P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny
PODSTAWY AUTOMATYKI
część 12
Metoda funkcji opisującej
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny
PODSTAWY AUTOMATYKI
część 12
Metoda funkcji opisującej
2
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Zastosowanie
Metoda funkcji opisującej
zwana również metodą pierwszej harmonicznej lub metodą
linearyzacji, stanowi próbę uogólnienia pojęcia transmitancji
widmowej (charakterystyki częstotliwościowej) w przypadku
elementów i układów nieliniowych.
Metoda funkcji opisującej
zwana również metodą pierwszej harmonicznej lub metodą
linearyzacji, stanowi próbę uogólnienia pojęcia transmitancji
widmowej (charakterystyki częstotliwościowej) w przypadku
elementów i układów nieliniowych.
Układy nieliniowe
•
Elementy nieliniowe opisywane są nieliniowymi równaniami
różniczkowymi, różnicowymi lub algebraicznymi.
•
Nie obowiązuje ich zasada superpozycji.
•
Nieliniowy jest każdy układ, który zawiera choć jeden element
nieliniowy (element przekaźnikowy, z tarciem suchym, strefami
nieczułości, nasyceniem, histerezą).
Układy nieliniowe
•
Elementy nieliniowe opisywane są nieliniowymi równaniami
różniczkowymi, różnicowymi lub algebraicznymi.
•
Nie obowiązuje ich zasada superpozycji.
•
Nieliniowy jest każdy układ, który zawiera choć jeden element
nieliniowy (element przekaźnikowy, z tarciem suchym, strefami
nieczułości, nasyceniem, histerezą).
3
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Przejście sygnału sinusoidalnego
przez element nieliniowy
Kształt sygnału wyjściowego zależy nie tylko od rodzaju nieliniowości,
lecz także amplitudy sygnału wejściowego
4
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Istota metody
Warunki stosowania metody
•
w układzie możliwe jest wydzielenie części liniowej L i nieliniowej
N oraz przekształcenie go do postaci jak na rysunku
•
część nieliniowa N musi być bezinercyjna, o symetrycznej
charakterystyce statycznej
•
część liniowa L powinna mieć własności filtru
dolnoprzepustowego
Warunki stosowania metody
•
w układzie możliwe jest wydzielenie części liniowej L i nieliniowej
N oraz przekształcenie go do postaci jak na rysunku
•
część nieliniowa N musi być bezinercyjna, o symetrycznej
charakterystyce statycznej
•
część liniowa L powinna mieć własności filtru
dolnoprzepustowego
y
x
e
y
-
N
G(s)
5
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Istota metody
Istota metody funkcji opisującej
polega na założeniu, że kształt sygnału wyjściowego można w
przybliżeniu opisać za pomocą jego pierwszej harmonicznej, a
własności elementu można wówczas wyrazić jako stosunek
wartości zespolonej pierwszej harmonicznej sygnału wyjściowego
do wartości zespolonej sinusoidalnego sygnału wejściowego.
Dla nieliniowości bezinercyjnych
Dla nieliniowości z inercją
Istota metody funkcji opisującej
polega na założeniu, że kształt sygnału wyjściowego można w
przybliżeniu opisać za pomocą jego pierwszej harmonicznej, a
własności elementu można wówczas wyrazić jako stosunek
wartości zespolonej pierwszej harmonicznej sygnału wyjściowego
do wartości zespolonej sinusoidalnego sygnału wejściowego.
Dla nieliniowości bezinercyjnych
Dla nieliniowości z inercją
x
y
harm
I
A
J
.
)
(
1
=
x
y
harm
I
A
J
.
