Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

1

CZWÓRNIKI AKTYWNE

4.1. Podstawowe okre

ś

lenia czwórników aktywnych

Elementy aktywne to elementy wykazujące zdolność dostarczania energii elektrycznej. W zależności
od rodzaju elementu, jego budowy i przeznaczenia, cechą charakterystyczną i dominującą może być
przetwarzanie energii i jej dostarczanie, akumulacja energii lub rozpraszanie energii.

Czwórnikiem aktywnym nazywamy czwórnik zawierający w swojej strukturze element aktywny
(np. wzmacniacz operacyjny, tranzystor, rezystor ujemny). Wynika z tego, że czwórniki aktywne
oprócz elementów pasywnych (rezystor, cewka, kondensator) zawierają w swej strukturze nie
kompensujące się elementy aktywne.

Rozważaniom poddamy czwórniki aktywne liniowe, tzn. czwórniki zbudowane z elementów
liniowych w rozważanym zakresie prądów i napięć. Czwórniki aktywne są z reguły nieodwracalne,
czyli spełnione są następujące równania

12

21

12

21

12

21

12

21

1

'

'

'

'

1

)

(

det

1

1

)

(

det

g

g

h

h

y

y

z

z

C

B

D

A

C

B

D

A

−

≠

−

≠

≠

≠

≠

−

⇔

≠

≠

−

⇔

≠

B

A

(4.1)

Czwórniki aktywne umożliwiają realizację takich funkcji charakteryzujących obwody, jakich nie
można zrealizować za pomocą czwórników pasywnych. Na przykład wykorzystując czwórniki
aktywne można zasymulować ujemną rezystancję, pojemność lub indukcyjność w postaci impedancji
wejściowej pewnego czwórnika aktywnego.

4.2. Schematy zast

ę

pcze czwórników aktywnych

W przypadku czwórnika aktywnego, wobec jego nieodwracalności, istnieją cztery parametry
charakteryzujące określoną postać macierzy czwórnika. W przypadku czwórników pasywnych, w
których spełniony jest warunek odwracalności, wystarczy znać trzy parametry niezależne macierzy
np. łańcuchowej, aby odwzorować za pomocą trzy elementów pasywnych tworzących strukturę np.
typu T lub typu Π. Gdy dodatkowo czwórnik pasywny odwracalny jest symetryczny, to wystarczy
nam znajomość dwóch niezależnych parametrów, by odwzorować strukturę czwórnika. W przypadku
czwórników aktywnych należy wyznaczyć cztery parametry macierzy opisującej czwórnik i liczba
elementów niezależnych w schemacie czwórnika też jest równa cztery.

Uogólnione schematy zastępcze czwórników aktywnych zawierają elementy pasywne i źródła
sterowane zbudowane na podstawie równań wiążących napięcia i prądy na wejściu i na wyjściu
czwórnika.

Opierając się na równaniach admitancyjnych (3.7)









⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

U

y

U

y

I

U

y

U

y

I

można zbudować czwórnik aktywny o schemacie

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

2

I

1

I

2

U

1

U

2

y

11

y

12

U

2

1

1’

2

2’

y

21

U

1

y

22

Rys. 4.1. Schemat zastępczy czwórnika aktywnego opisanego równaniami admitancyjnymi

gdzie:

11

y

- admitancja obwodu wejścia;

2

12

U

y

⋅

- źródło prądu sterowane napięciem

2

U

;

1

21

U

y

⋅

- źródło prądu sterowane napięciem

1

U

;

22

y

- admitancja obwodu wyjścia.

B

A

I

1

I

2

U

1

U

2

y

11

y

12

U

2

1

1’

2

2’

y

21

U

1

y

22

I

11

I

12

I

21

I

22

Rys. 4.2. Rozpływ prądów w czwórniku aktywnym opisanym równaniami admitancyjnymi

Rozważając schemat przedstawiony na rys. 4.2 zapiszmy równania wynikającego z I prawa
Kirchhoffa:

•

dla węzła

A

4

3

42

1

4

3

42

1

12

11

2

12

1

11

12

11

1

I

I

U

y

U

y

I

I

I

⋅

+

⋅

=

+

=

(4.2)

•

dla węzła

B

4

3

42

1

4

3

42

1

22

21

2

22

1

21

22

21

2

I

I

U

y

U

y

I

I

I

⋅

+

⋅

=

+

=

(4.3)

Zauważmy, że równania (4.2) i (4.3) mają taką samą postać jak równania w układzie równań
admitancyjnych czwórnika (3.7). Potwierdza to poprawność schematu przedstawionego na rys. 4.1.

Moc pierwszego źródła sterowanego wynosi

1

2

12

U

U

y

⋅

⋅

, zaś moc drugiego

2

1

21

U

U

y

⋅

⋅

. Moce te

(np. przy prądzie stałym) są równe, jeśli

21

12

y

y

=

, co jest słuszne tylko dla czwórników

odwracalnych.

Opierając się na równaniach impedancyjnych (3.3)







⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

I

z

I

z

U

I

z

I

z

U

można zbudować czwórnik aktywny o schemacie

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

3

I

1

I

2

U

1

U

2

z

11

z

12

I

2

1

1’

2

2’

z

21

I

1

z

22

Rys. 4.3. Schemat zastępczy czwórnika aktywnego opisanego równaniami impedancyjnymi

gdzie:

11

z

- impedancja obwodu wejścia;

2

12

I

z

⋅

- źródło napięcia sterowane prądem

2

I

;

1

21

I

z

⋅

- źródło napięcia sterowane prądem

1

I

;

22

z

- impedancja obwodu wyjścia.

I

1

I

2

U

1

U

2

z

11

z

12

I

2

1

1’

2

2’

z

21

I

1

z

22

U

11

U

22

U

12

U

21

Rys. 4.4. Spadki napięć w czwórniku aktywnym opisanym równaniami impedancyjnymi

Rozważając schemat przedstawiony na rys. 4.4 zapiszmy równania wynikającego z II prawa
Kirchhoffa:

•

dla oczka z lewej strony

4

3

42

1

3

2

1

12

11

2

12

1

11

12

11

1

U

U

I

z

I

z

U

U

U

⋅

+

⋅

=

+

=

(4.4)

•

dla oczka z prawej strony

4

3

42

1

4

3

42

1

22

21

2

22

2

21

22

21

2

U

U

I

z

I

z

U

U

U

⋅

+

⋅

=

+

=

(4.5)

Zauważmy, że równania (4.4) i (4.5) mają taką samą postać jak równania w układzie równań
impedancyjnych czwórnika (3.3). Potwierdza to poprawność schematu przedstawionego na rys. 4.3.

Opierając się na równaniach hybrydowych (3.19)







⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

U

h

I

h

I

U

h

I

h

U

można zbudować czwórnik aktywny o schemacie

I

1

U

1

h

11

h

12

U

2

1

1’

I

2

U

2

2

2’

h

21

I

1

h

22

Rys. 4.5. Schemat zastępczy czwórnika aktywnego opisanego równaniami hybrydowymi

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

4

gdzie:

11

h

- impedancja obwodu wejścia;

2

12

U

h

⋅

- źródło napięcia sterowane napięciem

2

U

;

1

21

I

h

⋅

- źródło prądu sterowane prądem

1

I

;

22

h

- admitancja obwodu wyjścia.

