P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Politechnika Warszawska

Instytut Automatyki i Robotyki

Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny

PODSTAWY AUTOMATYKI

część 12

Metoda funkcji opisującej

2

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Zastosowanie

Metoda funkcji opisującej

zwana również metodą pierwszej harmonicznej lub metodą
linearyzacji, stanowi próbę uogólnienia pojęcia transmitancji
widmowej (charakterystyki częstotliwościowej) w przypadku
elementów i układów nieliniowych.

Metoda funkcji opisującej

zwana również metodą pierwszej harmonicznej lub metodą
linearyzacji, stanowi próbę uogólnienia pojęcia transmitancji
widmowej (charakterystyki częstotliwościowej) w przypadku
elementów i układów nieliniowych.

Układy nieliniowe

•

Elementy nieliniowe opisywane są nieliniowymi równaniami
różniczkowymi, różnicowymi lub algebraicznymi.

•

Nie obowiązuje ich zasada superpozycji.

•

Nieliniowy jest każdy układ, który zawiera choć jeden element
nieliniowy (element przekaźnikowy, z tarciem suchym, strefami
nieczułości, nasyceniem, histerezą).

Układy nieliniowe

•

Elementy nieliniowe opisywane są nieliniowymi równaniami
różniczkowymi, różnicowymi lub algebraicznymi.

•

Nie obowiązuje ich zasada superpozycji.

•

Nieliniowy jest każdy układ, który zawiera choć jeden element
nieliniowy (element przekaźnikowy, z tarciem suchym, strefami
nieczułości, nasyceniem, histerezą).

3

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Przejście sygnału sinusoidalnego

przez element nieliniowy

Kształt sygnału wyjściowego zależy nie tylko od rodzaju nieliniowości,

lecz także amplitudy sygnału wejściowego

4

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Istota metody

Warunki stosowania metody

•

w układzie możliwe jest wydzielenie części liniowej L i nieliniowej
N oraz przekształcenie go do postaci jak na rysunku

•

część nieliniowa N musi być bezinercyjna, o symetrycznej
charakterystyce statycznej

•

część liniowa L powinna mieć własności filtru
dolnoprzepustowego

Warunki stosowania metody

•

w układzie możliwe jest wydzielenie części liniowej L i nieliniowej
N oraz przekształcenie go do postaci jak na rysunku

•

część nieliniowa N musi być bezinercyjna, o symetrycznej
charakterystyce statycznej

•

część liniowa L powinna mieć własności filtru
dolnoprzepustowego

y

x

e

y

-

N

G(s)

5

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Istota metody

Istota metody funkcji opisującej

polega na założeniu, że kształt sygnału wyjściowego można w
przybliżeniu opisać za pomocą jego pierwszej harmonicznej, a
własności elementu można wówczas wyrazić jako stosunek
wartości zespolonej pierwszej harmonicznej sygnału wyjściowego
do wartości zespolonej sinusoidalnego sygnału wejściowego.

Dla nieliniowości bezinercyjnych

Dla nieliniowości z inercją

Istota metody funkcji opisującej

polega na założeniu, że kształt sygnału wyjściowego można w
przybliżeniu opisać za pomocą jego pierwszej harmonicznej, a
własności elementu można wówczas wyrazić jako stosunek
wartości zespolonej pierwszej harmonicznej sygnału wyjściowego
do wartości zespolonej sinusoidalnego sygnału wejściowego.

Dla nieliniowości bezinercyjnych

Dla nieliniowości z inercją

x

y

harm

I

A

J

.

)

(

1

=

x

y

harm

I

A

J

.

)

,

(

1

=

ω

6

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Rozważmy

element nieliniowy o charakterystyce statycznej:

sygnał wejściowy:

więc:

Pierwszą harmoniczną sygnału wyjściowego y wyznaczamy:

Rozważmy

element nieliniowy o charakterystyce statycznej:

sygnał wejściowy:

więc:

Pierwszą harmoniczną sygnału wyjściowego y wyznaczamy:

Wyznaczanie funkcji opisującej

)

(x

y

φ

=

t

A

x

ω

sin

1

=

)

sin(

cos

sin

2

2

2

1

2

1

ϕ

ω

ω

ω

+

+

=

+

=

t

C

C

t

C

t

C

y

I

harm

)

sin

(

1

t

A

y

ω

φ

=

1

2

C

C

tg

arc

=

ϕ

7

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

C

1

i C

2

są współczynnikami pierwszej harmonicznej szeregu Fouriera:

Odpowiednio przekształcając otrzymamy:

