Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

1

Klasyfikacja obwodów elektrycznych i metod ich badania

Badanie obwodu elektrycznego polega na wyznaczenie pewnych wielko

ś

ci niewiadomych

charakteryzuj

ą

cych dany obwód.

Rozró

ż

niamy nast

ę

puj

ą

ce typy zagadnie

ń

:

1). Analiza obwodu – polega na ocenie jego odpowiedzi na ró

ż

ne sygnały wej

ś

ciowe i na

okre

ś

leniu jego wła

ś

ciwo

ś

ci

2). Synteza obwodu – sprowadza si

ę

do okre

ś

lenia jego struktury w zale

ż

no

ś

ci od

przyj

ę

tych, realizowanych charakterystyk

3). Zagadnienie aproksymacji – polega na przybli

ż

eniu wymaganych charakterystyk

projektowych przez charakterystyki fizycznie realizowalne

Metody badania obwodu mo

ż

na podzieli

ć

na:

1). Sieciowe, gdy dana jest pełna struktura obwodu i parametry jego elementów a
poszukujemy rozpływu pr

ą

du i rozkładów napi

ęć

na poszczególnych elementach sieci

elektrycznej.

2). Zaciskowe, gdy obwód jest traktowany jako dwójnik, czwórnik lub ogólnie n-wrotnik;
wówczas okre

ś

la si

ę

zale

ż

no

ś

ci pomi

ę

dzy wielko

ś

ciami zwi

ą

zanymi z zaciskami obwodu bez

wnikania w jego struktur

ę

wewn

ę

trzn

ą

.

Obwód albo sie

ć

jest kombinacj

ą

elementów poł

ą

czonych z zewn

ę

trznymi

ź

ródłami.

Ź

ródła

wytwarzaj

ą

w sieci sygnały wej

ś

ciowe lub wymuszenia. Wynikaj

ą

ce st

ą

d napi

ę

cia i pr

ą

dy

w ró

ż

nych miejscach sieci s

ą

jej sygnałami wyj

ś

ciowymi albo odpowiedziami.

Mo

ż

na powiedzie

ć

,

ż

e analiza sieci polega na wyznaczeniu odpowiedzi danej sieci na

zadane sygnały wej

ś

ciowe, za

ś

synteza sieci polega na takim jej zaprojektowaniu, aby

uzyska

ć

żą

dane odpowiedzi na zadane sygnały.

Graficznym opisem struktury sieci oraz rodzaju i funkcji jej elementów jest schemat ideowy.
Natomiast graficznym opisem wła

ś

ciwo

ś

ci zaciskowych sieci jest schemat blokowy.

Schemat ideowy cewki idealnej

(bezrezystancyjnej)

i

u

L

u

L

Schemat blokowy

y(t)=L

i’(t)

x(t)=

i(t)

wyj

ś

cie

wej

ś

cie

y(t)=Lx’(t)

i

– wymuszenie (prąd)

Sygnał wyjściowy jest proporcjonalny

uL

– odpowiedź (napięcie samoindukcji)

do pochodnej sygnału wejściowego

dt

di

L

u

L

=

Sygnał wyjściowy jest proporcjonalny

do pochodnej sygnału wejściowego
Ten sam schemat blokowy może przedstawiać
kondensator jeśli: x(t)=u(t), zaś
y(t)=C(du/dt); schemat ideowy będzie inny.

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

2

W schemacie ideowym sygnały: wejściowy i wyjściowy są wielkościami fizycznymi tj.
napięciami i prądami, a schemat pokazuje nie tylko ich wzajemną zależność, ale także typ i
rodzaj użytych elementów.

Schematy blokowe nie dają żadnej informacji na temat struktury i rodzaju elementów
sieci, a ich wielkości wejściowe i wyjściowe nie muszą być wielkościami fizycznymi.

Obwody elektryczne i ich elementy dzielimy na:

1). Liniowe – spełniaj

ą

zasad

ę

superpozycji: odpowied

ź

obwodu liniowego na jednoczesne

działanie kilku wymusze

ń

jest równa sumie algebraicznej odpowiedzi na ka

ż

de wymuszenie

z osobna.

2). Nieliniowe – nie spełniaj

ą

zasady superpozycji, opisuj

ą

je równania nieliniowe, w których

wielko

ś

ci elektryczne i ich pochodne wyst

ę

puj

ą

w pot

ę

dze ró

ż

nej od jeden.

3). Stacjonarne – zło

ż

one z elementów o warto

ś

ciach niezmiennych w czasie.

4). Niestacjonarne – nazywane parametrycznymi.

5). Pasywne – zło

ż

one z elementów pasywnych R, L, C (energia pobrana przez te elementy

jest wi

ę

ksza lub równa 0).

6). Aktywne – je

ś

li w skład obwodu wchodzi chocia

ż

jeden element aktywny np.

ź

ródło,

dioda tunelowa, tranzystor, wzmacniacz operacyjny.

7). O parametrach skupionych – gdy mog

ą

by

ć

pomini

ę

te zjawiska falowe przy przepływie

sygnałów.

8). O parametrach rozło

ż

onych – gdy potrzebny jest sko

ń

czony czas na przeniesienie

sygnału z jednego ko

ń

ca obwodu do drugiego (np. linia długa zwana transmisyjn

ą

).

9). Odwracalne – maj

ą

takie same wła

ś

ciwo

ś

ci niezale

ż

nie od sposobu poł

ą

czenia i od

biegunowo

ś

ci przyło

ż

onego napi

ę

cia.

10). Nieodwracalne – np. dioda, tranzystor.

11). Dwójniki – maj

ą

dwa zaciski.

12). Wielobiegunniki – maj

ą

„n” zacisków (np. tranzystor – ma 3 zaciski).

13). Elementy idealne – charakteryzuje jeden rodzaj procesów: a) wytwarzane energii
(

ź

ródła); b) rozpraszanie (rezystory); c) akumulacja (w cewkach i kondensatorach)

14). Elementy rzeczywiste – charakteryzuj

ą

dwa lub trzy rodzaje procesów z a), b), c).

Klasyfikacja sygnałów i obwodów elektrycznych

Sygnały.

Funkcje opisujące zmienność w czasie wielkości fizycznych będziemy nazywać

przebiegami czasowymi

tych wielkości lub

sygnałami

. Możemy zatem powiedzieć, że

napięcie określone wzorem:

ma przebieg sinusoidalny lub że ta powyższa zależność określa sygnał sinusoidalny. (nazwy
„sinusoidalny” używamy w odniesieniu do powyższego sygnału, niezależnie od tego czy w
zapisie posługujemy się funkcją sinus, czy cosinus, tzn. niezależnie od wartości fazy
początkowej

ψ

u)

)

sin(

)

(

u

m

t

U

t

u

ψ

ω

+

=

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

3

Nazwy „sygnał” używamy zwłaszcza wtedy, kiedy chodzi o podkreślenie rodzaju zmienności
w czasie, a nie rodzaju wielkości fizycznej. Mówimy np.: sygnały stałe, sygnały okresowo
zmienne, sygnały o skończonej energii itp. Nie precyzując najczęściej czy chodzi tu o sygnały
napięć, prądów, sił elektromotorycznych itp.

Istnieje wiele rodzajów sygnałów, np.:
• sygnał radiowy,
• sygnał optyczny,
• sygnał ultradźwiękowy,
• sygnał elektryczny.

Sygnałami elektrycznymi są różne napięcia i prądy w sieci elektrycznej nazywanej
„obwodem” lub „układem” elektrycznym.

Pojęcie „układ” jest ogólne i można je odnieść do wielu dziedzin nauki i techniki, np.:
• układ elektroniczny,
• układ transportowy,
• układ biologiczny,
• układ planetarny.

W elektrotechnice układ jest prostym lub złożonym obwodem elektrycznym składającym się z
oporników (rezystorów), cewek, kondensatorów i źródeł energii.

Sygnały elektryczne są funkcjami czasu związanymi zbiorem równań wynikających z praw
fizycznych (praw Kirchhoffa).

Zjawiska fizyczne z dziedziny elektryczności i magnetyzmu opisują zależności matematyczne
z dość dużą dokładnością, dlatego rozważania teoretyczne mają w elektrotechnice dużo
większe znaczenie niż w innych dziedzinach techniki.

Ponieważ oporniki (rezystory) są elementami mnożącymi, cewki i kondensatory –
elementami różniczkującymi i całkującymi, to obwód elektryczny można traktować
jako układ realizujący wymienione operacje matematyczne.

Sygnały zaś są dowolnymi funkcjami powiązanymi równaniami uwzględniającymi wzajemne
połączenia elementów. Można więc powiedzieć, że obwody elektryczne są wykorzystywane
do przetwarzania różnych sygnałów.

