IChiP - Zestaw nr ??. Funkcje wielu zmiennych. Ekstrema funkcji.

• 
  Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji f : Rⁿ → R

Jeżeli f ma ekstremum lokalne w punkcie a i jest różniczkowalna w tym punkcie to
dla i = 1,...,n

• Warunek dostateczny istnienia ekstremum (dla funkcji dwóch zmiennych):

Jeżeli mamy daną funkcję dwóch zmiennych (ciągłą i mającą pochodne pierwszego i drugiego rzędu ciągłe), to aby stwierdzić, czy funkcja ta ma ekstremum w punkcie a (w którym

oraz

) - należy policzyć wyznacznik W(a) =
.

• Jeżeli W(a) < 0 to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie a

• Jeżeli W(a) > 0 to w punkcie a jest ekstremum lokalne funkcji f, przy czym jeśli
  > 0, to jest to minimum, a jeśli
  < 0, to jest to maksimum.

• Jeżeli W(a) = 0 to istnienie ekstremum musi być zbadane innymi metodami (być może - z definicji).

• Niech f, g będą dwiema funkcjami określonymi na podzbiorach przestrzeni Rⁿ i niech A = {x ∈ Rⁿ: g(x) = 0}. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x₀ ekstremum warunkowe przy warunku g(x) = 0, jeżeli f |A (f obcięta do zbioru A) ma w tym punkcie ekstremum lokalne. Aby znaleźć punkty, w których może być ekstremum warunkowe (krytyczne punkty warunkowe) stosujemy metodę mnożników Lagrange'a, tzn. określamy funkcję pomocniczą F(x) = f(x) + λg(x) (λ- parametr), i rozwiązujemy układ równań

• 
  . Mamy więc (n+1) równań z (n+1) niewiadomymi (n współrzędnych punktu x oraz parametr λ). Rozwiązując ten układ otrzymujemy współrzędne krytycznych punktów warunkowych.

1) Obl. wsk. pochodne funkcji: a) f(x,y,z) =
; policzyć
; b) g(x,y,z) = e ^xyz ; policzyć
c)
, policzyć
;d) k(x,y,z) =
, policzyć

2) Obl. poch. cząstk. funkcji a) f(x,y) =
. (Wsk.. W (0,0) policzyć z def.). b)f(x,y)=

3) Dana jest funkcja
oraz F(t) = f(t², 2t²) i G(u,v) = f(u + v, u - v)

a) Policzyć F'(0) i F'(1). b) Policzyć
c) Dodatkowo, wyk. że
.

3') Obl. poch.cząstk. do drugiego rzędu włącznie dla funkcji f(x,y)=arc tg (y/x); f(x,y)=x cos²(x+2y+z²).

3”) Znaleźć z'_x, z'_y a następnie z”_xx, z”_xy, z”_yy , jeżeli z=f(u,v), gdzie u=u(x,y), v=v(x,y); zakładamy, że f,u,v mają ciągłe pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie.

4) Znaleźć ekstrema funkcji dwóch zmiennych, określonych wzorem:

a) f(x,y) = x² + xy + y² -2x - y b) f(x,y) = e^x-y (x² - 2y²) c) f(x,y) = sin x + cos y + cos (x-y) 0<x,y<π/2

d) f(x,y) = x² + x²y + y² e) f(x,y) = x² - 6xy + y³ f) f(x,y) = x³ + y² - 6xy - 48x

5) Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji

a) f(x,y) = x³ + y² - 3x - 2y - 1 na zbiorze D = {(x,y): x ≥0, y ≥ 0, x + y ≤ 3};

b) f(x,y,z) =
na zbiorze V = {(x,y,z): x² + y² + z² ≤ 1, z ≥ 0};

c) f(x,y) = x²+y² + x+y + xy na obszarze D = {(x,y): x≥0,y≤0,x-y≤3}.

6) Znaleźć krytyczne punkty warunkowe dla funkcji: a) f(x,y) = xy² przy warunku x + y = 1; b) f(x,y,z) = xyz (x>0, y>0, z >0) przy warunku x²+y²+z²=3 ; c) f(x,y,z) =x+y+2z przy warunku x²+y²+z²=1;

d) f(x,y) = cos²x+cos² y przy warunku x - y =π/4. e) f(x,y,z)=x³y-8y+z przy warunku g(x)=z - 6x² = 0.

7) Znaleźć największą możliwą objętość prostopadłościanu o polu powierzchni całkowitej równym 6a².

---