1. Jakie odwzorowanie nazywamy złożeniem odwzorowań?

Jeżeli f:A→B, g:B→C to (g ◦ f):A→C zdefiniowane wzorem ∀aϵA (g ◦ f)(a)=g(f(a)) nazywamy złożeniem
odwzorowań

2. Podać i uzasadnić wzór na odwzorowanie odwrotne do złożenia odwzorowań.

Niech f:A→B , g:B→C - bijekcje wtedy (g ◦ f)

-1

=f

-1

◦ g

-1

Dowód:
(g ◦ f)

-1

(c)=a⇔(g ◦ f)(a)=c ⟺f(a)=b ʌ g(b)=c

(f

-1

◦ g

-1

)(c)=a

1

⟺ f

-1

(g

-1

(c))= a

1

⟺ g

-1

(c)=f(a

1

)⟺c=g(f(a

1

))=(g◦f)(a

1

) ⟹ a=a

1

⟹ f

-1

◦ g

-1

=(g◦f)

-1

3. Co nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do danego? Kiedy istnieje?

Niech f:A→B – bijekcja (warunek istnienia)
Odwzorowanie g:B→A takie, że ∀bϵB g(b)=a, f(a)=b ⇔ g=f

-1

nazywamy odwrotnym do danego

4. Ile wynosi moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych o module równym m? Dlaczego?

Niech z = x + y i, z = x + y i, |z |= |z | = m
|z ∗ z | = |x + y i ∗ x + y i|=|(x ∗ x − y ∗ y ) + (x ∗ y + x ∗ y )i| =

(x ∗ x − y ∗ y ) + (x ∗ y + x ∗ y ) = x ∗ x + y ∗ y + x ∗ y + x ∗ y =
(x + y )(x + y ) = m ∗ m = m

5. Jak zapisujemy liczbę zespoloną w postaci wykładniczej? Objaśnić użyte symbole. Podać wzór na iloczyn

dwóch liczb w tej postaci.
|z|*e

iϕ

- postać wykładnicza funkcji zespolonej, gdzie:

|z|- moduł liczby z
e- liczba Eulera
i- jednostka urojona
ϕ-argument
|z | ∗ e

∗ |z | ∗ e

= |z | ∗ |z | ∗ e

(

)

6. Podać i uzasadnić wzór na cosinus i sinus kąta w zależności od funkcji wykładniczej .

cosφ =

, sinφ =

e

= cosφ + sinφ ∗ i

e

= cos(−φ) + sin(−φ) ∗ i

⟺

e

= cosφ + sinφ ∗ i

e

= cos(φ) − sin(φ) ∗ i

⟺

e

− cosφ = sinφ ∗ i

e

= cos(φ) − e

+ cosφ

⟺

⎩

⎨

⎧e −

e

+ e

2

= sinφ ∗ i

cosφ =

e

+ e

2

⟺

⎩

⎨

⎧sinφ =

e

− e

2i

cosφ =

e

+ e

2

7. Kiedy wektory e1,...en nazywamy liniowo niezależnymi? Czy wektory (1,2),(4,-1),(-2,3) są liniowo niezależne?

liniowo niezależne gdy ∀α

1

,...,α

n

ϵK ∑

α e =0⇒α

1

=...=α

n

=0

Niezależność wektorów opiera się na fakcie, że wyznacznik macierzy stworzonej z każdej pary wektorów jest
≠0. W tym wypadku:

1

4

2 −1

≠0,

1 −2
2

3

≠0,

−2

4

3

−1

≠0 ⟹ liniowo niezależne

8. Co to jest baza przestrzeni wektorowej? Co łączy dwie bazy tej samej przestrzeni?

Baza przestrzeni wektorowej jest to zbiór wektorów (ē

1

,...,ē

n

) liniowo niezależnych, które generują daną

przestrzeń.
Dwie bazy tej samej przestrzeni łączy liczba wektorów bazowych

9. Jak określamy reprezentację macierzową odwzorowania liniowego?

Niech X,Y - przestrzenie wektorowe, (ē

1

,...,ē

n

) - baza w X, (Ē

1

,...,Ē

m

) - baza w Y

T: X→Y - odwzorowanie liniowe.