Obwody elektryczne są układami analogowymi i często mogą być zastąpione przez układy
cyfrowe (komputery), w których sygnały wejściowy i wyjściowy są ciągami liczb czyli
sygnałami dyskretnymi.

Sygnał – nośnik wiadomości umożliwiający jej przesyłanie na odległość lub w czasie
(rejestracja); może mieć postać umownego znaku (np. rysunku, liter) lub przebiegu wielkości
fizycznej, którego co najmniej jeden parametr (np. kształt, częstotliwość, amplituda) zależy
od przesyłanej nim wiadomości; rozróżnia się

sygnały elektryczne

(np. zmieniające się

napięcie lub natężenie prądu),

akustyczne

(zmieniająca się częstotliwość dźwięku),

optyczne

(zmieniające się natężenie lub barwa światła); stosuje się też podział sygnałów na

analogowe

(

ciągłe

), w przypadku których wielkość reprezentująca wiadomość może

przyjmować dowolne wartości ze zbioru nieskończenie wielu wartości, i

dyskretne

(

nieciągłe

)

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

4

– wielkość może przyjmować tylko określone wartości ze skończonego ich zbioru, np.
zakodowane w postaci cyfr (

sygnał cyfrowy

), najczęściej zer i jedynek (

sygnał binarny

).

Źródło: Encyklopedia Multimedialna PWN ’98; opublikowano w:

J. Izydorczyk, G. Płonka, G. Tyma:

Teoria Sygnałów,

Wydawnictwo HELION, 1999

lub krótko

Sygnał – proces zmian w czasie stanu fizycznego dowolnego obiektu, służący do
wizualizacji, rejestracji i przesyłania wiadomości (informacji).

Własności sygnałów rozważa teoria sygnałów. Związek pomiędzy naturą fizyczną sygnałów
i zawartą w nich informacją rozważa teoria informacji.

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

5

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

6

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

7

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

8

Układy

Układ to inaczej:

a) system o

ś

ci

ś

le powi

ą

zanych ze sob

ą

elementach (zbiór elementów wraz z ich

relacjami);

b) relacja wzajemna, zale

ż

no

ść

ró

ż

nych elementów (wielko

ś

ci, przedmiotów, zjawisk);

c) porz

ą

dek rozmieszczenia poszczególnych elementów wzgl

ę

dem siebie

Podział układów

Układ otwarty

to układ, na który mog

ą

wpływa

ć

zdarzenia spoza układu.

Układ zamkni

ę

ty

to układ, na który zewn

ę

trzne zdarzenia nie maj

ą

wpływu.

W praktyce spotyka si

ę

układy b

ę

d

ą

ce poł

ą

czeniem układu otwartego i układu zamkni

ę

tego.

Układ dynamiczny

– zawiera elementy i/lub przepływy zmienne w czasie.

Wyró

ż

niamy tu układy:

a) stabilny – odsuni

ę

ty od stanu równowagi dynamicznej wraca do niego samorzutnie,

np. wahadło (zob. ujemne sprz

ęż

enie zwrotne)

b) labilny (niestabilny) – odchylony od stanu pocz

ą

tkowego ju

ż

do niego nie wraca, ale

oddala si

ę

od niego coraz dalej (np.

ś

nieg na stoku i lawina)

Układ statyczny

– nie zmienia si

ę

w czasie.

Układ analogowy

Układ analogowy

to układ, w którym zwi

ą

zki pomi

ę

dzy sygnałem wej

ś

ciowym a sygnałem

wyj

ś

ciowym mo

ż

emy zapisa

ć

poprzez równanie ró

ż

niczkowe lub tzw. transmitancj

ę

Laplace’a uzyskan

ą

na podstawie równa

ń

ró

ż

niczkowych.

Y(S)

S

H(S)

X(S)

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

9

Układ cyfrowy

Układ cyfrowy

to układ, w którym zwi

ą

zki pomi

ę

dzy sygnałem wej

ś

ciowym a sygnałem

wyj

ś

ciowym mo

ż

emy zapisa

ć

za pomoc

ą

równa

ń

ró

ż

nicowych lub za pomoc

ą

tzw.

transmitancji Z, któr

ą

mo

ż

na wyprowadzi

ć

na podstawie tych równa

ń

.

1110 1100 1011....

.... 0101 1110 1001

Y(Z)

Z

H(Z)

X(Z)

Elementy

Występujące w układach elementy możemy scharakteryzować za pomocą: równań
różniczkowych, transmitancji operatorowej, transmitancji widmowej, charakterystyk
widmowych, a także poprzez odpowiedzi tych elementów na wymuszenia.
Podstawowe elementy to element proporcjonalny, element różniczkujący, i element
całkujący.

Klasyfikacja układów

Układ liniowy

to układ, w którym wyst

ę

puj

ą

ce elementy s

ą

liniowe (idealny rezystor, cewka,

kondensator). Sygnały przechodz

ą

ce przez te elementy poddawane s

ą

liniowym operacjom

matematycznym takim jak: mno

ż

enie sygnału przez stały czynnik, ró

ż

niczkowanie oraz

całkowanie.

W układach liniowych obowi

ą

zuje zasada superpozycji, zgodnie z któr

ą

sygnał na wyj

ś

ciu

układu mo

ż

na wyznaczy

ć

jako sum

ę

sygnałów wyj

ś

ciowych pochodz

ą

cych od wszystkich

sygnałów wej

ś

ciowych.

y

3

y

2

y

1

x

3

x

2

x

1

Układ liniowy

y=y

1

+y

2

+y

3

x

3

x

2

x

1

Układ liniowy

Układ nieliniowy

to układ, w którym co najmniej jeden element jest nieliniowy. W układach

nieliniowych nie jest spełniona zasada superpozycji - nie mo

ż

na sygnału wyj

ś

ciowego

rozdzieli

ć

na składniki pochodz

ą

ce od ró

ż

nych sygnałów wej

ś

ciowych.

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

10

Sygnały sinusoidalnie zmienne

W

ś

ród sygnałów elektrycznych zmiennych w czasie du

ż

e znaczenie praktyczne maj

ą

sygnały przemienne okresowe. Warunek okresowo

ś

ci funkcji (sygnału) mo

ż

na wyrazi

ć

zale

ż

no

ś

ci

ą

:

)

(

)

(

t

f

T

t

f

=

+

Je

ż

eli warunek okre

ś

lony równaniem (2.1) nie jest spełniony, to sygnał jest nieokresowy lub

aperiodyczny.

Sygnał okresowy nazywamy przemiennym, je

ż

eli pole powierzchni ograniczonej

przebiegiem sygnału w ci

ą

gu okresu T jest równe zeru, tzn. je

ś

li jest spełniony warunek

0

d

)

(

0

=

∫

T

t

t

f

Szczególne miejsce w elektrotechnice zajmuj

ą

sinusoidalne (harmoniczne) sygnały pr

ą

du i

napi

ę

cia. Głównym tego powodem jest ich naturalna powszechno

ść

w przyrodzie oraz

łatwo

ść

wytwarzania wynikaj

ą

ca ze

ś

cisłego zwi

ą

zku ruchu obrotowego z funkcjami

trygonometrycznymi sinus i cosinus.

Rys. Sygnał sinusoidalny napi

ę

ciowy

Energia elektryczna docieraj

ą

ca do naszych domów otrzymywana jest w generatorach

synchronicznych, które s

ą

maszynami elektrycznymi wiruj

ą

cymi. Generatory te wytwarzaj

ą

napi

ę

cia sinusoidalnie zmienne w czasie o unormowanych parametrach. Ogólna posta

ć

napi

ę

cia harmonicznego

]

V

[

)

sin(

)

(

u

m

t

U

t

u

ψ

ω

+

=

przy czym:

t – czas w sekundach [s],

)

(t

u

– wartość chwilowa napięcia w woltach [V],

m

U

– wartość szczytowa napięcia (amplituda) w woltach [V],

u

ψ

– faza początkowa napięcia w radianach [rad],

u

t

ψ

ω

+

– faza napięcia w chwili t w radianach [rad],

f

T

π

2

/

π

2

=

=

ω

– pulsacja w radianach na sekundę [rad/s],

T

f

/

1

=

– częstotliwość w hercach [Hz],

T

– okres w sekundach [s].

t

T

u

0

u(t)

=

U

m

sin(ωt+

ψ

u

)

U

m

ψ

u

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

11

)

(

d

)

(

d

...

d

)

(

d

d

)

(

d

)

(

d

)

(

d

...

d

)

(

d

d

)

(

d

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

t

x

a

t

t

x

a

t

t

x

a

t

t

x

a

t

y

a

t

t

y

a

t

t

y

a

t

t

y

a

k

k

k

k

k

k

n

n

n

n

n

n

+

+

+

+

=

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−

)

(

)

(

d

)

(

d

..........

d

)

(

d

d

)

(

d

0

1

1

1

1

t

f

t

y

a

t

t

y

a

t

t

y

a

t

t

y

a

n

n

n

n

n

n

=

+

+

+

+

−

−

−

Sygnały okresowe niesinusoidalnie

Rozwa

ż

my układ liniowy, na wej

ś

cie którego podano sygnał okresowy niesinusoidalny.