C

I

21

I

22

I

1

U

1

h

11

h

12

U

2

1

1’

I

2

U

2

2

2’

h

21

I

1

h

22

U

11

U

12

Rys. 4.6. Rozpływ prądów i spadki napięć w czwórniku aktywnym opisanym równaniami hybrydowymi

Rozważając schemat przedstawiony na rys. 4.4 zapiszmy równania wynikającego z I i II prawa
Kirchhoffa:

•

dla oczka z lewej strony (II prawo Kirchhoffa)

4

3

42

1

3

2

1

12

11

2

12

1

11

12

11

1

U

U

U

h

I

h

U

U

U

⋅

+

⋅

=

+

=

(4.6)

•

dla węzła

C

(I prawo Kirchhoffa)

4

3

42

1

4

3

42

1

22

21

2

22

1

21

22

21

2

I

I

U

h

I

h

I

I

I

⋅

+

⋅

=

+

=

(4.7)

Zauważmy, że równania (4.6) i (4.7) mają taką samą postać jak równania w układzie równań
hybrydowych czwórnika (3.19). Potwierdza to poprawność schematu przedstawionego na rys. 4.5.

Uwaga: Wszystkie wielkości w równaniach wymienionych czwórników są albo wielkościami
zespolonymi (dla sygnałów sinusoidalnie zmiennych) albo funkcjami operatorowymi (przy analizie
stanów nieustalonych).

4.3. Klasyfikacja czwórników aktywnych

Klasyfikacja czwórników aktywnych może być oparta na różnych kryteriach. W badaniu ich
własności zaciskowych ważne są macierze:

H

Y

Z

,

,

, jednak podstawą klasyfikacji jest macierz

łańcuchowa

A . Ze względu na własności macierzy A czwórniki aktywne dzielimy na:

•

źródła sterowane,

•

konwertery impedancji,

•

inwertery impedancji,

•

układy nulatororo

−

noratorowe.

4.3.1.

Ź

ródła sterowane

Elementy aktywne, których dominującą cechą jest dostarczanie energii, nazywamy elementami
aktywnymi źródłowymi lub krótko źródłami. Wyróżniamy źródła niesterowane i źródła sterowane

Źródło niesterowane może być przedstawione za pomocą jednego z dwóch schematów zastępczych:
szeregowego (rys. 4.17a) lub równoległego (rys. 4.17c). Źródło przedstawione za pomocą schematu
szeregowego nazywamy źródłem napięcia, źródło przedstawione za pomocą schematu równoległego
nazywamy źródłem prądu.

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

5

a)

E

R

w

b)

E

J

ź

G

w

c)

d)

J

ź

Rys. 4.7. Symbole graficzne źródeł niesterowanych: a) rzeczywiste źródło napięcia;

b) idealne źródło napięcia; c) rzeczywiste źródło prądu; d) idealne źródło prądu

Napięcie źródłowe i prąd źródłowy nie zależą od napięcia lub prądu występującego we własnej lub
innej gałęzi obwodu elektrycznego.

Źródło sterowane jest czwórnikiem charakteryzującym się tym, że napięcie źródłowe lub prąd
ź

ródłowy związany z jedną parą zacisków jest proporcjonalny do napięcia lub prądu związanego z

inną parą zacisków.

Napięcie lub prąd strony pierwotnej nazywamy wielkością sterującą, a napięcie lub prąd po stronie
wtórnej wielkością sterowaną. Współczynnik proporcjonalności między wielkością sterującą i
wielkością sterowaną jest liczbą rzeczywistą oznaczaną w zależności od źródła przez

α

µ

lub

,

,

g

r

.

Rozróżniamy cztery typy źródeł sterowanych:

•

źródło napięcia sterowane prądem (rys. 4.8),

•

źródło napięcia sterowane napięciem (rys. 4.9),

•

źródło prądu sterowane napięciem (rys. 4.10),

•

źródło prądu sterowane prądem (rys. 4.11).

Źródło napięcia sterowane prądem

Symbol graficzny źródła napięcia sterowanego prądem przedstawiono na rys. 4.8. Wielkością
sterującą jest prąd

1

I

, a wielkością sterowaną jest napięcie

2

U

. Współczynnik proporcjonalności

pomiędzy wielkością sterowaną (

2

U

) a sterującą (

1

I

) oznaczmy przez r (wymiar w [Ω]).

Wówczas źródło napięcia sterowane prądem opisane jest układem równań







=

⋅

=

0

1

1

2

U

I

r

U

(4.8)

Macierz łańcuchowa

A oraz macierz impedancyjna Z mają postać

















=















=

0

0

0

0

1

0

0

r

r

Z

A

(4.9)

a)

b)

I

1

≠

0

U

1

=0

U

2

I

1

U

2

Rys. 4.8. Symbole graficzne źródła napięcia sterowanego prądem: a) rzeczywiste źródło

napięcia sterowanego prądem; b) idealne źródło napięcia sterowanego prądem

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

6

Źródło napięcia sterowane napięciem

Symbol graficzny źródła napięcia sterowanego napięciem przedstawiono na rys. 4.9. Wielkością
sterującą jest napięcie

1

U

, a wielkością sterowaną jest napięcie

2

U

. Współczynnik

proporcjonalności pomiędzy wielkością sterowaną (

2

U

) a sterującą (

1

U

) oznaczmy przez

µ

(wielkość bezwymiarowa). Wówczas źródło napięcia sterowane napięciem opisane jest układem
równań







=

=

0

1

1

2

I

U

U

µ

(4.10)

Macierz łańcuchowa

A oraz macierz hybrydowa odwrócona G mają postać













=

















=

0

0

0

0

0

0

1

µ

µ

G

A

(4.11)

Ź

ródło napięcia sterowane napięciem można traktować jako idealny wzmacniacz napięcia o

współczynniku wzmocnienia równym

µ

.

a)

b)

U

1

U

2

I

1

=0

U

1

≠

0

U

2

Rys. 4.9. Symbole graficzne źródła napięcia sterowanego napięciem: a) rzeczywiste źródło

napięcia sterowanego napięciem; b) idealne źródło napięcia sterowanego napięciem

Źródło prądu sterowane napięciem

Symbol graficzny źródła prądu sterowanego napięciem przedstawiono na rys. 4.10. Wielkością
sterującą jest napięcie

1

U , a wielkością sterowaną jest prąd

2

I . Współczynnik proporcjonalności

pomiędzy wielkością sterowaną (

2

I ) a sterującą (

1

U ) oznaczmy przez g (wymiar w [S]). Wówczas

ź

ródło prądu sterowane napięciem opisane jest układem równań







=

=

0

1

1

2

I

U

g

I

(4.12)

Macierz łańcuchowa

A oraz macierz admitancyjna Y mają postać

















=

















=

0

0

0

0

0

1

0

g

g

Y

A

(4.13)

a)

b)

I

1

=0

U

1

≠

0

I

2

U

1

I

2

Rys. 4.10. Symbole graficzne źródła prądu sterowanego napięciem: a) rzeczywiste źródło

prądu sterowanego napięciem; b) idealne źródło prądu sterowanego napięciem

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

7

Źródło prądu sterowane prądem

Symbol graficzny źródła prądu sterowanego napięciem przedstawiono na rys. 4.11. Wielkością
sterującą jest prąd

1

I

, a wielkością sterowaną jest prąd

2

I

. Współczynnik proporcjonalności

pomiędzy wielkością sterowaną (

2

I

) a sterującą (

1

I

) oznaczmy przez

α

(wielkość bezwymiarowa).