=

a

. Reprezentacja macierzowa odwzorowania T w danych bazach:

a

a

… a

a

⋮

a

a

… a

⋮

a

⋮

…

⋮

a

=A

10. Podać i uzasadnić wzór na iloczyn macierzy.

X,Y,Z - przestrzenie wektorowe, , (ē

1

,...,ē

n

) - baza w X, (Ē

1

,...,Ē

m

) - baza w Y, (Ɛ ,..., Ɛ ) - baza w Z

T:X→Y, S:Y→Z, (S◦T):X→Z -odwzorowania liniowe, A- repr. odwz. T, B - repr. odwz. S
(S◦T)( ̅)=S(T( ̅)), Niech C repr. macierz. odwz. (S◦T)

∀jϵ{1,...,n} T(ē

j

)=

a E

∀iϵ{1,...,m} S(Ē

i

)= ∑

b Ɛ

(S◦T)(ē

j

)=S(T(ē

j

))=S(

a E )=

a S(E )=

a ∑

b Ɛ =

(

b a )Ɛ =

c Ɛ

c

kj

=

b a C=B*A

11. Podać i uzasadnić wzór na transpozycję iloczynu macierzy.

Niech A – macierz n

x

m, B- macierz m

x

k

(A*B)

T

=B

T

*A

T

Dowód:

C=A*B, c

ij

=

a b

C

T

=(c

ji

)

c

ij

=

a b ⟹c =

a b =

b a

12. Podać wzór na wyznacznik iloczynu macierzy.

Niech A, B – macierze n

x

n

det(A*B) = detA*detB

13. Podać rozwinięcie Laplace’a wyznacznika macierzy

Niech A –macierz n

x

n

∗

gdzie i=1,2,…,n

A

ij

=(−1)

∗

– dopełnienie algebraiczne elementu a

ij

M

ij

- minor macierzy A

14. Co nazywamy macierzą nieosobliwą? Jak można stwierdzić, czy macierz jest nieosobliwa?

Macierzą nieosobliwą nazywamy macierz kwadratową, której wyznacznik jest różny od zera

15. Podać wzory Cramera na rozwiązanie układu równań liniowych. Objaśnić użyte symbole.

x

k

=

k=1,2,…,n

n – liczba niewiadomych
x

k

– k-ta niewiadoma

W- wyznacznik główny macierzy A kwadratowej, nieosobliwej
Wx

k

– Wyznacznik otrzymany z wyznacznika głównego przez zastąpienie w nim k-tej kolumny kolumną

wyrazów wolnych

16. Podać wzór na elementy macierzy odwrotnej. Objaśnić użyte symbole.

Macierz A n

x

n nieosobliwa, B

-1

=A

=

| |

i,j=1,..., n gdzie

=element macierzy A

17. Co nazywamy rzędem macierzy? Jaki jest związek rzędu macierzy z jej wymiarem?

Rzędem macierzy A nazywamy wymiar największej nieosobliwej podmacierzy kwadratowej A. Rząd macierzy
A

m x n

≤ min{m, n}

18. Jak możemy wyznaczyć rząd macierzy?

A – macierz m

x

n (niezerowa, jeśli zerowa to r(A)=0). Liczymy podwyznaczniki macierzy A stopnia k dla

k=min{m,n},…,1 do momentu otrzymania wartości niezerowej. Za rząd przyjmujemy stopień tego wyznacznika