)
,
(
1
=
ω
6
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Rozważmy
element nieliniowy o charakterystyce statycznej:
sygnał wejściowy:
więc:
Pierwszą harmoniczną sygnału wyjściowego y wyznaczamy:
Rozważmy
element nieliniowy o charakterystyce statycznej:
sygnał wejściowy:
więc:
Pierwszą harmoniczną sygnału wyjściowego y wyznaczamy:
Wyznaczanie funkcji opisującej
)
(x
y
φ
=
t
A
x
ω
sin
1
=
)
sin(
cos
sin
2
2
2
1
2
1
ϕ
ω
ω
ω
+
+
=
+
=
t
C
C
t
C
t
C
y
I
harm
)
sin
(
1
t
A
y
ω
φ
=
1
2
C
C
tg
arc
=
ϕ
7
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
C
1
i C
2
są współczynnikami pierwszej harmonicznej szeregu Fouriera:
Odpowiednio przekształcając otrzymamy:
C
1
i C
2
są współczynnikami pierwszej harmonicznej szeregu Fouriera:
Odpowiednio przekształcając otrzymamy:
Wyznaczanie funkcji opisującej
∫
Φ
=
π
ω
ω
ω
π
2
0
1
1
)
(
sin
)
sin
(
1
t
d
t
t
A
C
∫
Φ
=
π
ω
ω
ω
π
2
0
1
2
)
(
cos
)
sin
(
1
t
d
t
t
A
C
∫
∫
=
Φ
=
)
2
(
)
(
1
2
0
1
1
1
2
1
)
sin
(
)
sin
(
1
π
π
π
π
ω
ω
π
x
x
ydx
A
t
A
d
t
A
A
C
8
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Całka jest równa powierzchni P ograniczonej charakterystyką
Całka jest równa powierzchni P ograniczonej charakterystyką
Wyznaczanie funkcji opisującej
∫
)
2
(
)
0
(
π
x
x
ydx
)
(x
y
φ
=
Charakterystyka jednoznaczna
Charakterystyka niejednoznaczna
P=0 więc C
2
=0
P
≠
0 więc C
2
≠
0
Funkcję opisująca określamy:
.)
(
sin
)
sin
(
1
)
(
2
0
1
1
1
1
1
∫
Φ
=
=
π
ω
ω
ω
π
t
d
t
t
A
A
A
C
A
J
1
2
1
1
2
1
1
sin
cos
sin
)
(
A
jC
C
t
A
t
C
t
C
A
J
+
=
+
=
ω
ω
ω
9
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
W przypadku elementów o charakterystyce niejednoznacznej, funkcja
opisująca jest funkcją zespoloną:
gdzie:
- jest modułem funkcji opisującej i wyraża stosunek amplitudy pierwszej
harmonicznej sygnału do amplitudy sygnału wejściowego
- jest argumentem funkcji opisującej i wyraża przesunięcie fazowe
między pierwszą harmoniczną sygnału wyjściowego a sygnałem
wejściowym.
W przypadku elementów o charakterystyce jednoznacznej mamy:
gdzie:
W przypadku elementów o charakterystyce niejednoznacznej, funkcja
opisująca jest funkcją zespoloną:
gdzie:
- jest modułem funkcji opisującej i wyraża stosunek amplitudy pierwszej
harmonicznej sygnału do amplitudy sygnału wejściowego
- jest argumentem funkcji opisującej i wyraża przesunięcie fazowe
między pierwszą harmoniczną sygnału wyjściowego a sygnałem
wejściowym.
W przypadku elementów o charakterystyce jednoznacznej mamy:
gdzie:
Funkcja opisująca
1
1
)
(
)
(
1
1
2
2
2
1
1
A
j
A
j
e
A
B
e
A
C
C
A
J
ϕ
ϕ
=
+
=
)
(
1
A
B
)
(
1
A
ϕ
)
(
)
(
1
1
A
B
A
J
=
0
)
(
1
=
A
ϕ
10
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Podczas badania stabilności układu zawierającego element nieliniowy
korzystnie jest posługiwać się wykresem krytycznym. Jest on
definiowany jako:
Moduł wykresu krytycznego
Argument wykresu krytycznego
Podczas badania stabilności układu zawierającego element nieliniowy
korzystnie jest posługiwać się wykresem krytycznym. Jest on
definiowany jako:
Moduł wykresu krytycznego
Argument wykresu krytycznego
Wykres krytyczny
)
(
1
)
(
1
1
A
J
A
K
−
=
)
(
1
)
(
1
1
A
B
A
K
=
)
(
)
(
arg
1
1
A
A
K
ϕ
π
−
=
11
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Wykresy funkcji opisującej
Charakterystyka
elementu
Funkcja
opisująca
Wykres
krytyczny
12
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Wykresy funkcji opisującej
Charakterystyka
elementu
Funkcja
opisująca
Wykres
krytyczny
13
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Wykresy funkcji opisującej
Charakterystyka
elementu
Funkcja
opisująca
Wykres
krytyczny
14
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Wykresy funkcji opisującej
Charakterystyka
elementu
Funkcja
opisująca
Wykres
krytyczny
15
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Zastosowanie kryterium Nyquista
do badania stabilności układów z jednym elementem nieliniowym
Warunki stosowania
•
Możliwość wyodrębnienia części liniowej i nieliniowej oraz
przekształcenie do postaci połączenia szeregowego
•
część nieliniową da się opisać za pomocą funkcji opisującej,
część N musi być bezinercyjna, o symetrycznej charakterystyce
statycznej
•
część liniowa L powinna być opisana transmitancją widmową
G(j
ω) i powinna stanowić dobry filtr dolnoprzepustowy (aby na
przebiegi nie wpływały wyższe harmoniczne), przy czym filtr ten
powinien być przynajmniej 2 lub 3 rzędu.