Wówczas źródło prądu sterowane prądem opisane jest układem równań







=

=

0

1

1

2

U

I

I

α

(4.14)

Macierz łańcuchowa

A oraz macierz hybrydowa H mają postać

















=

















=

0

0

0

1

0

0

0

α

α

H

A

(4.15)

Ź

ródło prądu sterowane prądem można traktować jako idealny wzmacniacz prądu o wzmocnieniu

α

.

a)

b)

I

1

≠

0

U

1

=0

I

2

I

1

I

2

Rys. 4.11. Symbole graficzne źródła prądu sterowanego prądem: a) rzeczywiste źródło

prądu sterowanego prądem; b) idealne źródło prądu sterowanego prądem

We wszystkich źródłach sterowanych wielkość wyjściowa jako sterowana jest proporcjonalna do
wielkości wejściowej – sterującej, a współczynniki proporcjonalności pomiędzy tymi wielkościami są
liczbami rzeczywistymi. Ponieważ wielkość sterująca nie zależy od sterowanej, przekazywanie
sygnału odbywa się tylko w jednym kierunku. Są to zatem układy o jednostronnym działaniu, czyli
nieodwracalne.

Zauważmy, że macierz łańcuchowa

A każdego idealnego źródła sterowanego posiada tylko jeden

niezerowy element:

D

C

B

A

lub

,

,

- element ten w każdej z macierzy łańcuchowej poszczególnych

ź

ródeł zajmuje inną pozycję, tę samą natomiast pozycję niezerowy element zajmuje w macierzach

Z,

G, H, Y przedstawionych w równaniach (4.9), (4.11), (4.13) i (4.15).

Cechą charakterystyczną wszystkich czterech idealnych źródeł sterowanych jest to, że

moc wejściowa

jest równa zeru. Zgodnie z teorią moc chwilową na wejściu źródła możemy obliczyć ze wzoru:

)

(

)

(

)

(

1

1

1

t

i

t

u

t

p

=

. Z równań opisujących źródła wynika, że w każdym z czterech przypadków, albo

V

0

)

(

1

=

t

u

, albo

A

0

)

(

1

=

t

i

. Tak więc

W

0

)

(

1

=

t

p

. Moc na wyjściu idealnych źródeł sterowanych

nie jest zerowa, poza przypadkiem, gdy wielkość sterująca jest zerowa.

4.3.2. Konwertery impedancji

Konwertery impedancji są czwórnikami aktywnymi, dla których macierz łańcuchowa ma dwa
parametry zerowe:

S

0

,

0

=

Ω

=

C

B

. Podobnie jest dla macierzy hybrydowej:

S

0

,

0

22

11

=

Ω

=

h

h

.

Możemy więc napisać

D

h

A

h

h

h

D

A

k

k

1

i

gdzie

,

0

0

,

0

0

21

12

21

12

−

=

=















=

















=

H

A

(4.16)

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

8

Z postaci macierzy

k

k

H

A

i

(4.16) wynikają następujące równania dla konwertera

•

Równanie łańcuchowe







=

=

⇒













⋅













=













2

1

2

1

2

2

1

1

0

0

I

D

I

U

A

U

I

U

D

A

I

U

(4.17)

•

Równanie hybrydowe







=

=

⇒













⋅













=













1

21

2

2

12

1

2

1

21

12

2

1

0

0

I

h

I

U

h

U

U

I

h

h

I

U

(4.18)

Równania te nasuwają możliwość przedstawienia konwertera w postaci pary idealnych źródeł
sterowanych (rys. 4.12). Zwróćmy uwagę na kierunek prądu

2

I .

1

1

I

D

lub

2

U

A

2

12

U

h

1

21

I

h

I

2

I

1

I

2

I

1

U

2

U

1

U

2

U

1

Rys. 4.12. Równoważne schematy zastępcze konwertera

Konwertery impedancji posiadają zdolność konwertowania impedancji

0

Z podłączonej po stronie

wtórnej. Zdolność konwersji wyraża się tym, że impedancja wejściowa konwertera jest
proporcjonalna do

0

Z . Współczynnik proporcjonalności może być dodatni lub ujemny. Impedancja

wejściowa konwertera obciążonego impedancją

0

Z wyznaczana jest z zależności

0

0

21

12

0

0

0

Z

K

Z

h

h

Z

D

A

D

Z

C

B

Z

A

Z

k

we

=

−

=

=

+

+

=

(4.19)

Wielkość

k

K nazywamy współczynnikiem konwersji. Konwerter przekształca z pewnym dodatnim

lub ujemnym współczynnikiem konwersji K

k

impedancję dołączoną do wyjścia.

Na podstawie równania (4.19) możemy zapisać

21

12

lub

h

h

K

D

A

K

k

k

−

=

=

(4.20)

W zależności od znaku współczynnika konwersji rozróżniamy konwertery dodatnio

−

impedancyjne

(ang.

Positive Impedance Converter, w skrócie PIC) oraz konwertery ujemno

−

impedancyjne (ang.

Negative Impedance Converter, w skrócie NIC).

Przykładem konwertera dodatnio-impedancyjnego jest transformator idealny, przy czym

ϑ

ϑ

1

,

=

=

D

A

I

2

I

1

U

2

U

1

ϑ

Rys. 4.13. Transformator idealny

Transformator idealny - element czterozaciskowy, który zawiera
dwie cewki sprzężone magnetycznie, a mianowicie cewkę
pierwotną i wtórną. Parametrem charakteryzującym transformator
idealny jest przekładnia

ϑ

. Ponieważ dla trafo idealnego mamy

ϑ

=

2

1

U

U

oraz

ϑ

1

2

1

=

I

I

to macierzowe równanie łańcuchowe

transformatora idealnego ma postać:













⋅





















=













2

2

1

1

1

0

0

I

U

I

U

ϑ

ϑ

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

9

Większe znaczenie praktyczne mają konwertery ujemno

−

impedancyjne, ponieważ pozwalają na

realizację ujemnych rezystancji, indukcyjności i pojemności.

Zmianę znaku impedancji wejściowej

we

Z

uzyskuje się poprzez zmianę zwrotu prądu (układ zwany

C NIC) lub napięcia (układ zwany V NIC).

Macierz łańcuchowa konwertera ujemno-impedancyjnego typu C NIC ma postać

















−

=

2

1

NIC

C

1

0

0

k

k

A

(4.21)

Macierz łańcuchowa konwertera ujemno-impedancyjnego typu V NIC ma postać

















−

=

2

1

NIC

V

1

0

0

k

k

A

(4.22)

4.3.3. Inwertery impedancji

Inwertery impedancji są czwórnikami aktywnymi, dla których macierz łańcuchowa ma dwa
parametry zerowe:

0

,

0

=

=

D

A

. Podobnie jest dla macierzy impedancyjnej:

Ω

=

Ω

=

0

,

0

22

11

z

z

.

Możemy więc napisać

C

z

B

z

z

z

C

B

i

i

1

i

gdzie

,

0

0

,

0

0

21

12

21

12

=

=















=

















=

Z

A

(4.23)

Z postaci macierzy

i

i

Z

A i

(4.23) wynikają następujące równania dla inwertera

•

Równanie łańcuchowe







=

=

⇒













⋅













=













2

1

2

1

2

2

1

1

0

0

U

C

I

I

B

U

I

U

C

B

I

U

(4.24)

•

Równanie impedancyjne







=

=

⇒













⋅













=













1

21

2

2

12

1

2

1

21

12

2

1

0

0

I

z

U

I

z

U

I

I

z

z

U

U

(4.25)

Równania te nasuwają możliwość przedstawienia każdego inwertera w postaci pary idealnych źródeł
sterowanych (rys. 4.14). Zwróćmy uwagę na kierunek prądu

2

I .

lub

I

2

I

1

I

2

I

1

U

2

U

1

U

2

U

1

1

1

I

C

2

I

B

2

12

I

z

1

21

I

z

Rys. 4.14. Równoważne schematy zastępcze inwertera

Inwertery impedancji posiadają zdolność odwracania (w sensie matematycznym) impedancji

0

Z

podłączonej po stronie wtórnej. Impedancja wejściowa inwertera obciążonego impedancją

0

Z

wyznaczana jest z zależności

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

10

0

0

21

12

0

0

0

1

1

1

Z

K

Z

z

z

Z

C

B

D

Z

C

B

Z

A

Z

i

we

=

−

=

=

+

+

=

(4.26)

Wielkość

i

K nazywamy współczynnikiem inwersji. Inwerter odwraca impedancję obciążenia z

pewnym dodatnim lub ujemnym współczynnikiem inwersji K

i

.