19. Podać twierdzenie Sylvestera o rzędzie iloczynu macierzy.

r(A*B) ≤ min{r(A), r(B)}

20. Podać i uzasadnić twierdzenie Kroneckera – Capelliego.

∗

+ ⋯ +

∗

=

⋮

∗

+ ⋯ +

∗

=

=A ̅ =

Powyższy układ ma conajmniej jedno rozwiązanie ⇔ r(A) = r(Au)
Dowód:
r(A) = r(Au) ⇒ kolumna ӯ jest liniowo zależna od pozostałych ⇒∃α

1

,…, α

n

∑

= j = 1,…, m

= j=1 ,…, m – układ równań

r(A)≠r(Au) ⇒ kolumna ӯ jest liniowo niezależna od pozostałych ⇒ӯ nie jest kombinacą linową

=

⇔ zadany układ równań nie ma rozwiązania

21. Kiedy układ równań algebraicznych liniowych będzie miał co najmniej jedno rozwiązanie dla każdej kolumny

wyrazów wolnych? Odpowiedź uzasadnić.

∗

+ ⋯ +

∗

=

⋮

∗

+ ⋯ +

∗

=

=A ̅ =

Powyższy układ posiada rozwiązania ∀ є ⟺r(A)=m
Dowód:
r(A)=m⟹r(Au)=m
r(A)<m⟹∃ dla którego r(Au)>r(A)⟹ nie ma rozwiązania

22. Podać i uzasadnić związek między wyznacznikiem macierzy a wyznacznikiem macierzy odwrotnej.

detA*detA

-1

=1

det A

-1

=

wynika to z definicja macierzy odwrotnej

A*A

-1

=

23. Podać i uzasadnić wzór na transpozycję macierzy odwrotnej.

(A

-1

)

T

=(

| |

* D

T

)

T

=

| |

* D

24. Jak określamy macierz przejścia z bazy (ej) do bazy (ei’)?

X- przestrzeń wektorowa , dim X=n
(ē

1

,…, ē

n

) – „stara” baza X

(ē

1

’,…, ē

n

’) – „nowa” baza X

Niech ē

j

=

, wtedy macierz A jest macierzą przejścia

A=

⋯

⋮

⋱

⋮

⋯

25. Podać związki miedzy współrzędnymi wektora w „starej” i „nowej” bazie.

X- przestrzeń wektorowa , dim X=n
(ē

1

,…, ē

n

) – „stara” baza X

(ē

1

’,…, ē

n

’) – „nowa” baza X

T- odwzorowanie liniowe

T( ̅) = T(

) =

’ =

(

) ’

x

i

'=

26. Podać związki miedzy reprezentacjami macierzowymi odwzorowania liniowego w „starej” i „nowej” bazie.

̅ = ∑

= ∑

′ ′

= ∑

’

=

⋯

⋮

⋱

⋮

⋯

27. Kiedy dwie macierze nazywamy równoważnymi? Co mają ze sobą wspólnego?

T, T’ – macierze n

x

n

Jeżeli istnieją macierze nieosobliwe A i B takie, że T’=BTA

-1

, to macierze Ti T’

nazywamy równoważnymi
Ich rzędzy są sobie równe r(T) = r(T’)

28. Kiedy macierz nazywamy ortogonalną?

Macierz A kwadratową nieosobliwą nazywamy ortogonalną jeśli A

-1

= A

T

29. Podać i uzasadnić własności macierzy ortogonalnej.

a) A

T

=A

-1

(wynika z definicji)

b) det Aє{-1, 1}
det(AA

T

) =detA*det(A

T

)

detA*det(A

T

)=det =1

det(A

T

)=detA⟹(detA)

2

=1

c) Iloczyn macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną
(AB)*(AB)

T

=A*B*B

T

*A

T

=A*A

T

=

30. Napisać równanie charakterystyczne dla macierzy 3x3. Dlaczego jego współczynniki nazywamy

niezmiennikami?

