϕ(ω)
ω
T
1
4
Π
−
2
Π
−
Charakterystyka fazowa
ω
A(
ω)
k
0
Charakterystyka amplitudowa
Czwórnik RC
Dla nieobci onego czwórnika RC, po wyznaczeniu spadków napi na
rezystancji R i pojemno ci C (przy zerowych warunkach pocz tkowych) otrzymuje
si równania:
τ
τ
+
=
t
0
we
d
)
(
I
C
1
)
t
(
RJ
)
t
(
U
τ
τ
=
t
0
wy
d
)
(
I
C
1
)
t
(
U
ELEMENTY LINIOWE UKŁADÓW AUTOMATYKI
Elementy inercyjne pierwszego rz du
I(t)
C
R
U
we
(t)
U
wy
(t)
Czwórnik RC
Eliminuj c pr d
sRC
1
)
0
(
RCU
sRC
1
)
s
(
U
)
s
(
U
wy
we
wy
+
+
+
=
Zakładaj c U
wy
(0)=0, znajdujemy transmitancj
sT
1
1
)
s
(
U
)
s
(
U
)
s
(
G
we
wy
+
=
=
T - stała czasowa
T=RC
Zbiornik ze swobodnym wypływem cieczy
h
A
Q
1
f
1
Q
2
2
Zbiornik ze swobodnym wypływem cieczy:
Q
1
- sygnał wej ciowy - nat enie dopływu cieczy; f - sygnał wej ciowy -
przekrój zaworu; h - sygnał wyj ciowy - poziom cieczy w zbiorniku; A - pole
przekroju poprzecznego zbiornika
ELEMENTY LINIOWE UKŁADÓW AUTOMATYKI
Elementy inercyjne pierwszego rz du
Warunkiem stanu ustalonego jest Q
1
=Q
2
W stanach nieustalonych zmiany poziomu cieczy w zbiorniku mo na opisa za
pomoc równania
2
1
Q
Q
dt
dh
A
−
=
Zbiornik ze swobodnym wypływem cieczy jest elementem inercyjnym
pierwszego rz du.
Masa wiruj ca na wale
M
ω
Masa wiruj ca na wale:
M - sygnał wej ciowy - moment obrotowy; - sygnał wyj ciowy - pr dko
k towa
Z równania momentów
ϕω
+
ω
ω
=
d
d
I
M
gdzie: I - moment bezwładno ci; - współczynnik tarcia lepkiego
otrzymujemy:
M
1
dt
d
I
ϕ
=
ω
+
ω
⋅
ϕ
zakładaj c, e:
ϕ
=
I
T
;
ϕ
= 1
k
kM
dt
d
T
=
ω
+
ω
Masa wiruj ca na wale jest elementem inercyjnym pierwszego rz du