C

1

i C

2

są współczynnikami pierwszej harmonicznej szeregu Fouriera:

Odpowiednio przekształcając otrzymamy:

Wyznaczanie funkcji opisującej

∫

Φ

=

π

ω

ω

ω

π

2

0

1

1

)

(

sin

)

sin

(

1

t

d

t

t

A

C

∫

Φ

=

π

ω

ω

ω

π

2

0

1

2

)

(

cos

)

sin

(

1

t

d

t

t

A

C

∫

∫

=

Φ

=

)

2

(

)

(

1

2

0

1

1

1

2

1

)

sin

(

)

sin

(

1

π

π

π

π

ω

ω

π

x

x

ydx

A

t

A

d

t

A

A

C

8

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Całka jest równa powierzchni P ograniczonej charakterystyką

Całka jest równa powierzchni P ograniczonej charakterystyką

Wyznaczanie funkcji opisującej

∫

)

2

(

)

0

(

π

x

x

ydx

)

(x

y

φ

=

Charakterystyka jednoznaczna

Charakterystyka niejednoznaczna

P=0 więc C

2

=0

P

≠

0 więc C

2

≠

0

Funkcję opisująca określamy:

.)

(

sin

)

sin

(

1

)

(

2

0

1

1

1

1

1

∫

Φ

=

=

π

ω

ω

ω

π

t

d

t

t

A

A

A

C

A

J

1

2

1

1

2

1

1

sin

cos

sin

)

(

A

jC

C

t

A

t

C

t

C

A

J

+

=

+

=

ω

ω

ω

9

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

W przypadku elementów o charakterystyce niejednoznacznej, funkcja

opisująca jest funkcją zespoloną:

gdzie:

- jest modułem funkcji opisującej i wyraża stosunek amplitudy pierwszej
harmonicznej sygnału do amplitudy sygnału wejściowego

- jest argumentem funkcji opisującej i wyraża przesunięcie fazowe
między pierwszą harmoniczną sygnału wyjściowego a sygnałem
wejściowym.

W przypadku elementów o charakterystyce jednoznacznej mamy:

gdzie:

W przypadku elementów o charakterystyce niejednoznacznej, funkcja

opisująca jest funkcją zespoloną:

gdzie:

- jest modułem funkcji opisującej i wyraża stosunek amplitudy pierwszej
harmonicznej sygnału do amplitudy sygnału wejściowego

- jest argumentem funkcji opisującej i wyraża przesunięcie fazowe
między pierwszą harmoniczną sygnału wyjściowego a sygnałem
wejściowym.

W przypadku elementów o charakterystyce jednoznacznej mamy:

gdzie:

Funkcja opisująca

1

1

)

(

)

(

1

1

2

2

2

1

1

A

j

A

j

e

A

B

e

A

C

C

A

J

ϕ

ϕ

=

+

=

)

(

1

A

B

)

(

1

A

ϕ

)

(

)

(

1

1

A

B

A

J

=

0

)

(

1

=

A

ϕ

10

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Podczas badania stabilności układu zawierającego element nieliniowy

korzystnie jest posługiwać się wykresem krytycznym. Jest on
definiowany jako:

Moduł wykresu krytycznego

Argument wykresu krytycznego

Podczas badania stabilności układu zawierającego element nieliniowy

korzystnie jest posługiwać się wykresem krytycznym. Jest on
definiowany jako:

Moduł wykresu krytycznego

Argument wykresu krytycznego

Wykres krytyczny

)

(

1

)

(

1

1

A

J

A

K

−

=

)

(

1

)

(

1

1

A

B

A

K

=

)

(

)

(

arg

1

1

A

A

K

ϕ

π

−

=

11

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Wykresy funkcji opisującej

Charakterystyka

elementu

Funkcja

opisująca

Wykres

krytyczny

12

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Wykresy funkcji opisującej

Charakterystyka

elementu

Funkcja

opisująca

Wykres

krytyczny

13

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Wykresy funkcji opisującej

Charakterystyka

elementu

Funkcja

opisująca

Wykres

krytyczny

14

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Wykresy funkcji opisującej

Charakterystyka

elementu

Funkcja

opisująca

Wykres

krytyczny

15

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Zastosowanie kryterium Nyquista

do badania stabilności układów z jednym elementem nieliniowym

Warunki stosowania

•

Możliwość wyodrębnienia części liniowej i nieliniowej oraz
przekształcenie do postaci połączenia szeregowego

•

część nieliniową da się opisać za pomocą funkcji opisującej,
część N musi być bezinercyjna, o symetrycznej charakterystyce
statycznej

•

część liniowa L powinna być opisana transmitancją widmową
G(j

ω) i powinna stanowić dobry filtr dolnoprzepustowy (aby na

przebiegi nie wpływały wyższe harmoniczne), przy czym filtr ten
powinien być przynajmniej 2 lub 3 rzędu.