−

−

−

= −

+

∗

−

∗ +

Współczynniki , , nazywamy

Niezmiennikami ponieważ są one stałe w trakcie przekształceń

31. Co to są wartości i wektory własne macierzy?

Niech A – macierz n

x

n, wektor w≠0 i liczbę λ takie, że A* w = λ* w nazywamy odpowiednio wektorem

własnym i wartością własną

32. Podaj twierdzenia o wartościach i wektorach własnych macierzy symetrycznej.

a) Macierz n

x

n ma n wartości własnych rzeczywistych

b)Niech λ

i

, λ

j

– wartości własne A, w

i

, w

j

– odpowiadające im wektory własne A. Wtedy:

- jeżeli λ

i

≠ λ

j

to w

i

⟘w

j

- jeżeli λ

i

= λ

j

to ∀α,β w=αw

i

+ βw

j

, jeżeli w≠0 to w jest wektorem własnym

c)W układzie własnym ortonormalnym macierz A ma postać diagonalną a na przekątnej głownej są wartości
własne
d) Jeżeli λ

1

≤ λ

2

≤ … ≤ λ

n

- wartości własne A to w dowolnym układzi ortonormalnym ∀

i

λ

1

≤ a

ii

≤ λ

n

33. Co to jest forma dwuliniowa? Co nazywamy jej reprezentacją macierzową?

X- przestrzeń wektorowa nad ciałem K
Odwzorowanie liniowe f:X→K nazywamy formą liniową ⇔ odwzorowanie a:X

x

X→K nazywamy formą

dwuliniową jeśli:
a) ∀xϵX a(x, ⦁):X→K jest formą liniową
b) ∀xϵX a (⦁,x):X→K jest formą liniową
Reprezentacja macierzowa formy dwuliniowej:
Niech (ē

1

,…, ē

n

)- baza przestrzeni X;

a: X

x

X →R – forma dwulionowa

a(x, y) =

,

(a

ij

) i,j = 1,..,n

34. Kiedy formę dwuliniową nazywamy symetryczną a kiedy antysymetryczną?

Formę dwuliniową a:X

x

X→K nazywamy formą symetryczną jeśli ∀ x, yϵX a(x, y)=a(y, x)

antysymetryczną jeśli ∀ x, yϵX a(x, y)= - a(y, x)

35. Podać i uzasadnić twierdzenie o rozkładzie macierzy na część symetryczną i antysymetryczną.

A= A

s

+ A

a

gdzie A

s

– macierz symetryczna, A

a

- macierz antysymetryczna

Dowód:
A

s

= (A+A

T

), A

a

= (A-A

T

)⟹A= A+ A

T

+ A- A

T

=A

36. Co to jest forma kwadratowa?

Niech X będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K. Formą kwadratową nazywamy odwzorowanie
ϕ:XK dane wzorem q(x)=a(x, x)

37. Podać definicję i własności reprezentacji macierzowej formy kwadratowej.

W układzie własnym reprezentacja macierzowa ma postać ortogonalną czyli forma kwadratowa przyjmuje
postac: g( )=∑

. Każda forma kwadratowa ma symetryczna reprezentację macierzową

38. Kiedy forma kwadratowa jest określona dodatnio, ujemnie, nieokreślona?

Formę kwadratową ϕ:XR nazywamy określoną dodatnio, jeśli∀xєX x≠0 q(x)>0
Formę kwadratową ϕ:XR nazywamy określoną ujemnie, jeśli ∀xєX x≠0 q(x)<0
Formę kwadratową ϕ:XR nazywamy nieokreśloną, jeśli ∃x, yєX q(x)<0<q(y)

39. Jak można zbadać określoność formy kwadratowej?

Poprzez sprawdzenie znaków wartości własnych reprezentacji macierzowej formy kwadratowej

40. Co nazywamy postacią kanoniczną formy kwadratowej? Czym są współczynniki w tej postaci?

W układzie własnym macierzy (

) forma kwadratowa ma postać kanoniczną g(x)=

gdzie α

i

– wartość własna macierzy (

)