Zastosowanie kryterium Nyquista
do badania stabilności układów z jednym elementem nieliniowym
Warunki stosowania
•
Możliwość wyodrębnienia części liniowej i nieliniowej oraz
przekształcenie do postaci połączenia szeregowego
•
część nieliniową da się opisać za pomocą funkcji opisującej,
część N musi być bezinercyjna, o symetrycznej charakterystyce
statycznej
•
część liniowa L powinna być opisana transmitancją widmową
G(j
ω) i powinna stanowić dobry filtr dolnoprzepustowy (aby na
przebiegi nie wpływały wyższe harmoniczne), przy czym filtr ten
powinien być przynajmniej 2 lub 3 rzędu.
Kryterium Nyquista
16
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Transmitancja widmowa (uogólniona) układu otwartego wynosi:
Zgodnie z kryterium Nyquista, na granicy stabilności spełniona jest róność:
wówczas z tych równań otrzymujemy, że na granicy stabilności:
gdzie wyrażenie jest wykresem krytycznym.
Istnieją pewne analogie pomiędzy punktem (-1,0) a wykresem krytycznym.
Transmitancja widmowa (uogólniona) układu otwartego wynosi:
Zgodnie z kryterium Nyquista, na granicy stabilności spełniona jest róność:
wówczas z tych równań otrzymujemy, że na granicy stabilności:
gdzie wyrażenie jest wykresem krytycznym.
Istnieją pewne analogie pomiędzy punktem (-1,0) a wykresem krytycznym.
Kryterium Nyquista
)
(
)
(
)
,
(
1
1
0
ω
ω
j
G
A
J
j
A
G
∗
=
0
)
,
(
1
1
0
=
+
ω
j
A
G
)
(
)
(
1
)
(
1
1
A
K
A
J
j
G
=
−
=
ω
)
(
1
A
K
17
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Warunek stabilności
Jeżeli układ otwarty jest stabilny i charakterystyka
amplitudowo fazowa liniowej części układu nie okrąża
wykresu krytycznego elementu nieliniowego, ani nie
ma z nim punktów wspólnych, to układ zamknięty jest
stabilny globalnie.
Czyli
Jeżeli pewna część wykresu krytycznego jest okrążana przez
charakterystykę G(j
ω), to punkt przecięcia obu krzywych określa
amplitudę i pulsację drgań występujących w układzie.
Warunek stabilności
Jeżeli układ otwarty jest stabilny i charakterystyka
amplitudowo fazowa liniowej części układu nie okrąża
wykresu krytycznego elementu nieliniowego, ani nie
ma z nim punktów wspólnych, to układ zamknięty jest
stabilny globalnie.
Czyli
Jeżeli pewna część wykresu krytycznego jest okrążana przez
charakterystykę G(j
ω), to punkt przecięcia obu krzywych określa
amplitudę i pulsację drgań występujących w układzie.
Stabilność
18
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
a)
układ stabilny globalnie
b)
układ niestabilny w obszarze a<A
1
<A
1M
,
stabilny lokalnie A
1
<a oraz A
1
>A
M
.
Punktowi M odpowiadają drgania o danej
amplitudzie A
1M
i pulsacji
ω
M
.
c)
układ stabilny lokalnie dla A
1
<A
1N
oraz
A
1
>A
1M
, niestabilny A
1N
<A
1
<A
1M
; punkt N
odpowiada niestabilnemu, a M stabilnemu
cyklowi granicznemu
a)
układ stabilny globalnie
b)
układ niestabilny w obszarze a<A
1
<A
1M
,
stabilny lokalnie A
1
<a oraz A
1
>A
M
.
Punktowi M odpowiadają drgania o danej
amplitudzie A
1M
i pulsacji
ω
M
.
c)
układ stabilny lokalnie dla A
1
<A
1N
oraz
A
1
>A
1M
, niestabilny A
1N
<A
1
<A
1M
; punkt N
odpowiada niestabilnemu, a M stabilnemu
cyklowi granicznemu
Przykłady
19
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Przykład 1
20
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Przykład 1
21
P
OLITECHNIKA
W
ARSZAWSKA
Instytut Automatyki i Robotyki
Przykład 2