Elementy liniowe tworz

ą

ce ten układ b

ę

d

ą

oddziaływa

ć

na sygnał wej

ś

ciowy, dokonuj

ą

c na

nim operacji matematycznych charakteryzuj

ą

cych si

ę

liniowo

ś

ci

ą

. Do operacji tych nale

ż

y

zaliczy

ć

mno

ż

enie sygnału przez stały czynnik, ró

ż

niczkowanie oraz całkowanie. Układ

liniowy mo

ż

na wi

ę

c traktowa

ć

jako zbiór liniowych przetworników sygnału, b

ę

d

ą

cych

kombinacj

ą

podukładów proporcjonalnych, ró

ż

niczkuj

ą

cych i całkuj

ą

cych. Dzi

ę

ki tym

własno

ś

ciom odpowied

ź

układu liniowego na sygnał okresowy niesinusoidalny jest równie

ż

okresowa.

UKŁAD

LINIOWY

wymuszenie

okresowe

niesinusoidalne

odpowied

ź

okresowa

niesinusoidalna

Rys. Układ liniowy jako przetwornik sygnału okresowego niesinusoidalnego

f( ),f(t)

T

2

π

T/2

π

A

-A

nr 1

α

[rad]

t[s]

α

Rys. Przykład sygnału antysymetrycznego

Zwi

ą

zek pomi

ę

dzy sygnałami wej

ś

ciowymi i wyj

ś

ciowymi

w układach liniowych

Układy analogowe przetwarzaj

ą

wej

ś

ciowe sygnały analogowe daj

ą

c na wyj

ś

ciu równie

ż

sygnał analogowy zale

ż

ny od:

•

sygnału wej

ś

ciowego

•

parametrów układu liniowego

Du

ż

e znaczenie praktyczne maj

ą

układy liniowe, dla których sygnał wej

ś

ciowy x(t) i

wyj

ś

ciowy y(t) s

ą

zwi

ą

zane ze sob

ą

równaniem ró

ż

niczkowym:

Równanie ró

ż

niczkowe opisuje zwi

ą

zek pomi

ę

dzy sygnałem wej

ś

ciowym i jego pochodnymi

oraz sygnałem wyj

ś

ciowym i jego pochodnymi.

Je

ż

eli znamy posta

ć

sygnału wej

ś

ciowego x(t) to znamy równie

ż

jego pochodne i równanie

ró

ż

niczkowe mo

ż

emy przekształci

ć

do postaci:

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

12

0

1

,...,

,

a

a

a

n

n

−

0

)

(

d

)

(

d

...

d

)

(

d

d

)

(

d

0

1

1

1

1

=

+

+

+

+

−

−

−

t

y

a

t

t

y

a

t

t

y

a

t

t

y

a

n

n

n

n

n

n

Współczynniki

s

ą

bezpo

ś

rednio zwi

ą

zane z parametrami opisuj

ą

cymi układ.

Wyznaczanie odpowiedzi y(t)

W celu wyznaczenia odpowiedzi y(t) nale

ż

y rozwi

ą

za

ć

równanie ró

ż

niczkowe.

Rozwi

ą

zanie ogólne równania ró

ż

niczkowego niejednorodnego składa si

ę

z sumy dwóch

rozwi

ą

za

ń

:

• Rozwi

ą

zania szczególnego (całki szczególnej) równania ró

ż

niczkowego niejednorodnego

(czyli składowej ustalonej y

u

(t) lub inaczej nazywanej składowej wymuszonej y

w

(t) )

• Rozwi

ą

zania ogólnego (całki szczególnej) równania ró

ż

niczkowego jednorodnego (czyli

składowej przej

ś

ciowej y

p

(t) lub inaczej nazywanej składowej swobodnej y

s

(t) )

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

13

Reakcja elementów R, L, C na skok jednostkowy

Napi

ę

cie na rezystorze nie powoduje przesuni

ę

cia wzgl

ę

dem

pr

ą

du, wi

ę

c kształt obydwu sygnałów jest taki sam z

dokładno

ś

ci

ą

do czynnika skaluj

ą

cego R

Cewka b

ę

dzie przeciwdziała

ć

zmianom pr

ą

du w obwodzie,

wytwarzaj

ą

c sił

ę

elektromotoryczn

ą

samoindukcji przeciwnie

skierowan

ą

do wzrastaj

ą

cego napi

ę

cia

Nienaładowany idealny kondensator po podł

ą

czeniu zasilania

mo

ż

na traktowa

ć

w zasadzie jak zwarcie, teoretycznie pr

ą

d

zmienia si

ę

skokowo od zera do niesko

ń

czono

ś

ci (w praktyce

rezystor ogranicza warto

ść

tego pr

ą

du, a je

ś

li jest on bardzo mały to mo

ż

e si

ę

zdarzy

ć

,

ż

e

„wyparuj

ą

” przewody)

Je

ś

li elementy R, L i C s

ą

poł

ą

czone szeregowo to kształt pr

ą

du w takim obwodzie, b

ę

dzie

zale

ż

ał od warto

ś

ci poszczególnych elementów.

Stany nieustalone

Sygnały elektryczne, przy okre

ś

lonej strukturze obwodu i

ź

ródłach, nie uzyskuj

ą

natychmiast

swoich warto

ś

ci ustalonych. Mi

ę

dzy jednym stanem stabilnym a drugim wyst

ę

puj

ą

wahania

napi

ęć

i pr

ą

dów.

Przyczyn

ą

wyst

ę

powania zjawisk przej

ś

ciowych w obwodzie (trwaj

ą

cych od chwili

wyst

ą

pienia zakłóce

ń

, a

ż

do chwili ustalenia si

ę

zjawisk) jest ka

ż

da zmiana struktury

poł

ą

cze

ń

lub parametrów elementów, wchodz

ą

cych w skład obwodu.

W wielu przypadkach stany nieustalone s

ą

zjawiskami niepo

żą

danymi (np. niepo

żą

dane s

ą

zjawiska przej

ś

ciowe wyst

ę

puj

ą

ce przy zwarciach i przy wł

ą

czaniu napi

ęć

w obwodach

elektrycznych). W innych za

ś

przypadkach stany nieustalone s

ą

normalnym stanem pracy

urz

ą

dze

ń

(np. układy automatycznej regulacji).

Cech

ą

charakterystyczn

ą

zjawisk w obwodach elektrycznych pr

ą

du stałego lub sinusoidalnie

zmiennego jest to,

ż

e generatory zasilaj

ą

ce te obwody narzucaj

ą

sposób zmienno

ś

ci

czasowej pr

ą

dów i napi

ęć

. W przypadku generatorów pr

ą

du stałego, napi

ę

cia i pr

ą

dy w

obwodzie s

ą

wielko

ś

ciami stałymi, a w przypadku generatorów pr

ą

du sinusoidalnego,

napi

ę

cia i pr

ą

dy zmieniaj

ą

si

ę

sinusoidalnie. Tego rodzaju stan obwodu nazywamy

ustalonym lub stacjonarnym.
W obwodach elektrycznych spotyka si

ę

tak

ż

e zjawiska spowodowane zmian

ą

dokonan

ą

w

obwodzie, jak np. wł

ą

czenie

ź

ródła energii do obwodu, zwarcie cz

ęś

ci obwodu itp. Tego

t

1

1/2







<

≥

=

0

dla

0

0

dla

1

)

(

t

t

t

ε











<

=

>

=

1

dla

0

0

dla

2

1

0

dla

1

)

(

t

t

t

t

ε

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

14

)

(t

i

L

R

(

0

)

(

2

)

)

(

2

t

e

E

1

(

1

)

t = 0 s

rodzaju zmiany w obwodzie wywołane s

ą

działaniem czynników zewn

ę

trznych, obwód

zostaje wyprowadzony ze stanu równowagi, a w obwodzie wytwarza si

ę

stan zwany

przej

ś

ciowym lub nieustalonym.

W stanie nieustalonym pr

ą

dy i napi

ę

cia w obwodzie zmieniaj

ą

si

ę

inaczej ni

ż

siły

elektromotoryczne generatorów zasilaj

ą

cych układ.