41. Podać twierdzenie o znakach wartości własnych macierzy.

Wszystkie wartości własne macierzy A n

x

n są dodatnie ⟺ ∀kє{1,..., n} |A

k

|>0

Wszystkie wartości własne macierzy A n

x

n są ujemne ⟺ ∀kє{1,..., n} (-1)

n

|A

k

|>0

42. Podać definicję i własności iloczynu skalarnego wektorów.

a ○ b =| a||b| cos ⦟ (a, b) dla a, b ≠ 0
a○b = a

1

b

1

+ a

2

b

2

+ a

3

b

3

Własności iloczynu skalarnego:
1) ∀ a, b, c (a+b)○c = a○c+b○c
2) ∀ a, b ∀ αєR (αa)○ b = α(a ○ b) = a○(αb)
3) ∀ a, b b○a = a○b
4) ∀ a a○a = |a| ≥ 0
5) ∀ a a○a = 0 ⟺ a = 0
6) ∀ a, b a○b = 0 ⟺ a = 0 v b = 0 v a⟘b

43. Podać definicję i własności iloczynu wektorowego wektorów.

Iloczyn wektorowy wektorów a i b ≠0
a

x

b = c

1) c⟘a ʌ c⟘b
2) |c| = |a||b| sin ⦟ (a, b)
3) a, b, c jest zorientowana dodatnio
4) a

x

b = a

2

b

3

– a

3

b

2

, a

3

b

1

- a

1

b

3

, a

1

b

2

– a

2

b

1

Jeżeli a=0 v b = 0 ⟹a

x

b = 0

Własności:
1) ∀ a, b, c (a+b)

x

c = a

x

c + b

x

c

2) ∀ a, b ∀ αєR (αa)

x

b = α(a

x

b) = a

x

(αb)

3) ∀ a, b b

x

a = -a

x

b

4) ∀ a a

x

a = 0

5) a

x

b = 0 ⟺a = 0 v b = 0 v b||a

44. Podać definicję i własności iloczynu mieszanego wektorów.

(a

x

b)○ c =

a

a

a

b

b

b

c

c

c

Własności:
1)(a

x

b)○ c = - (a

x

c)○ b = (c

x

a)○ b = (b

x

c)○ a = -(b

x

a)○ c = -(c

x

b)○ a

2)| (a

x

b)○ c| = V (objętość)

45. Jak obliczamy odległość punktu od płaszczyzny?

d=

|

|

| |

odl punktu P(p , p , p ) od płaszczyzny π danej równaniem

n

1

x

1

+ n

2

x

2

+ n

3

x

3

+ n

0

=0

46. Jak obliczamy kąt miedzy wektorami?

Niech wektor =[a

x

, a

y

, a

z

] oraz b=[b

x

, b

y

, b

z

]

cos (⦟(a, b)) =

47. Jak obliczamy kąt miedzy płaszczyznami?

Niech π

1

: A

1

x

1

+ B

1

x

2

+ C

1

x

3

+ D

1

= 0, π

2

: A

2

x

1

+ B

2

x

2

+ C

2

x

3

+ D

2

= 0

cos ϕ =

48. Podać równanie elipsoidy.

+ + = 1

49. Podać równanie hiperboloidy jednopowłokowej.

+ - = 1

50. Podać równanie hiperboloidy dwupowłokowej.

+ - = -1

51. Podać równanie paraboloidy eliptycznej.

+ = z

52. Podać równanie paraboloidy hiperbolicznej.

- = z

53. Podać równanie walca eliptycznego.

+ = 1

54. Podać równanie walca hiperbolicznego.

- = 1

55. Podać równanie walca parabolicznego.

x

2

= 2py

56. Podaj twierdzenie o rozkładzie na czynniki pierwsze. Kiedy liczbę n nazywamy liczbą pierwszą?

∀ nϵN ∃!(p

1

,...,p

r

), p

i

pierwsze ∃!(α

1

,...,α

r

)

takie, że p

1

<p

2

<...<p

r

oraz n=p

,..., p

Liczbę n nazywamy pierwszą jeżeli ma tylko dwa dzielniki: jedynkę i samą siebie

57. Jakie są własności relacji podzielności?

1) a|b ⟹ ∀ cϵN a|bc
2) a|b ʌ b|c ⟹ a|c
3) a|b ʌ a|c ⟹ a|(

c)