Na podstawie równania (4.26) możemy zapisać

21

12

lub

z

z

K

C

B

K

i

i

−

=

=

(4.27)

W zależności od znaku współczynnika inwersji rozróżniamy inwertery dodatnio

−

impedancyjne (ang.

Positive Impedance inVerter, w skrócie PIV) oraz inwertery ujemno

−

impedancyjne (ang.

Negative

Impedance inVerter, w skrócie NIV).

Znaczenie praktyczne ma inwerter dodatnio

−

impedancyjny zwany ż

yratorem. Symbol graficzny

żyratora przedstawiono na rys. 4.15.

I

2

I

1

I

2

I

1

U

2

U

1

U

2

U

1

R

-G U

1

G U

2

a)

b)

Rys. 4.15. Żyrator: a) symbol graficzny, b) realizacja przy pomocy źródeł sterowanych

R na rysunku 4.15 nazywamy

rezystancją żyracji, a G = 1/R konduktancją żyracji. Żyrator opisany

jest następującymi równaniami i macierzami

















−

=

















−

=

















=







=

=

0

0

0

0

0

0

2

1

2

1

G

G

R

R

G

R

U

G

I

I

R

U

ż

ż

ż

Y

Z

A

(4.28)

Współczynnik inwersji oraz impedancję wejściową żyratora obciążonego impedancją

0

Z można

obliczyć ze wzorów

0

2

2

1

Z

R

Z

R

G

R

C

B

K

we

i

=

=

=

=

(4.29)

Wa

żną cechą żyratora jest zdolność symulowania indukcyjności, nawet o dużych wartościach.

Rzeczywi

ście, jeżeli żyrator obciążyć kondensatorem o impedancji

)

j

/(

1

C

Z

C

ω

=

, to wówczas

impedancja wejściowa żyratora

L

C

R

C

R

Z

R

Z

C

we

ω

ω

ω

j

j

j

1

2

2

2

=

=

=

=

(4.30)

Tak więc jeżeli do zacisków wyjściowych żyratora dołączymy kondensator o pojemności C to od
strony zacisków wejściowych można żyrator traktować jako element indukcyjny L o wartości

określonej wzorem

C

R

L

2

=

.

Np. dla pojemności

µ

F

1

=

C

i rezystancji żyracji

Ω

=

k

1

R

, symulowana indukcyjność

H

1

=

L

.

Ż

yrator jest czwórnikiem nieodwracalnym. Jest układem bezstratnym, ponieważ jeżeli

2

1

I

R

U

−

=

oraz

2

1

U

G

I

=

to

0

2

2

1

1

=

⋅

+

⋅

I

U

I

U

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

11

Jeżeli w macierzy łańcuchowej (4.28) przyjmiemy

1

1

1

G

R

B

=

=

oraz

2

2

1

G

R

C

=

=

to żyrator jest

wówczas nieidealny i posiada dwie rezystancje (konduktancje) żyracji.

4.3.4. Układy nulatorowo-noratorowe

Do budowy schematów zastępczych układów zawierających elementy aktywne często stosuje się dwa
rodzaje dwójników o specyficznych własnościach. Są to:

nulator i norator (rys. 4.16).

I

I

U

U

a)

b)

Rys. 4.16. Symbole graficzne: a) nulatora i b) noratora

Elementy te nazywa się zdegenerowanymi, gdyż własności, które wykazują różnią się w istotny
sposób od własności elementów rozpatrywanych dotychczas.

Nulator jest to element, przez który nie płynie prąd i na zaciskach którego nie występuje napięcie.

Norator charakteryzuje się z kolei tym, że płynie przez niego prąd o dowolnej wartości i na jego
zaciskach panuje napięcie również o dowolnej wartości. Napięcie i prąd noratora nie zależą więc od
siebie wzajemnie.

Nulatora i noratora nie można zrealizować fizycznie, mimo to układy nulatorowo

−

noratorowe dają

możliwość modelowania wielu realnych elementów. Na przykład połączenie szeregowe (rys. 4.17a)
nulatora z noratorem odwzorowuje przerwę w obwodzie. Połączenie równoległe (rys. 4.17b) tych
elementów odwzorowuje zwarcie.

I

U

2

U

a)

U

1

I

b)

U

I

1

I

2

Rys. 4.17. Połączenia nulatora z noratorem: a) szeregowe; b) równoległe

W układzie przedstawionym na rys. 4.17a napięcie na nulatorze U

1

=0 (własności nulatora), napięcie

na noratorze przyjmuje wartość dowolną (własności noratora). Prąd płynący przez nulator jest równy
zeru (własności nulatora), zatem układ przedstawia element, którego prąd jest równy zeru, a na
którego zaciskach napięcie ma wartość dowolną, co jest równoznaczne z przerwą w obwodzie.

W układzie przedstawionym na rys. 4.17b napięcie na zaciskach układu jest równe zeru (własności
nulatora). Prąd I

1

płynący przez nulator jest równy zeru (własności nulatora), a prąd I

2

płynący przez

norator ma wartość dowolną (własności noratora). Prąd całkowity I będący sumą prądów I

1

i I

2

przyjmuje zatem wartość dowolną. Układ zatem przedstawia element, na zaciskach którego napięcie
jest równe zeru, a przepływający przez ten element prąd przyjmuje wartość dowolną, co jest
równoznaczne ze zwarciem w obwodzie.

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

12

Czwórnik, który po stronie pierwotnej posiada nulator, a po wtórnej norator ma własności idealnego
wzmacniacz operacyjnego. Taki czwórnik nazywamy nulorem (rys. 4.18).

U

1

I

1

I

2

U

2

Rys. 4.18. Nulor – czwórnik posiadający w obwodzie

wejścia nulator, a w obwodzie wyjścia norator

W układzie przedstawionym na rys. 4.18 napięcie na wejściu i prąd na wejściu są równe zeru
(własności nulatora), a napięcie na wyjściu i prąd na wyjściu przyjmują wartości dowolne (własności
noratora). Jeżeli porównamy własności idealnego wzmacniacza operacyjnego z własnościami nulora
to stwierdzimy, że nulor odwzorowuje wzmacniacz operacyjny. Nulorowi można więc
przyporządkować realny element.

W układach zastępczych tworzonych z nulatorów i naratorów elementy te występują parami i
odwzorowują realnie istniejące czwórniki aktywne. Przykładami mogą być idealny wzmacniacz
napięcia (rys. 4.19) i idealny wzmacniacz prądu (rys. 4.20).

I

1

U

2

U

1

a)

b)

I

2

1

1’

2

2’

1’

2’

I

2

2

U

2

I

1

U

1

1

Rys. 4.19. Idealny wzmacniacz napięcia: a) schemat nulatorowo-noratorowy;

b) tranzystor w układzie wspólnego kolektora

W układzie przedstawionym na rys. 4.19 prąd na wejściu I

1

=0 (prąd płynący przez nulator jest równy

zeru), napięcie na wejściu jest równe napięciu na wyjściu U

1

=U

2

(napięcie na nulatorze jest równe

zeru). Napięcie na wyjściu przyjmuje wartość dowolną (taka jest własność napięcia na noratorze), zaś
prąd na wyjściu I

2

przyjmuje wartość dowolną (jest to własność prądu płynącego przez norator) i

zależny jest od impedancji obciążenia. Wymienione własności ma idealny wzmacniacz napięcia o
wzmocnieniu równym jedności realizowany np. w układzie tranzystora o wspólnym kolektorze
(wtórnik emiterowy), przedstawionym na rys. 4.19b.