Teoretycznie stan przej

ś

ciowy trwa niesko

ń

czenie długo, jednak praktycznie po upływie

dostatecznie długiego czasu zjawiska przej

ś

ciowe zanikaj

ą

i obwód osi

ą

ga stan

ustalony.Przy analizie stanów nieustalonych w obwodach elektrycznych liniowych zarówno
napi

ę

cie u, jak i pr

ą

d i przedstawiane s

ą

w postaci sumy dwóch składników, a mianowicie

składowej ustalonej i składowej przej

ś

ciowej.

Wyra

ż

aj

ą

to zale

ż

no

ś

ci

p

u

u

u

u

+

=

oraz

p

u

i

i

i

+

=

Składowe ustalone (uu, iu) zwi

ą

zane s

ą

ze stanem ustalonym, za

ś

składowe przej

ś

ciowe

(up, ip) ze stanem przej

ś

ciowym obwodu.

Okre

ś

lanie warunków pocz

ą

tkowych

Do analizy zjawisk w stanie nieustalonym konieczna jest znajomo

ść

stanu pocz

ą

tkowego

obwodu.

Warto

ś

ci wybranych napi

ęć

i pr

ą

dów w stanie pocz

ą

tkowym nazywamy warunkami

pocz

ą

tkowymi. Warunki pocz

ą

tkowe mog

ą

by

ć

zerowe lub niezerowe. Je

ż

eli s

ą

zerowe, to

obwód był na pocz

ą

tku w stanie bezenergetycznym.

Poniewa

ż

gromadzi

ć

energi

ę

mog

ą

tylko cewki i kondensatory, to oprócz

ź

ródeł, napi

ę

cia na

wszystkich pojemno

ś

ciach i pr

ą

dy płyn

ą

ce przez wszystkie indukcyjno

ś

ci w chwili t=0s

decyduj

ą

o zachowaniu si

ę

obwodu w czasie pó

ź

niejszym.

Prawa komutacji

Rozwa

ż

amy tu chwil

ę

t=0s, gdy

ż

zakładamy,

ż

e wła

ś

nie

wtedy nast

ą

piła zmiana topologii układu (np. doł

ą

czono

ź

ródło, zwarto element itp.).

Zmiana topologii mo

ż

liwa jest dzi

ę

ki zamykaniu lub

otwieraniu ł

ą

czników. Zakładamy,

ż

e s

ą

one idealne, to

znaczy,

ż

e zamykaj

ą

si

ę

lub otwieraj

ą

natychmiast, w

stanie zamkni

ę

cia maj

ą

zerow

ą

rezystancj

ę

, a w stanie

otwarcia niesko

ń

czon

ą

oraz,

ż

e nie wyst

ę

puje w nich zjawisko łuku elektrycznego.

Zjawiskiem komutacji, a wi

ę

c procesem zmiany struktury układu rz

ą

dz

ą

prawa komutacji.

Wynikaj

ą

one z wa

ż

nego prawa fizyki,

prawa zachowania energii.

Prawa komutacji mo

ż

na

wypowiedzie

ć

nast

ę

puj

ą

co:

„Energia w polu magnetycznym cewki nie mo

ż

e zmieni

ć

si

ę

skokowo” (I prawo

komutacji)
oraz

„Energia w polu elektrycznym kondensatora nie mo

ż

e zmieni

ć

si

ę

skokowo” (II prawo

komutacji)

Z matematycznego punktu widzenia funkcje energii cewki i kondensatora

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

15

2

)

(

)

(

2

t

i

L

t

w

L

L

=

oraz

2

)

(

)

(

2

t

u

C

t

w

C

C

=

musz

ą

by

ć

ci

ą

głe wzgl

ę

dem czasu.

Ze wzorów na warto

ś

ci chwilowe energii w cewce i w kondensatorze wynika równie

ż

ci

ą

gło

ść

funkcji pr

ą

du i

L

(t) oraz napi

ę

cia u

C

(t).

Ponadto, ze wzorów na warto

ś

ci chwilowe strumienia magnetycznego w cewce

)

(

)

(

t

i

L

t

L

⋅

=

Ψ

oraz ładunku elektrycznego w kondensatorze

)

(

)

(

t

u

C

t

q

C

⋅

=

wnioskujemy

o ci

ą

gło

ś

ci strumienia

)

(t

Ψ

oraz ładunku

)

(t

q

Podsumowuj

ą

c powy

ż

sze rozwa

ż

ania, prawa komutacji mo

ż

emy dla chwili opisa

ć

nast

ę

puj

ą

cymi równo

ś

ciami:

I prawo komutacji

)

0

(

)

0

(

),

0

(

)

0

(

),

0

(

)

0

(

+

−

+

−

+

−

=

Ψ

=

Ψ

=

L

L

L

L

i

i

W

W

II prawo komutacji

)

0

(

)

0

(

),

0

(

)

0

(

),

0

(

)

0

(

+

−

+

−

+

−

=

=

=

C

C

C

C

u

u

q

q

W

W

Dodajmy jeszcze,

ż

e chocia

ż

pr

ą

d płyn

ą

cy przez cewk

ę

nie mo

ż

e zmienia

ć

si

ę

skokowo, to

napi

ę

cie na cewce mo

ż

e si

ę

zmienia

ć

skokowo.

Podobnie jest z pr

ą

dem płyn

ą

cym przez kondensator - on równie

ż

mo

ż

e zmienia

ć

si

ę

skokowo, ale napi

ę

cie na kondensatorze musi by

ć

ci

ą

gł

ą

funkcj

ą

czasu.

Dla rezystora mo

ż

liwa jest skokowa zmiana zarówno pr

ą

du jak i napi

ę

cia, chyba

ż

e rezystor

poł

ą

czony jest szeregowo z cewk

ą

lub równolegle z pojemno

ś

ci

ą

.

Metody analizy stanów nieustalonych

1. Metoda klasyczna – zwi

ą

zana z klasycznymi metodami rozwi

ą

zywania równa

ń

ró

ż

niczkowych i ró

ż

niczkowo-całkowych

2. Metoda operatorowa – oparta o przekształcenie Laplace’a
3. Metoda zmiennych stanu – zwi

ą

zana z zastosowaniem funkcji macierzy

Równanie charakterystyczne

Na podstawie równania

)

(

f

)

(

d

)

(

d

d

)

(

d

d

)

(

d

0

1

1

1

1

t

t

x

a

t

t

x

a

t

t

x

a

t

t

x

n

n

n

n

n

=

+

+

+

+

−

−

−

L

piszemy tzw. równanie charakterystyczne, które jest r

ó

wnaniem algebraicznym

wzgl

ę

dem zmiennej pomocniczej s. R

ó

wnanie to ma posta

ć

0

0

1

1

1

=

+

+

+

+

−

−

a

s

a

s

a

s

n

n

n

L

Równanie to ma n jedno- lub wielokrotnych pierwiastków rzeczywistych lub zespolonych
sprz

ęż

onych. Z ka

ż

dym pierwiastkiem si lub z grup

ą

pierwiastków zwi

ą

zany jest kolejny

składnik rozwi

ą

zania dla xp(t). Zale

ż

no

ść

składnika od własno

ś

ci danego zestawiono w

tabeli.

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

16

Tabela 1. Składniki rozwi

ą

zania

)

(t

x

s

w zale

ż

no

ś

ci od rodzaju pierwiastków

i

s

własności pierwiastków

funkcje wchodzące w skład

)

(t

x

s

i

s - pojedynczy, rzeczywisty

t

s

i

i

C

t

x

e

)

(

1

=

i

s - podwójny, rzeczywisty

t

s

i

i

t

C

C

t

x

e

)

(

)

(

2

1

+

=

i

s - potrójny, rzeczywisty

t

s

i

i

t

C

t

C

C

t

x

e

)

(

)

(

2

3

2

1

+

+

=

... itd.

β

α

j

±

=

i,j

s

dwa pierwiastki zespolone
sprzężone, pojedyncze

))

sin(

)

cos(

(

e

)

(

2

1

t

C

t

C

t

x

t

ij

β

β

α

+

=

β

α

j

±

=

i,j

s

dwa pierwiastki zespolone
sprzężone, podwójne

]

)

sin(

)

(

)

cos(

)

(

[

e

)

(

4

3

2

1

t

t

C

C

t

t

C

C

t

x

t

ij

β

β

α

+

+

+

=

... itd.