Zastosowanie kryterium Nyquista

do badania stabilności układów z jednym elementem nieliniowym

Warunki stosowania

•

Możliwość wyodrębnienia części liniowej i nieliniowej oraz
przekształcenie do postaci połączenia szeregowego

•

część nieliniową da się opisać za pomocą funkcji opisującej,
część N musi być bezinercyjna, o symetrycznej charakterystyce
statycznej

•

część liniowa L powinna być opisana transmitancją widmową
G(j

ω) i powinna stanowić dobry filtr dolnoprzepustowy (aby na

przebiegi nie wpływały wyższe harmoniczne), przy czym filtr ten
powinien być przynajmniej 2 lub 3 rzędu.

Kryterium Nyquista

16

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Transmitancja widmowa (uogólniona) układu otwartego wynosi:

Zgodnie z kryterium Nyquista, na granicy stabilności spełniona jest róność:

wówczas z tych równań otrzymujemy, że na granicy stabilności:

gdzie wyrażenie jest wykresem krytycznym.

Istnieją pewne analogie pomiędzy punktem (-1,0) a wykresem krytycznym.

Transmitancja widmowa (uogólniona) układu otwartego wynosi:

Zgodnie z kryterium Nyquista, na granicy stabilności spełniona jest róność:

wówczas z tych równań otrzymujemy, że na granicy stabilności:

gdzie wyrażenie jest wykresem krytycznym.

Istnieją pewne analogie pomiędzy punktem (-1,0) a wykresem krytycznym.

Kryterium Nyquista

)

(

)

(

)

,

(

1

1

0

ω

ω

j

G

A

J

j

A

G

∗

=

0

)

,

(

1

1

0

=

+

ω

j

A

G

)

(

)

(

1

)

(

1

1

A

K

A

J

j

G

=

−

=

ω

)

(

1

A

K

17

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Warunek stabilności

Jeżeli układ otwarty jest stabilny i charakterystyka
amplitudowo fazowa liniowej części układu nie okrąża
wykresu krytycznego elementu nieliniowego, ani nie
ma z nim punktów wspólnych, to układ zamknięty jest
stabilny globalnie.

Czyli

Jeżeli pewna część wykresu krytycznego jest okrążana przez
charakterystykę G(j

ω), to punkt przecięcia obu krzywych określa

amplitudę i pulsację drgań występujących w układzie.

Warunek stabilności

Jeżeli układ otwarty jest stabilny i charakterystyka
amplitudowo fazowa liniowej części układu nie okrąża
wykresu krytycznego elementu nieliniowego, ani nie
ma z nim punktów wspólnych, to układ zamknięty jest
stabilny globalnie.

Czyli

Jeżeli pewna część wykresu krytycznego jest okrążana przez
charakterystykę G(j

ω), to punkt przecięcia obu krzywych określa

amplitudę i pulsację drgań występujących w układzie.

Stabilność

18

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

a)

układ stabilny globalnie

b)

układ niestabilny w obszarze a<A

1

<A

1M

,

stabilny lokalnie A

1

<a oraz A

1

>A

M

.

Punktowi M odpowiadają drgania o danej
amplitudzie A

1M

i pulsacji

ω

M

.

c)

układ stabilny lokalnie dla A

1

<A

1N

oraz

A

1

>A

1M

, niestabilny A

1N

<A

1

<A

1M

; punkt N

odpowiada niestabilnemu, a M stabilnemu
cyklowi granicznemu

a)

układ stabilny globalnie

b)

układ niestabilny w obszarze a<A

1

<A

1M

,

stabilny lokalnie A

1

<a oraz A

1

>A

M

.

Punktowi M odpowiadają drgania o danej
amplitudzie A

1M

i pulsacji

ω

M

.

c)

układ stabilny lokalnie dla A

1

<A

1N

oraz

A

1

>A

1M

, niestabilny A

1N

<A

1

<A

1M

; punkt N

odpowiada niestabilnemu, a M stabilnemu
cyklowi granicznemu

Przykłady

19

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Przykład 1

20

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Przykład 1

21

P

OLITECHNIKA

W

ARSZAWSKA

Instytut Automatyki i Robotyki

Przykład 2