I

1

U

2

U

1

a)

b)

I

2

1

1’

2

2’

1’

2’

I

2

2

U

2

I

1

U

1

1

Rys. 4.20. Idealny wzmacniacz prądu: a) schemat nulatorowo-noratorowy;

b) tranzystor w układzie wspólnej bazy

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

13

W układzie przedstawionym na rys. 4.20 napięcie na wejściu U

1

=0 (napięcie na nulatorze jest równe

zeru), prąd na wejściu jest równy i przeciwnie skierowany do prądu na wyjściu I

1

=-I

2

. Prąd ten

przyjmuje wartość dowolną (prąd płynący przez norator przyjmuje wartość dowolną). Wymienione
własności ma idealny wzmacniacz prądu o wzmocnieniu równym jedności realizowany np. w układzie
tranzystora o wspólnym bazie przedstawionym na rys. 4.20b.

4.4. Realizacja

ź

ródeł sterowanych, konwerterów i inwerterów

Podstawowym elementem aktywnym, który pozwala na realizację źródeł sterowanych,

konwerterów i inwerterów jest wzmacniacz operacyjny. Wzmacniaczem operacyjnym nazywamy
wzmacniacz napięcia o

•

bardzo dużym współczynniku wzmocnienia K>10

5

V/V,

•

dużej rezystancji wejściowej R

we

>1 M

Ω

•

małej rezystancji wyjściowej R

wy

<100

Ω

.

Wzmacniacz operacyjny ma trzy zaciski:

•

zacisk 1 oznaczony znakiem „-” nosi nazwę wejścia odwracającego.

•

zacisk 2 oznaczony znakiem „+” nosi nazwę wejścia nieodwracającego.

•

zacisk 3 to zacisk wyjściowy.

Napięcie wyjściowe

2

U

związane jest z napięciem wejściowym zależnością

•

dla układu jak rys. 4.21a):

)

(

2

−

+

−

=

U

U

K

U

•

dla układu jak rys. 4.21b):

−

−

=

U

K

U

2

, ponieważ

V

0

=

+

U

a)

b)

U

2

U

+

U

--

2

3

1

+



1

U

2

U

--

2

3

+



Rys. 4.21. Wzmacniacz operacyjny a) różnicowy, b) odwracający

Przy badaniu obwodów elektrycznych zawierających wzmacniacze operacyjne zakłada się

zazwyczaj, że wzmacniacz jest elementem idealnym. Idealny wzmacniacz operacyjny ma

•

współczynnik wzmocnienia

∞

=

K

•

rezystancję wejściową nieskończenie dużą

∞

=

we

R

,

•

rezystancję wyjściową znikomo małą

Ω

=

0

wy

R

.

Dla wzmacniacza idealnego zachodzi równość

−

+

=

U

U

, gdyż tylko wtedy napięcie

0

)

(

2

⋅

∞

=

−

=

−

+

U

U

K

U

ma skończoną wartość. Ponadto prądy wejściowe wzmacniacza są równe

zeru z powodu

∞

=

we

R

.

)

(

2

−

+

−

=

U

U

K

U

−

−

=

U

K

U

2

a)

I

1

=0A

I

2

=0A

U

2

U

+

U

--

2

3

1

b)

I

1

=0A

I

2

=0A

1

U

2

U

--

2

3

Rys. 4.22. Schematy zastępcze wzmacniacza: a) różnicowego (U

2

=K(U

+

-U

-

), b) odwracającego (U

2

=-KU

-

)

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

14

Schematy zastępcze wzmacniaczy z rys. 4.21 przedstawiono na rys. 4.22. Widzimy, że wzmacniacz
operacyjny jest wzmacniaczem napięcia, bo na schemacie zastępczym znajduje się źródło napięcia
sterowane napięciem. Podczas rozwiązywania zadań, w których

∞

=

K

należy najpierw wyznaczyć

żą

dane wielkości np. impedancję wejściową obwodu zachowując symbol K we wzorach, a dopiero

po otrzymaniu ostatecznych formuł dokonać przejścia granicznego

∞

→

K

.

a)

1

U

2

U

1

2

3

+



1

2

U

K

U

−

=

KE

U

1

U

2

-KE

E

-E

b)

Dla U

1

<E

napięcie wyjściowe
jest liniowo zależne
od wejściowego

Dla U

1

>E

napięcie wyjściowe
jest stałe (nasycenie)

Rys. 4.23. Wzmacniacz operacyjny w układzie odwracającym (rys.

a

);

charakterystyka napięciowo-napięciowa (wejście-wyjście) (rys. b)

Przykład realizacji źródła napięcia sterowanego napięciowo przedstawiono na rys. 4.24 (wzmacniacz
operacyjny jest idealny).

R

2

U

2

U

1

U

--

R

1

+



I

1

Rys. 4.24.Przykład realizacji źródła napięcia sterowanego napięciowo

Dla tego układu zachodzi relacja:

2

2

1

2

R

U

R

R

U

−

=

+

(4.31)

Dla wzmacniacza idealnego zachodzi

1

U

U

=

−

, wówczas

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

U

R

R

U

R

U

R

R

U













+

=

⇒

=

+

(4.32)

Z własności idealnego wzmacniacza operacyjnego wynika ponadto, że

0

1

=

I

(4.33)

Zauważmy, że równania (4.32) i (4.33) są zgodne z równaniem (4.10)







=

=

0

1

1

2

I

U

U

µ

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

15

a zatem układ przedstawiony na rys. 4.24 jest źródłem napięcia sterowanym napięciowo.
Współczynnik proporcjonalności

2

1

1

R

R

+

=

µ

(4.34)

Przykład realizacji konwertera ujemno-impedancyjnego NIC na rys. 4.25 (wzmacniacz operacyjny
jest idealny).

U

2

U

1

R

1

+



I

1

R

2

I

2

Rys. 4.25.Przykład realizacji konwertera ujemno-impedacyjnego NIC

Dla tego układu spełnione s

ą równania:

2

1

U

U

=

(4.35)

2

2

2

1

1

1

U

I

R

I

R

U

=

⋅

+

⋅

−

(4.36)

Przekształcaj

ąc równanie (4.36) (przy uwzględnieniu równania 4.35) otrzymamy

2

1

2

1

I

R

R

I

⋅

=

(4.37)

Równania (4.35) i (4.37) zapiszmy w postaci macierzowej













−

⋅





















−

=













2

2

1

2

1

1

0

0

1

I

U

R

R

I

U

(4.38)

(znak „-” przy prądzie I

2

wynika z innego zastrzałkowania tego prądu w stosunku do przyjętego

strzałkowania prądu I

2

na schemacie przy rozważaniu postaci łańcuchowej równań czwórnika)

Porównując równanie (4.38) z równaniem (4.17) stwierdzamy, że układ przedstawiony na rys. 4.25
jest układem konwertera ujemno-impedancyjnego, ponieważ współczynnik konwersji jest ujemny

1

2

R

R

D

A

K

k

−

=

=

(4.39)

Również żyrator (inwerter ujemno-impedancyjny) może być zrealizowany przy użyciu kilku
wzmacniaczy operacyjnych i kilkunastu rezystorów.