Układy II rz

ę

du

Załó

ż

my równanie charakterystyczne drugiego stopnia (układ RLC)

0

1

2

=

+

+

LC

s

L

R

s

a pierwiastki równania charakterystycznego dane s

ą

wzorami

β

α

±

−

=

−













±

−

=

LC

L

R

L

R

s

1

2

2

2

2

,

1

przy czym

LC

LC

L

R

L

R

1

1

2

=

,

2

2

2

−

=

−













=

α

β

α

Przy u

ż

yciu tych oznacze

ń

wyra

ż

amy poszczególne pierwiastki równania w sposób

nast

ę

puj

ą

cy

β

α

β

α

−

−

=

+

−

=

2

1

, s

s

Je

ż

eli zało

ż

ymy,

ż

e indukcyjno

ść

L i pojemno

ść

C s

ą

stałe, to rezystancj

ę

R mo

ż

na dobra

ć

tak,

ż

e wyró

ż

nik równania charakterystycznego mo

ż

e by

ć

dodatni, ujemny, a w przypadku

granicznym - staje si

ę

zerem. Zale

ż

nie od warto

ś

ci rezystancji rozró

ż

niamy wi

ę

c trzy

przypadki.

1. Przy

C

L

R

2

>

wielko

ść

b przedstawia liczb

ę

rzeczywist

ą

, przy czym wobec

α

>

β

- obydwa pierwiastki s

ą

rzeczywiste i ujemne, s1= -

α

+

β

<0, s2= -

α

-

β

<0. Fizycznie odpowiada temu ładowanie

kondensatora ze

ź

ródła napi

ę

cia stałego poprzez rezystancj

ę

R i indukcyjno

ść

L, maj

ą

ce

charakter aperiodyczny (nieokresowy).

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

17

i , u

c

, u

L

E

0

t

1

u

L

u

c

i

t

Rys. Przebiegi pr

ą

du i napi

ęć

w obwodzie szeregowym RLC

2. W przypadku granicznym przy

R

L

C

=

2

wielko

ść

β

staje si

ę

zerem, pierwiastki równania charakterystycznego s

ą

sobie równe i

tworz

ą

jeden pierwiastek podwójny, s1=s2= -

α

, rzeczywisty i ujemny. Fizycznie odpowiada

temu ładowanie kondensatora ze

ź

ródła napi

ę

cia stałego poprzez rezystancj

ę

R i

indukcyjno

ść

L, maj

ą

ce charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)

.3. Przy

R

L

C

<

2

wielko

ść

β

przedstawia liczb

ę

urojon

ą

. Wprowadzamy oznaczenie

β

ω

=

j

gdzie

ω

jest ju

ż

liczb

ą

rzeczywist

ą

, która spełnia równanie

α ω

2

2

1

+

=

LC

Obydwa pierwiastki równania charakterystycznego s

ą

zespolone sprz

ęż

one, równe

odpowiednio

s

s

1

2

= − +

= − −

α

ω

α

ω

j ,

j

Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze

ź

ródła napi

ę

cia stałego poprzez

rezystancj

ę

R i indukcyjno

ść

L takie,

ż

e przebiegi napi

ę

cia na kondensatorze i pr

ą

du w

funkcji czasu s

ą

oscylacyjne tłumione, w szczególno

ś

ci sinusoidalne tłumione.

Rys. Przebiegi oscylacyjne tłumione pr

ą

du i napi

ę

cia na kondensatorze

w układzie szeregowym RLC

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

18

We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki równania charakterystycznego le

żą

w lewej

półpłaszczy

ź

nie, Re s1<0 oraz Re s2<0; w zwi

ą

zku z tym składowa przej

ś

ciowa odpowiedzi

uCp(t) maleje do zera dla czasu d

ążą

cego do niesko

ń

czono

ś

ci. W przypadku 1 obydwa

pierwiastki le

żą

na ujemnej cz

ęś

ci osi rzeczywistej, symetrycznie wzgl

ę

dem punktu -

α

, a w

przypadku 2 obydwa pierwiastki tworz

ą

jeden podwójny równy -

α

; w ka

ż

dym z tych

przypadków składowa przej

ś

ciowa uCp(t) maleje asymptotycznie do zera. Wreszcie w

przypadku 3 pierwiastki sl i s2 s

ą

zespolone sprz

ęż

one, w konsekwencji składowa

przej

ś

ciowa uCp(t) maleje oscylacyjnie do zera.

Stany nieustalone – Metoda klasyczna

przykłady obliczeniowe (rozwi

ą

zane podczas wykładu)

Zadanie 1. Dla obwodu przedstawionego na rys. 1 oblicz i narysuj przebiegi czasowe pr

ą

du

płyn

ą

cego przez cewk

ę

)

(t

i

L

oraz napi

ęć

)

(t

u

R

i

)

(t

u

L

. Zbadaj wpływ warto

ś

ci i znaku

warunku pocz

ą

tkowego na cewce na odpowiedzi czasowe obwodu. Jak warto

ś

ci elementów

R oraz L wpływaj

ą

na czas ustalania si

ę

przebiegów? Dane:

V

20

=

U

,

Ω

=

4

R

,

mH

20

=

L

.

(

2

)

VU

(

1

)

(

0

)

L

R

)

(t

i

L

)

(t

u

L

)

(t

u

R

U

s

0

=

t

L

R

a)

b)

Rys. 1. a) obwód do zadania 1, b) przystosowany do analizy w PSpice

Rys. 1.1. Wykresy czasowe sygnałów przy zerowym warunku pocz

ą

tkowym

Rys. 1.2. Wykresy czasowe przy dodatnim warunku pocz

ą

tkowym

R

U

I

/

0

>

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

19

Rys. 1.3. Wykresy czasowe przy ujemnym warunku pocz

ą

tkowym

Rys. 1.4. Wpływ indukcyjno

ś

ci na szybko

ść

ustalania si

ę

przebiegów (

A

0

0

=

I

)

Rys. 1.5. Wpływ rezystancji na szybko

ść

ustalania si

ę

przebiegów (

A

0

0

=

I

)

Zadanie 2. W układzie z rys. 2a w chwili t = 0 s otwarto klucz K, przez co odł

ą

czono

zasilanie z rzeczywistego

ź

ródła napi

ę

cia stałego. Znajd

ź

wzory, jakimi opisane s

ą

po

komutacji: napi

ę

cie na kondensatorze i pr

ą

d w cewce. Sporz

ą

d

ź

wykresy czasowe tych

sygnałów przej

ś

ciowych. Dane:

Ω

=

Ω

=

40

,

60

2

1

R

R

,

V

50

,

mF

25

,

H

10

=

=

=

E

C

L

.

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

20

K

L

)

(t

u

C

R

2

C

R

1

)

(t

i

(

0

)

(

2

)

E

(

1

)

)

(t

u

L

)

(

2

t

u

R

)

(t

u

C

R2

a)

)

(t

i

L

(

0

)

(

2

)

(

1

)

b)

C

t = 0 s

Rys. 2. Obwód do zadania 2, a) przed komutacją, b) po komutacji

Rys. 2.1. Wykresy dla obwodu z zadania 2

Zadanie 3. W układzie przedstawionym na rys. 3a w chwili t = 0 s otwarto ł

ą

cznik, przez co

odł

ą

czono zasilanie sinusoidalne. Wyznacz przebieg pr

ą

du w cewce oraz napi

ę

cia na

kondensatorze w stanie nieustalonym.

Dane:

mF

20

,

H

5

,

0

,

2

,

14

V,

)

30

10

sin(

70

)

(

2

1

=

=

Ω

=

Ω

=

+

=

C

L

R

R

t

t

e

o

)

(t

u

C

(

2

)

(

1

)

(

0

)

)

(t

e

)

(

2

t

i

s

0

=

t

L

R

2

C

R

1

)

(t

i

L

)

(

1

t

i

(

2

)

R2

(

0

)

(

1

)

L

C

a)

b)

)

(t

i

L

)

(t

u

C

Rys. 3. Obwód do zadania 3, a) przed komutacj

ą

, b) po komutacji

Rys. 3.1. Wykres pr

ą

du płyn

ą

cego przez cewk

ę

z rys. 3

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

21

Rys. 3.2. Wykres napi

ę

cia na kondensatorze z rys. 3

Przekształcenie Laplace’a – Wprowadzenie

W

ś

ród metod cz

ę

stotliwo

ś

ciowych badania układów analogowych najcz

ęś

ciej znajduje

zastosowanie metoda przekształcenia Laplace'a.

Podstawow

ą

cech

ą

tej metody jest algebraizacja oblicze

ń

stanów dynamicznych.

Algebraizacja polega na zast

ą

pieniu działania ró

ż

niczkowania funkcji czasu przez

pomno

ż

enie funkcji zmiennej zespolonej zwanej transformat

ą

przez parametr zespolony s,

oraz na zast

ą

pieniu całkowania funkcji czasu w granicach od 0 do t przez podzielenie

transformaty przez ten

ż

e parametr.