4) a|b ʌ b|a ⟹ a=b

58. Jak brzmi twierdzenie o algorytmie Euklidesa?

Algorytm Euklidesa zawsze daje w wyniku NWD (a, b)

59. Podaj twierdzenie o przedstawieniu

)

,

(

b

a

NWD

za pomocą kombinacji

a

i

b

.

Niech a, bϵN ∃ u,vϵZ
NWD (a, b) = au + bv

60. Co nazywamy funkcją Eulera? Ile wynosi jej wartość dla liczby pierwszej

p

?

Funkcja Eulera ϕ:NN dla dowolnej liczby nєN jest określona wzorem:
ϕ(n)={bє{0,..., n-1}:NWD(b, n)=1}
Dla liczby pierwszej p: ϕ(p)=p-1, ϕ(p

α

)=p

α

(1- )

61. Podaj własności relacji kongruencji.

a) ∀a, m a≡ a(mod m)
b) ∀a, b, m a≡ b(mod m)⟺b≡ a(mod m)
c) ∀a, b, c, m a≡ b(mod m), b≡ c(mod m)⟹ a≡c(mod m)
d) Jeżeli a≡ b(mod m) i c≡ d(mod m) ⟹

c ≡

d(mod m)

e) Jeżeli a≡ b(mod m) i d|m ⟹ a≡ b(mod d)

62. Co nazywamy pełnym zbiorem reszt modulo m? Znajdź pełny zbiór reszt modulo 4.

Zbiór zawierający m klas reszt nazywamy pełnym zbiorem reszt modulo m i oznaczamy jako
[a]={bєZ:a≡b(mod m)}
Z

/m

= {[a], aєZ}

Pełny zbiór reszt modulo 4:
[a]={bєZ:a≡b(mod 4)}
Z

/4

= {[a], aєZ}

63. Co to jest element odwrotny do elementu ciała skończonego? Kiedy istnieje?

Liczbę b nazywamy odwrotną do a modulo m i piszemy b=a

-1

jeżeli a*b=1

Liczba a posiada odwrotną modulo m ⟺NWD (a, m)=1

64. Jak brzmi Małe Twierdzenie Fermata?

Niech p – liczba pierwsza:
a) ∀aєZ a

p

≡ a(mod p)

b) ∀aєZ: pła a

p-1

≡1(mod p)

65. Podaj twierdzenie o równości potęg

)

(mod p

a

a

m

n



.

66. Jakie znamy własności funkcji Eulera?

a) Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to ϕ(p)=p-1
b) dla α>1 ϕ(p

α

)=p

α

(1- )

c) Jeżeli NWD(m, n)=1 to ϕ(mn)=ϕ(m)*ϕ(n)

67. Podaj chińskie twierdzenie o resztach.

Dany jest układ kongruencji:

≡

(

)

⋮

≡

(

)

Jeżeli liczby całkowite dodatnie m

1

,..., m

p

są parami względnie pierwsze, a liczby a

1

,..., a

p

są dowolnymi

liczbami całkowitymi to istnieją rozwiązania x

0

, x

1

, x

-1

, x

2

, x

-2

... tego układu kongruencji przy czym

x

i

=x

0

+i*M, gdzie M=m

1

*...*m

p

68. Czemu jest równe

)

(mod

)

(

n

a

n



?

Jeżeli NWD (a, n)=1 to

)

(mod

)

(

n

a

n