4.5. Podstawowe układy wykorzystuj

ą

ce wzmacniacz operacyjny

4.5.1.

Wzmacniacz w układzie odwracającym

Wzmacniacz w układzie odwracającym przedstawiono na rys. 4.26.

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

16

-

+

K

R

1

R

2

U

wy

U

we

a)

-

+

K

R

1

I

1

R

2

I

2

U

wy

U

we

U

R1

U

R2

b)

I

w

U

k

Rys. 4.26. Wzmacniacz w układzie odwracającym (rys. a); zwroty prądów i napięć na elementach (rys. b)

W układzie przedstawionym na rys. 4.26b można zapisać następujące równania:

w

I

I

I

+

=

2

1

(4.40)

k

R

we

U

U

U

+

=

1

(4.41)

wy

R

k

U

U

U

+

=

2

(4.42)

Przy założeniu, że wzmacniacz jest idealny, otrzymamy

•

0

=

w

I

, ze względu na fakt, iż impedancja wejściowa idealnego wzmacniacza

∞

=

we

R

•

0

=

k

U

, ze względu na fakt, iż współczynnik wzmocnienia

∞

=

K

(

0

=

∞

=

=

wy

wy

k

U

k

U

U

)

Otrzymamy wówczas

2

1

I

I

=

(4.43)

1

1

1

I

R

U

U

U

we

R

we

⋅

=

⇒

=

(4.44)

2

2

2

2

0

I

R

U

U

U

U

U

wy

R

wy

wy

R

⋅

−

=

⇒

−

=

⇒

+

=

(4.45)

Z równania (4.44) otrzymamy

1

1

1

1

R

U

R

U

I

we

R

=

=

(4.46)

Z równania (4.45) otrzymamy

2

2

2

2

R

U

R

U

I

wy

R

−

=

=

(4.47)

Ze względu na równość prądów (4.43) możemy zapisać

2

1

2

1

R

U

R

U

I

I

wy

we

−

=

⇒

=

(4.48)

Po przekształceniu równania (4.48) otrzymamy

1

2

R

R

U

U

we

wy

−

=

(4.49)

Wzmocnienie napięciowe w układzie odwracającym (rys. 4.26b) wynosi

1

2

R

R

U

U

k

we

wy

Uf

−

=

=

(4.50)

Zatem, mając dane napięcie na wejściu układu, można wyznaczyć napięcie na wyjściu

we

we

Uf

wy

U

R

R

U

k

U

⋅

−

=

⋅

=

1

2

(4.51)

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

17

4.5.2.

Wzmacniacz w układzie nieodwracającym

-

+

K

R

1

R

2

U

wy

U

we

a)

-

+

K

R

1

I

1

R

2

I

2

U

wy

U

we

b)

U

R1

U

R2

I

w

U

k

Rys. 4.27. Wzmacniacz w układzie nieodwracającym (rys. a); zwroty prądów i napięć na elementach (rys. b)

W układzie przedstawionym na rys. 4.27b można zapisać następujące równania:

w

I

I

I

+

=

2

1

(4.52)

0

1

=

+

+

R

k

we

U

U

U

(4.53)

0

2

=

−

−

+

wy

R

k

we

U

U

U

U

(4.54)

Przy założeniu, że wzmacniacz jest idealny, otrzymamy

•

0

=

w

I

, ze względu na fakt, iż impedancja wejściowa idealnego wzmacniacza

∞

=

we

R

•

0

=

k

U

, ze względu na fakt, iż współczynnik wzmocnienia

∞

=

K

(

0

=

∞

=

=

wy

wy

k

U

k

U

U

)

Otrzymamy wówczas

2

1

I

I

=

(4.55)

1

1

1

1

0

I

R

U

U

U

U

U

we

R

we

R

we

⋅

−

=

⇒

−

=

⇒

=

+

(4.56)

2

2

2

2

0

I

R

U

U

U

U

U

U

U

U

we

wy

R

we

wy

wy

R

we

⋅

−

=

⇒

−

=

⇒

=

−

−

(4.57)

Z równania (4.56) otrzymamy

1

1

1

1

R

U

R

U

I

we

R

−

=

=

(4.58)

Z równania (4.57) otrzymamy

2

2

2

2

R

U

U

R

U

I

wy

we

R

−

=

=

(4.59)

Ze względu na równość prądów (4.55) możemy zapisać

2

1

2

1

R

U

U

R

U

I

I

wy

we

we

−

=

−

⇒

=

(4.60)

Po przekształceniu równania (4.60) otrzymamy

[

]

1

2

1

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

U

U

U

R

R

U

R

R

U

U

R

R

U

R

U

U

R

U

we

wy

we

wy

wy

we

we

wy

we

we

+

=













+

=

⋅













+

=

⇒

⋅













+

=

⋅

−

⋅

=

−

⇒

−

=

−

(4.61)

Wzmocnienie napięciowe w układzie nieodwracającym (rys. 4.27b) wynosi

1

2

1

1

2

1

R

R

R

R

R

U

U

k

we

wy

Uf

+

=

+

=

=

(4.62)

Zatem, mając dane napięcie na wejściu układu, można wyznaczyć napięcie na wyjściu

we

we

we

Uf

wy

U

R

R

R

U

R

R

U

k

U

⋅













+

=

⋅













+

=

⋅

=

1

2

1

1

2

1

(4.63)

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

18

4.5.3.

Wzmacniacz w układzie całkującym

-

+

K

R

a)

C

u

we

(t)

u

wy

(t)

-

+

K

R

b)

C

u

we

(t)

u

wy

(t)

i

1

i

2

u

R

u

C

i

w

u

k

Rys. 4.28. Wzmacniacz w układzie całkującym (rys. a); zwroty prądów i napięć na elementach (rys. b)

W układzie przedstawionym na rys. 4.28b można zapisać następujące równania:

w

i

i

i

+

=

2

1

(4.64)

0

=

−

−

R

k

we

u

u

u

(4.65)

0

=

−

−

wy

C

k

u

u

u

(4.66)

Przy założeniu, że wzmacniacz jest idealny, otrzymamy

•

0

=

w

i

, ze względu na fakt, iż impedancja wejściowa idealnego wzmacniacza

∞

=

we

R

•

0

=

k

u

, ze względu na fakt, iż współczynnik wzmocnienia

∞

=

K

(

0

=

∞

=

=

wy

wy

k

u

k

u

u

)

Otrzymamy wówczas

2

1

i

i

=

(4.67)

1

0

i

R

u

u

u

u

u

we

R

we

R

we

⋅

=

⇒

=

⇒

=

−

(4.68)

C

wy

wy

C

u

u

u

u

−

=

⇒

=

−

−

0

(4.69)

Z równania (4.68) otrzymamy

R

u

R

u

i

we

R

=

=

1

(4.70)

Prąd płynący przez kondensator obliczamy z zależności

dt

du

C

i

C

C

=

(4.71)

Podstawiając do równania (4.71) równanie (4.69) otrzymamy

dt

du

C

dt

du

C

i

i

wy

C

C

−

=

=

=

2

(4.72)

Ze względu na równość prądów (4.67) możemy zapisać

dt

du

C

R

u

i

i

wy

we

−

=

⇒

=

2

1

(4.73)

Po przekształceniu równania (4.73) otrzymamy

τ

τ

d

u

RC

u

dt

du

u

RC

dt

du

C

R

u

t

we

wy

wy

we

wy

we

∫

−

=

⇒

=

⋅

−

⇒

−

=

0

)

(

1

1

(4.74)

Zatem przebieg czasowy napięcia na wyjściu układu przedstawionego na rys. 4.28b w funkcji
napięcia na wejściu wyraża się za pomocą zależności

∫

−

=

t

we

wy

d

u

C

R

t

u

0

)

(

1

)

(

τ

τ

(4.75)

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

19

Przykład

Na wejście układu przedstawionego na rys. 4.28a) podano napięcie

)

(t

u

we

o kształcie

przedstawionym na rys. 4.29. Obliczyć i narysować przebieg napięcia

)

(t

u

wy

, jakie pojawi się na

wyjściu układu. Wzmacniacz jest idealny. Dane:

µ

F

1

,

kΩ

200

=

=

C

R

.