Metod

ę

przekształcenia

Laplace'a

zaliczamy

do

metod

operatorowych,

a zespół twierdze

ń

i reguł zwi

ą

zanych z zastosowaniem przekształcenia Laplace'a

nazywamy rachunkiem operatorowym.

Zalety rachunku operatorowego

1. Prostota dokonywania operacji na równaniach algebraicznych

2. Wprowadzenie warunków pocz

ą

tkowych wprost i na samym pocz

ą

tku

3. Mo

ż

liwo

ść

rozwi

ą

zywania przypadków nie posiadaj

ą

cych rozwi

ą

zania przy metodzie

klasycznej
4. Mo

ż

liwo

ść

korzystania z tablic

5. Przekształcenie Laplace’a dla funkcji spotykanych w technice jest wzajemnie
jednoznaczne

Przekształcenie Laplace’a

W przekształceniu Laplace'a, zwanym te

ż

transformacj

ą

Laplace'a, rozpatruje si

ę

dwie

funkcje:

1. funkcj

ę

f(t) argumentu rzeczywistego (zmiennej rzeczywistej) t; funkcj

ę

f(t) nazywamy

funkcj

ą

oryginaln

ą

, oryginałem lub te

ż

funkcj

ą

czasu; w elektrotechnice argument t oznacza

zazwyczaj czas,
2. funkcj

ę

F(s) argumentu zespolonego (zmiennej zespolonej) zwanego te

ż

parametrem

zespolonym, okre

ś

lon

ą

wzorem

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

22

∫

∞

−

=

0

d

e

)

(

f

)

(

F

t

t

s

t

s

zwan

ą

transformat

ą

funkcji czasu, jej funkcj

ą

przekształcon

ą

lub obrazem.

W odniesieniu do funkcji czasu, o której mówimy,

ż

e jest transformowalna według Laplace'a,

czynimy nast

ę

puj

ą

ce zało

ż

enia:

1. znika dla argumentów ujemnych, tzn. f(t) =0 dla t<0,

2. jest jednoznacznie okre

ś

lona w całym przedziale od 0 do +

∞

oraz jest

w tym przedziale ci

ą

gła, z wyj

ą

tkiem co najwy

ż

ej sko

ń

czonej liczby punktów nieci

ą

gło

ś

ci

pierwszego rodzaju, tzn. takich, w których nast

ę

puje skok funkcji o sko

ń

czon

ą

warto

ść

,

3. wzrasta co do warto

ś

ci bezwzgl

ę

dnej nie szybciej ni

ż

funkcja wykładnicza, tzn. dla danej

funkcji f(t) mo

ż

na dobra

ć

tak

ą

liczb

ę

dodatni

ą

M oraz tak

ą

stał

ą

α

nieujemn

ą

,

ż

e dla

wszelkich warto

ś

ci argumentu t zachodzi

t

M

t

α

e

)

(

f

<

Rozpatrzmy przykład wyznaczania transformaty Laplace’a funkcji wykładniczej

t

t

α

e

)

(

f

=

przy stałej

a

>0

∫

∞

−

−

−

=

∞

−

−

=

=

0

)

(

1

0

e

1

d

e

e

)

(

F

α

α

α

α

s

s

t

s

t

s

t

s

t

(*)

Podany wynik otrzymuje si

ę

przy zało

ż

eniu Re(s) >

α

, a wi

ę

c gdy

σ

jest wi

ę

ksza od

α

.

Obliczana całka jest wówczas zbie

ż

na. Gdy natomiast

σ

<

α

, całka ta jest rozbie

ż

na.

Wielko

ść

α

nazywamy odci

ę

t

ą

zbie

ż

no

ś

ci transformaty.

Gdy zatem parametr zespolony

σ

jest poło

ż

ony na płaszczy

ź

nie zmiennej zespolonej na

prawo od prostej

σ

=

α

równoległej do osi urojonej, wówczas transformata istnieje i jest

okre

ś

lona wzorem (*)

Przekształcenie określone wzorem

∫

∞

−

=

0

d

e

)

(

f

)

(

F

t

t

s

t

s

oznaczamy symbolem

ℒ

F(s) =

ℒ

{f(t)}

i nazywamy przekształceniem prostym, bo służy ono do wyznaczania transformaty danej
funkcji czasu.

Jeżeli natomiast dana jest transformata F(

s

), a szukamy funkcji czasu f(

t

), wówczas piszemy

zależność odwrotną

f(t) =

ℒ

-1

{F(s)}

stanowiącą zapis przekształcenia odwrotnego Laplace'a.

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

23

Mo

ż

na wykaza

ć

,

ż

e przekształcenie odwrotne, napisane w postaci całki wzgl

ę

dem

zmiennej zespolonej s, ma posta

ć

∫

∞

+

∞

−

=

j

j

d

e

)

(

F

j

π

2

1

)

(

f

c

c

t

s

s

s

t

gdzie c jest liczb

ą

rzeczywist

ą

dodatni

ą

, nie mniejsz

ą

od odci

ę

tej zbie

ż

no

ś

ci transformaty, a

całkowanie przebiega wzdłu

ż

prostej równoległej do osi urojonej układu współrz

ę

dnych

zgodnie z kierunkiem wzrostu argumentu urojonego.

Podstawowe własno

ś

ci Przekształcenia Laplace’a

1. liniowo

ść

Podstawow

ą

własno

ś

ci

ą

przekształcenia Laplace'a jest jego liniowo

ść

; innymi słowy

przekształcenie Laplace'a spełnia zasad

ę

superpozycji.

W odniesieniu do dwóch funkcji czasu, przy zało

ż

eniu,

ż

e

λ

1

i

λ

2

s

ą

skalarami, własno

ść

liniowo

ś

ci przekształcenia Laplace’a mo

ż

emy wyrazi

ć

nast

ę

puj

ą

co

ℒ

)

(

F

)

(

F

}

)

(

f

)

(

f

{

2

2

1

1

2

2

1

1

s

s

t

t

λ

λ

λ

λ

+

=

+

w której

λ

1

i

λ

2

s

ą

skalarami.

2. splot

Jednym z podstawowych poj

ęć

rachunku operatorowego jest splot dwóch funkcji czasu.

Definiuj

ą

go równowa

ż

nie poni

ż

sze całki oznaczone niewła

ś

ciwe

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

−

=

−

=

=

τ

τ

τ

τ

τ

τ

d

)

(

f

)

(

f

d

)

(

f

)

(

f

)

(

f

*

)

(

f

)

(

f

2

1

2

1

2

1

t

t

t

t

t

Poniewa

ż

w ramach przekształcenia Laplace'a rozwa

ż

amy funkcje, które znikaj

ą

dla chwil t

ujemnych, to mo

ż

na dla takich funkcji zaw

ę

zi

ć

przedział całkowania zmiennej we wzorze i

okre

ś

li

ć

splot inaczej

∫

∫

−

=

−

=

=

t

t

t

t

t

t

t

0

2

1

0

2

1

2

1

d

)

(

f

)

(

f

d

)

(

f

)

(

f

)

(

f

*

)

(

f

)

(

f

τ

τ

τ

τ

τ

τ

Do transformaty splotu odnosi si

ę

twierdzenie Borela wyra

ż

one zale

ż

no

ś

ci

ą

ℒ

)

(

F

)

(

F

)}

(

f

*

)

(

f

{

2

1

2

1

s

s

t

t

=

Twierdzenie to, którego dowód pomijamy, mo

ż

emy wysłowi

ć

w nast

ę

puj

ą

cy sposób:

Transformata splotu dwóch funkcji czasu równa się

iloczynowi transformat tych funkcji.