3

6

-5

2

t

[s]

u

we

(t) [mV]

Rys. 4.29. Sygnał wejściowy w przykładzie obliczeniowym

Rozwiązanie:
W celu wyznaczenia napięcia na wyjściu układu

)

(t

u

wy

należy obliczyć całkę podaną we wzorze

(4.75). Przedstawmy sygnał wejściowy

)

(t

u

we

w postaci przedziałów













>

<

<

−

<

<

<

=

s

6

dla

0

s

6

s

3

dla

5

s

3

s

0

dla

2

s

0

dla

0

)

(

t

t

t

t

t

u

we

(4.76)

Na podstawie danych obliczamy:

s

0.2

µ

F

1

k

200

=

⋅

Ω

=

C

R

. Tak więc

∫

∫

−

=

−

=

t

we

t

we

wy

d

u

d

u

C

R

t

u

0

0

)

(

5

)

(

1

)

(

τ

τ

τ

τ

(4.77)

Ponieważ

)

(t

u

we

jest funkcją nieciągłą to całkowanie rozdzielamy na przedziały.

s

3

s

0

<

<

t

]

mV

[

10

10

2

5

)

(

0

0

t

d

t

u

t

t

wy

−

=

−

=

−

=

∫

τ

τ

s

6

s

3

<

<

t

]

mV

[

)

25

105

(

25

10

5

5

2

5

)

(

3

3
0

3

3

0

t

d

d

t

u

t

t

wy

+

−

=

+

−

=

−

−

=

∫

∫

τ

τ

τ

τ

s

6

>

t

]

mV

[

45

25

10

0

)

5

(

5

2

5

)

(

6
3

3
0

6

6

3

3

0

=

+

−

=

+

−

−

−

=

∫

∫

∫

τ

τ

τ

τ

τ

t

wy

d

d

d

t

u

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń można w każdym z rozważanych przedziałów sporządzić
wykres napięcia na wyjściu wzmacniacza.

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

20

Rys. 4.30. Wymuszenie

)

(t

u

we

i odpowiedź

)

(t

u

wy

układu całkującego przedstawionego na rys. 4.28a

4.5.4.

Wzmacniacz w układzie różniczkującym

-

+

K

R

C

u

we

(t)

u

wy

(t)

a)

-

+

K

R

b)

C

u

we

(t)

u

wy

(t)

i

1

i

2

u

C

u

R

i

w

u

k

Rys. 4.31. Wzmacniacz w układzie różniczkującym (rys. a); zwroty prądów i napięć na elementach (rys. b)

W układzie przedstawionym na rys. 4.31b można zapisać następujące równania:

w

i

i

i

+

=

2

1

(4.78)

0

=

−

−

k

C

we

u

u

u

(4.79)

0

=

−

−

wy

R

k

u

u

u

(4.80)

Przy założeniu, że wzmacniacz jest idealny, otrzymamy

•

0

=

w

i

, ze względu na fakt, iż impedancja wejściowa idealnego wzmacniacza

∞

=

we

R

•

0

=

k

u

, ze względu na fakt, iż współczynnik wzmocnienia

∞

=

K

(

0

=

∞

=

=

wy

wy

k

u

k

u

u

)

Otrzymamy wówczas

2

1

i

i

=

(4.81)

C

we

C

we

u

u

u

u

=

⇒

=

−

0

(4.82)

2

0

i

R

u

u

u

u

u

wy

R

wy

wy

R

⋅

−

=

⇒

−

=

⇒

=

−

−

(4.83)

Z równania (4.83) otrzymamy

R

u

R

u

i

wy

R

−

=

=

2

(4.84)

Prąd płynący przez kondensator obliczamy z zależności

dt

du

C

i

C

C

=

(4.85)

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

21

Podstawiając do równania (4.85) równanie (4.82) otrzymamy

dt

du

C

dt

du

C

i

i

we

C

C

−

=

=

=

1

(4.86)

Ze względu na równość prądów (4.81) możemy zapisać

R

u

dt

du

C

i

i

wy

we

=

−

⇒

=

2

1

(4.87)

Po przekształceniu równania (4.87) otrzymamy

dt

du

RC

u

R

u

dt

du

C

we

wy

wy

we

−

=

⇒

=

−

(4.88)

Zatem przebieg czasowy napięcia na wyjściu układu przedstawionego na rys. 4.31b w funkcji
napięcia na wejściu wyraża się za pomocą zależności

dt

t

du

C

R

t

u

we

wy

)

(

)

(

−

=

(4.89)

Przykład

Na wejście układu przedstawionego na rys. 4.31 podano napięcie

V

)

90

sin(

220

)

(

o

−

=

t

t

u

we

ω

.

Obliczyć i narysować przebieg napięcia

)

(t

u

wy

, jakie pojawi się na wyjściu układu. Wzmacniacz jest

idealny. Dane:

Hz

50

,

µ

F

1

,

kΩ

200

=

=

=

f

C

R

.

Rozwiązanie:
Na podstawie danych obliczamy:

0.2s

µ

F

1

k

200

=

⋅

Ω

=

C

R

. Wynik wstawiamy do wzoru (4.89)

dt

t

du

dt

t

du

C

R

t

u

we

we

wy

)

(

2

.

0

)

(

)

(

−

=

−

=

(4.90)

Podstawiając do wzoru (4.90)

V

)

90

sin(

220

)

(

o

−

=

t

t

u

we

ω

otrzymamy

(

)

[

]

(

)

(

)

o

o

o

o

90

90

sin

44

90

cos

44

90

sin

220

2

.

0

)

(

2

.

0

)

(

+

−

−

=

−

−

=

−

−

=

−

=

t

t

t

dt

d

dt

t

du

t

u

we

wy

ω

ω

ω

ω

ω

(4.91)

Ostatecznie

( )

( )

( )

( )

kV

sin

823

,

13

sin

13823

sin

50

2

44

sin

44

)

(

t

t

t

t

t

u

wy

ω

ω

ω

π

ω

ω

ω

−

=

−

=

⋅

⋅

⋅

−

=

−

=

4

3

42

1

(4.92)

Rys. 4.32. Wymuszenie

)

(t

u

we

i odpowiedź

)

(t

u

wy

układu różniczkującego przedstawionego na rys. 4.31

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

22

4.5.5.