Transformaty Laplace'a typowych sygnałów maj

ą

posta

ć

ilorazu b

ę

d

ą

cego funkcj

ą

wymiern

ą

wzgl

ę

dem parametru s

)

(

N

)

(

L

)

(

F

s

s

s

=

W najprostszym przypadku zakładamy,

ż

e mianownik N(s) nie ma pierwiastków

wielokrotnych, a stopie

ń

licznika L(s) jest mniejszy od stopnia mianownika N(s). Zgodnie z

twierdzeniem o rozkładzie, rozpatrywanej transformacie odpowiada funkcja czasu

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

24

)

0

(

)

(

F

)

(

f

s

s

t

f

dt

d

−

=













L

)

(

F

)

(

F

)}

(

f

)

(

{f

2

1

2

1

s

s

s

t

t

dt

d

⋅

=













∗

L

[ ]

s

s

t

f

)

(

F

)

(

=

∫

L

)

exp(

)

(

N'

)

(

L

)

(

f

1

t

s

s

s

t

k

n

k

k

k

∑

=

=

gdzie n oznacza stopie

ń

wielomianu N(s), a sk s

ą

pierwiastkami równania

N( )

s

=

0

3. Pochodna

Pochodna splotu

4. Całka

Wybrane transformaty Laplace’a

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

25

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

26

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

27

)]

(

)

(

[

)

(

f

b

t

a

t

A

t

−

−

−

=

ε

ε

f(t)

t

A

0

a

b

f(t)

A·ε(t-a)

t

A

0

a

b

-A

f(t)

A·ε(t-a)

t

A

0

a

b

-A·ε(t-b)

-A

)]

(

)

(

[

)

(

f

b

t

a

t

A

t

−

−

−

=

ε

ε

)]

exp(

)

[exp(

)

(

F

bs

as

s

A

s

−

−

−

=

f(t)

t

A

0 a

b

f(t)

A·ε(t-a)

t

A

0

a

b

-A·ε(t-b)

-A

)]

(

)

(

[

)

(

f

b

t

a

t

A

t

−

−

−

=

ε

ε

Zasilanie impulsowe obwodu

W badaniach sygnałów du

ż

e znaczenie maj

ą

transformaty impulsów jednorazowych.

a) Pojedynczy impuls prostok

ą

tny

W najprostszym przypadku mamy do czynienia z jednorazowym impulsem prostok

ą

tnym,

który powstaje w chwili t=a, znika w chwili t=b, a przez czas trwania impulsu wynosz

ą

cy

(b-a) ma stał

ą

amplitud

ę

A.

Impuls taki mo

ż

emy traktowa

ć

jako sum

ę

algebraiczn

ą

dwóch funkcji jednostkowych

pomno

ż

onych przez amplitud

ę

A i opó

ź

nionych odpowiednio o a oraz b jednostek czasu.

Powy

ż

sze rozwa

ż

ania nasuwaj

ą

zapis jednorazowego impulsu prostok

ą

tnego nast

ę

puj

ą

c

ą

funkcj

ą

czasu

a)

b)

c)

Wspomniano,

ż

e jednorazowy impuls prostok

ą

tny zapisany jest funkcj

ą

czasu

W oparciu o przytoczone uprzednio wzory stwierdzamy,

ż

e transformata tego impulsu wynosi

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

28

f(t)

t

A

0

a

-A

A·sin(ωt)·ε(t)

f(t)

t

A

0

a

3a

2a

f(t)

t

A

0

a

-A

A·sin(ωt)·ε(t)

f(t)

t

A

0

a

A·sin(ω(t-a))·ε(t-a)

3a

2a

f(t)

t

A

0

a

-A

A·sin(ωt)·ε(t)

f(t)

t

A

0

a

A·sin(ω(t-a))·ε(t-a)

3a

2a

)

(

))

(

sin(

)

(

)

sin(

)

(

f

a

t

a

t

t

t

t

−

−

+

=

ε

ω

ε

ω

)]

exp(

1

[

)

(

F

2

2

as

s

s

−

+

+

=

ω

ω

b) Pojedynczy impuls sinusoidalny

Analogicznie, w stosunku do pojedynczego impulsu prostok

ą

tnego, mo

ż

na wyznaczy

ć

transformat

ę

jednorazowego impulsu sinusoidalnego półfalowego, który daje si

ę

wyrazi

ć

sum

ą

dwóch funkcji sinusoidalnych: podstawowej i opó

ź

nionej o pół okresu.

Jednorazowy impuls sinusoidalny mo

ż

na zapisa

ć

w postaci

)

(

))

(

sin(

)

(

)

sin(

)

(

f

a

t

a

t

t

t

t

−

−

+

=

ε

ω

ε

ω

W oparciu o przytoczone uprzednio wzory stwierdzamy,

ż

e transformata tego impulsu wynosi

Metoda operatorowa

Patrz - zadania przedstawione na wykładzie

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

29

Metoda zmiennych stanu

Je

ż

eli badany jest układ liniowy z wymuszeniami uporz

ą

dkowanymi w wektor wymusze

ń





























=

)

(

:

)

(

)

(

)

(

2

1

t

u

t

u

t

u

t

p

u

oraz odpowiedziami uporz

ą

dkowanymi w wektor odpowiedzi





























=

)

(

:

)

(

)

(

)

(

2

1

t

y

t

y

t

y

t

q

y

to wektor odpowiedzi mo

ż

na wyznaczy

ć

z zale

ż

no

ś

ci

)

(

)

(

)

(

t

t

t

Du

Cx

y

+

=

(MZS 1)

w której wektor

























=

)

(

:

)

(

)

(

)

(

2

1

t

x

t

x

t

x

t

n

x

jest nazywany wektorem stanu układu, a jego elementy - zmiennymi stanu.

Zmiennymi stanu nazywamy wielko

ś

ci x1(t), x2(t), ..., xn(t), które nale

ż

y zada

ć

w chwili

pocz

ą

tkowej t = t0, aby przy zadanych wymuszeniach u1(t), u2(t), ..., up(t) okre

ś

li

ć

jednoznacznie zachowanie si

ę

układu dla t > t0. W obwodach elektrycznych zmiennymi

stanu s

ą

pr

ą

dy płyn

ą

ce przez cewki i napi

ę

cia na kondensatorach - wielko

ś

ci te musz

ą

spełnia

ć

warunki pocz

ą

tkowe wynikaj

ą

ce z praw komutacji.

Wektor stanu jest rozwi

ą

zaniem równania stanu

)

(

)

(

)

(

d

d

t

t

t

t

Bu

Ax

x

+

=

(MZS 2)

które jako równanie ró

ż

niczkowe pierwszego rz

ę

du musi mie

ć

zadany wektor stanu

pocz

ą

tkowego

0

0

)

(

x

x

=

t

(MZS 3)

Macierze w równaniach (MZS 1) i (MZS 2) okre

ś

la si

ę

jako:

A - macierz układu, wymiar n

×

n,

B - macierz wymusze

ń

, wymiar n

×

p,

C - macierz odpowiedzi, wymiar q

×

n,

D - macierz transmisyjna, wymiar q

×

p.

Ró

ż

niczkowe równanie macierzowe (MZS 2) z warunkiem pocz

ą

tkowym (MZS 3) dla

chwili czasu t = 0 ma rozwi

ą

zanie w postaci

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

30

∫

−

+

=

t

t

t

t

0

0

d

)

(

))

(

exp(

)

exp(

)

(

τ

τ

τ

Bu

A

x

A

x

(MZS 4)

przy czym funkcja wykładnicza macierzy układu zdefiniowana jest zale

ż

no

ś

ci

ą

∑

∞

=

=

0

!

)

(

)

exp(

k

k

k

t

t

A

A

(MZS 5)

Rozwi

ą

zanie równania stanu mo

ż

na wyznaczy

ć

równie

ż

w postaci sumy składowej ustalonej

i przej

ś

ciowej

)

(

)

(

)

(

p

u

t

t

t

x

x

x

+

=

W prostych obwodach elektrycznych wyznaczenie rozwi

ą

zania dla składowej ustalonej nie

nastr

ę

cza zwykle wi

ę

kszych trudno

ś

ci. Z rozwi

ą

zania dla składowej ustalonej wynika równie

ż

warunek pocz

ą

tkowy dla tej składowej oraz dla składowej przej

ś

ciowej

)

0

(

)

0

(

)

0

(

u

p

x

x

x

−

=

Dla składowej przej

ś

ciowej równanie stanu w postaci macierzowej mo

ż

na zapisa

ć

jako

0

)

(

)

(

d

d

p

p

=

−

t

t

t

Ax

x

i jego rozwi

ą

zanie ma posta

ć

)

0

(

)

exp(

)

(

p

p

x

A

x

t

t

=

Wyznaczanie funkcji exp(At) z zastosowaniem twierdzenia Sylvestera

Rozpatrujemy macierz układu A stopnia n, której elementy s

ą

znane, macierz

jednostkow

ą

oznaczon

ą

przez 1 oraz skalar

λ

b

ę

d

ą

cy liczb

ą

rzeczywist

ą

lub zespolon

ą

.

Ró

ż

nic

ę

macierzy

λ

1

−

A

n

azywamy macierz

ą

charakterystyczn

ą

macierzy kwadratowej A,

a jej wyznacznik det

(

λ

1

−

A),

który jest wielomianem stopnia n wzgl

ę

dem

λ

,

wielomianem

charakterystycznym macierzy A. Przyrównuj

ą

c do zera ten wielomian, otrzymujemy

równanie stopnia n wzgl

ę

dem

λ

0

)

det(

=

−

A

1

λ

zwane równaniem charakterystycznym macierzy kwadratowej A; równanie to mo

ż

na

zapisa

ć

krótko

0

)

(

=

λ

ϕ

Pierwiastki równania

0

)

(

=

λ

ϕ

nazywamy pierwiastkami charakterystycznymi macierzy

kwadratowej A lub cz

ęś

ciej jej warto

ś

ciami własnymi

.