Wzmacniacz w układzie sumującym

-

+

K

u

wy

R

1

u

we1

R

2

u

we2

R

3

u

we3

R

4

a)

-

+

K

u

wy

R

1

U

we1

R

2

U

we2

R

3

U

we3

R

4

b)

I

1

I

4

U

k

I

2

I

3

U

R1

U

R4

I

w

Rys. 4.33. Wzmacniacz w układzie sumującym (rys. a); zwroty prądów i napięć na elementach (rys. b)

W układzie przedstawionym na rys. 4.33b można zapisać następujące równania (wynikające z I prawa
Kirchhoffa):

w

I

I

I

I

I

+

=

+

+

4

3

2

1

(4.93)

Równanie (4.93) można zapisać także w innej postaci

w

wy

k

k

we

k

we

k

we

I

R

U

U

R

U

U

R

U

U

R

U

U

+

−

=

−

+

−

+

−

4

3

3

2

2

1

1

(4.94)

Przy założeniu, że wzmacniacz jest idealny, otrzymamy

•

0

=

w

I

, ze względu na fakt, iż impedancja wejściowa idealnego wzmacniacza

∞

=

we

R

•

0

=

k

U

, ze względu na fakt, iż współczynnik wzmocnienia

∞

=

K

(

0

=

∞

=

=

wy

wy

k

U

k

U

u

)

Otrzymamy wówczas

4

3

3

2

2

1

1

R

U

R

U

R

U

R

U

wy

we

we

we

−

=

+

+

(4.95)

Ostatecznie mając dane napięcia wejściowe można wyznaczyć napięcie na wyjściu układu













+

+

⋅

−

=

3

3

2

2

1

1

4

R

U

R

U

R

U

R

u

we

we

we

wy

(4.96)

W przypadku gdy

R

R

R

R

R

=

=

=

=

4

3

2

1

wówczas

(

)

3

2

1

we

we

we

wy

U

U

U

u

+

+

−

=

(4.97)

-

+

K

u

wy

R

1

u

we1

R

2

u

we2

R

3

u

we3

R

4

R

5

a)

-

+

K

R

1

R

2

U

wy

U

we

b)

R

3

Rys. 4.34. Wzmacniacz w układzie sumującym (rys. a); i w układzie odwracającym (rys. b)

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

23

Jeżeli w układzie sumującym pojawi się rezystancja R

5

dołączona do wejścia nieodwracającego

(rys. 4.34a), to jej wartość dobiera się na podstawie zależności

1

4

3

2

1

5

1

1

1

1

−













+

+

+

=

R

R

R

R

R

(4.98)

Podobnie, jeżeli w układzie odwracającym pojawi się rezystancja R

3

dołączona do wejścia

nieodwracającego (rys. 4.34b), to jej wartość dobiera się na podstawie zależności

1

2

1

3

1

1

−













+

=

R

R

R

(4.99)

Dzięki tak dobranej wartości rezystancji R

3

uzyskuje się najmniejszy błąd spowodowany napięciem

niezrównoważenia, powstałym na skutek przepływu wejściowych prądów polaryzujących.

Wejściowe napięcie niezrównoważenia – jest to napięcie, które należy doprowadzić między
końcówki wejściowe wzmacniacza, aby na wyjściu otrzymać napięcie równe zeru.

Do prawidłowej pracy wzmacniacza konieczny jest przepływ wejściowych prądów
polaryzujących stopień wejściowy i nazywanych wejściowymi prądami polaryzującymi. W
katalogach jako wejściowy prąd polaryzacji podaje się zwykle średnią wartość obu prądów
zmiennych przy zerowym wejściowym napięciu sumacyjnym i zerowym napięciu
wyjściowym.

FILTRY AKTYWNE

4.6. Podstawowe własno

ś

ci filtrów aktywnych

Filtry aktywne są stosowane w wielu dziedzinach elektrotechniki. Zadania przed nimi stawiane są
podobne jak dla filtrów pasywnych. Użycie elementów aktywnych takich jak wzmacniacz operacyjny
pozwala zrezygnować z cewek sprawiających wiele uciążliwości. Dzięki elementom aktywnym
można budować układy lżejsze, o mniejszych rozmiarach i lepszych własnościach elektrycznych.
Podczas projektowania filtrów aktywnych należy jednak zwrócić uwagę na ich stabilność, gdyż mogą
generować szkodliwe drgania. Przyczyną drgań są zazwyczaj niewielkie wahania parametrów filtru
spowodowane na przykład warunkami zewnętrznymi (temperatura, wilgotność powietrza itp.).

Filtry aktywne różnią się od pasywnych występowaniem źródeł sterowanych oraz pracą przy
dowolnym obciążeniu. Opis filtrów aktywnych można ograniczyć do filtrów dolnoprzepustowych,
ponieważ można je za pomocą transformacji częstotliwości przekształcić w filtry górnoprzepustowe,
pasmowoprzepustowe oraz pasmozaporowe.

-

+

K

u

wy

R

1

u

we

R

3

R

0

a)

C

1

-

+

K

u

wy

R

2

u

we

C

1

R

3

R

0

b)

R

1

C

2

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykład nr 10

24

Rys. 4.35. Realizacja filtru dolnoprzepustowego: a) pierwszego rzędu, b) drugiego rzędu

4.7. Zestawienie wła

ś

ciwo

ś

ci układów aktywnych i pasywnych

Element (układ) aktywny charakteryzuje się tym, że energia pobrana przez niego ze źródła – może być
ujemne, zaś dla pasywnego – dodatnia lub równa zeru. W odpowiednich przedziałach czasu element
aktywny można traktować jako źródło o parametrach zależnych od parametrów układu zewnętrznego i
rozpatrywać jako połączenie układu pasywnego ze źródłami sterowanymi. W praktyce większość
elementów aktywnych jest nieliniowa, ale w pewnych zakresach częstotliwości dla określonego
poziomu wartości sygnałów można je zastąpić modelami liniowymi.
Zastosowanie elementów aktywnych zwiększa niezawodność układu, powoduje jego zmniejszenie
(wymiarów i ciężaru) wskutek eliminacji cewek, a także likwiduje sprzężenia indukcyjne.
Układy aktywne znajdują zastosowanie w realizacji wzmacniaczy, filtrów częstotliwościowych i
występują w połączeniach z pasywnymi elementami R, C.

Właściwość

Układ aktywny

Układ pasywny

Realizowalność
fizyczna

Bez ograniczeń. Realizuje każdą
rzeczywistą funkcję wymierną.

Tylko rzeczywiste funkcje wymierne
w prawej półpłaszczyźnie zmiennej
„s”

Użycie cewek

Cewki są niepotrzebne

Konieczne w większości układów

Impedancja
ź

ródła dla filtrów

W większości przypadków może być
dowolnej wartości

Rezystancja o małej wartości

Impedancja
obciążenia filtrów

Może być dowolnej wartości

Zwykle musi być rezystancją

Stabilność

Potencjalnie niestabilny w całym paśmie
a w niewielkim zakresie stabilny

Bezwzględnie stabilny

Dodatkowe
zasilanie

Bezwzględnie wymagane do polaryzacji

Nie jest potrzebne

Wykorzystano następujące materiały:

1.

J. Bajorek, L. Gołębiowski, W. Posiewała, Obwody elektryczne. Laboratorium mikrokomputerowe,
Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, 1996.

2.

S. Bolkowski, Teoria obwodów elektrycznych, WNT, Warszawa, 1995.

3.

P. Horowitz, W. Hill, Sztuka elektroniki cz.1 i cz.2, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności,
Warszawa, 1992.

4.

M. Krakowski, Elektrotechnika teoretyczna. Tom I. Obwody liniowe i nieliniowe, Państwowe
Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1983.

5.

A. Kuczyński, M. Ossowski, W. Zieliński, J. Ziemnicki, Teoria obwodów. Zadania, Wydawnictwo
Politechniki Łódzkiej, Łódź, 1994.

6.

R. Kurdziel, Podstawy elektrotechniki, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1973.

7.

T. Masewicz, Radioelektronika dla praktyków, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności,
Warszawa, 1986.

8.

K. Rzepka, Wykłady z Obwodów i Sygnałów dla Studentów kierunku Informatyka na Wydziale
Elektrotechniki i Informatyki Politechniki Rzeszowskiej.

9.

A. Szczepański, M. Trojnar, Obwody i Sygnały. Laboratorium komputerowe, Wyd. II, Oficyna
Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, 2004.