Twierdzenie Sylvestera, w swojej podstawowej postaci, pozwala wyrazi

ć

dowolny wielomian

macierzy kwadratowej A stopnia n w postaci wielomianu stopnia n-1 wzgl

ę

dem macierzy A.

Jest ono w zakresie algebry macierzy odpowiednikiem znanego z algebry wzoru
interpolacyjnego Lagrange'a, który pozwala wyrazi

ć

warto

ść

funkcji badanej w pewnym

przedziale w zale

ż

no

ś

ci od n znanych warto

ś

ci tej funkcji w n punktach tego przedziału.

Twierdzenie Sylvestera mo

ż

emy stosowa

ć

nie tylko do wielomianu wzgl

ę

dem macierzy A,

ale równie

ż

do funkcji przest

ę

pnych, rozwijalnych w szereg niesko

ń

czony. Do takich funkcji

nale

ż

y funkcja wykładnicza macierzy A, okre

ś

lona zale

ż

no

ś

ci

ą

(MZS 5). Twierdzenie

Sylvestera pozwala na wyra

ż

enie takich funkcji w postaci zamkni

ę

tej, tzn. prostszej ni

ż

za

pomoc

ą

szeregu niesko

ń

czonego. Dla funkcji wykładniczej macierzy kwadratowej A stopnia

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

31

n, maj

ą

cej n pierwiastków charakterystycznych ró

ż

nych od siebie, z twierdzenia Sylvestera

wynika wzór

∑

∏

∏

=

≠

≠

−

−

=

n

r

r

s

r

s

r

s

s

r

t

t

0

)

(

)

(

)

exp(

)

exp(

λ

λ

λ

λ

A

A

1

(MZS 6)

W przypadku szczególnym, w którym macierz kwadratowa A jest stopnia n = 2, wzór
(MZS 6) przybiera prost

ą

posta

ć

2

1

1

1

2

2

2

1

e

)

(

e

)

(

)

exp(

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

−

−

+

−

−

=

t

t

t

A

A

A

1

1

(MZS 7)

Przykład rozgał

ę

zionego obwodu RLC z niezerowym wymuszeniem [8]

Stosuj

ą

c metod

ę

zmiennych stanu, obliczy

ć

przebiegi pr

ą

du w cewce i

L

(t) oraz napi

ę

cia na

kondensatorze u

C

(t) po zamkni

ę

ciu wył

ą

cznika w układzie jak na rysunku 1. Dane liczbowe:

a) E = 14 V, R1 = 5

Ω

, R2 = 9

Ω

, C = 0.1 F, L = 1 H

b) E = 13 V, R1 = 5

Ω

, R2 = 0.2

Ω

, C = 0.1 F, L = 0.1 H

c) E = 200 V, R1 = 200

Ω

, R2 = 0.05

Ω

, C = 0.01 F, L = 0.1 H

Rys. 1. Schemat obwodu RLC z niezerowym wymuszeniem

Rozwi

ą

zanie

Przypadek a)

Oznaczamy zmienne stanu







=

=

2

1

)

(

)

(

x

t

i

x

t

u

L

C

Jak łatwo zauwa

ż

y

ć

, warunki pocz

ą

tkowe (dla t = 0):













=

0

0

0

X

Stan ustalony obliczony metod

ą

klasyczn

ą













=

























+

+

=

1

9

2

1

2

2

1

u

R

R

E

R

R

R

E

X

Układ równa

ń

otrzymany z praw Kirchhoffa



















+

=

+

=

=

+

+

−

=

⇒

=

+

2

3

2

1

2

2

2

1

1

1

1

1

d

d

d

d

i

t

u

C

i

i

i

u

i

R

t

i

L

R

E

R

u

i

E

u

i

R

C

C

C

C

E

i

1

R

1

R

2

L

C

t

=0

i

C

i

2

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

32

przekształcamy w równania stanu













+

−

=

+

−

−

=

L

u

i

L

R

t

i

C

R

E

C

R

u

C

i

t

u

C

C

C

2

2

2

1

1

1

d

d

d

d

Uwzgl

ę

dniaj

ą

c przyj

ę

te oznaczenia zmiennych stanu, mo

ż

emy równania zapisa

ć

ostatecznie

jako












−

=

+

−

−

=

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

d

d

1

1

d

d

x

L

R

x

L

t

x

C

R

E

x

C

x

C

R

t

x

lub w postaci macierzowej





























+





































−

−

−

=













0

0

0

0

1

)

(

)

(

1

1

1

)

(

)

(

d

d

1

2

1

2

1

2

1

E

C

R

t

x

t

x

L

R

L

C

C

R

t

x

t

x

t

Odpowied

ź

czasowa ma dwie składowe: ustalon

ą

i przej

ś

ciow

ą

)

(

)

(

)

(

p

u

t

t

t

x

x

x

+

=

Dla składowej przej

ś

ciowej równanie stanu w postaci macierzowej mo

ż

na zapisa

ć

jako





































−

−

−

=













)

(

)

(

1

1

1

)

(

)

(

d

d

p

2

p

1

2

1

p

2

p

1

t

x

t

x

L

R

L

C

C

R

t

x

t

x

t

Dla danych zadania powy

ż

sze równanie przybiera posta

ć

























−

−

=













)

(

)

(

9

1

10

2

)

(

)

(

d

d

p

2

p

1

p

2

p

1

t

x

t

x

t

x

t

x

t

Składow

ą

przej

ś

ciow

ą

policzymy nast

ę

puj

ą

co:

)

0

(

)

exp(

)

(

p

p

x

A

x

t

t

=

gdzie składowa przej

ś

ciowa w zerze ma posta

ć













−

−

=













−













=

−

=

1

9

1

9

0

0

)

0

(

)

0

(

)

0

(

u

p

x

x

x

Obliczenie macierzy exp(At) metod

ą

Sylvestera

Warto

ś

ci własne macierzy

2

1

,

λ

λ

obliczymy z równania charakterystycznego

[

]

28

11

10

)

9

)(

2

(

9

1

10

2

9

1

10

2

+

det

9

1

10

2

0

0

det

det

2

+

+

=

+

+

+

=

+

−

+

=

=













+

−

=

























−

−

−

−













=

−

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

A

1

Jako rozwi

ą

zanie równania charakterystycznego otrzymujemy dwa pierwiastki rzeczywiste

ujemne

7

,

4

3

,

9

0

28

11

2

1

2

−

=

−

=

=

∆

=

∆

=

+

+

λ

λ

λ

λ

Wskazuje to na aperiodyczny charakter przebiegów. Uwzgl

ę

dniaj

ą

c wzór Sylvestera

(MZS 7), otrzymujemy

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

33





















−

−

−

−

=

=













−

−

+













−

−

−

=

























−

−

−

−













−

−

⋅

+

+

























−

−

−

−













−

−

⋅

−

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

4

7

7

4

4

7

7

4

7

4

7

4

e

3

2

e

3

5

)

e

e

(

3

1

)

e

e

(

3

10

e

3

2

e

3

5

5

1

10

2

3

e

2

1

10

5

3

e

9

1

10

2

4

0

0

4

3

e

9

1

10

2

7

0

0

7

3

e

)

exp( A

Na podstawie wzoru

)

0

(

)

exp(

)

(

p

p

x

A

x

t

t

=

otrzymujemy posta

ć

składowej przej

ś

ciowej





















−

−

=













−

−





















−

−

−

−

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

4

7

4

7

4

7

7

4

4

7

7

4

p

e

3

7

e

3

4

e

3

35

e

3

8

1

9

e

3

2

e

3

5

)

e

(e

3

1

)

e

e

(

3

10

e

3

2

e

3

5

)

(

x

Uwzgl

ę

dniaj

ą

c obie składowe, mo

ż

emy zapisa

ć

(korzystaj

ą

c ze wzoru

)

(

)

(

)

(

p

u

t

t

t

x

x

x

+

=

)





















−

+

−

+

=













+





















−

−

=

−

−

−

−

−

−

−

−

)

e

7

e

4

(

3

1

1

)

e

35

e

8

(

3

1

9

1

9

e

3

7

e

3

4

e

3

35

e

3

8

)

(

4

7

4

7

4

7

4

7

t

t

t

t

t

t

t

t

t

x

Rozwi

ą

zanie zadania stanowi

ą

przebiegi:

A

)]

e

7

e

4

(

3

1

1

[

)

(

V

)]

e

35

8

(

3

1

9

[

)

(

4

7

4

7

e

t

t

L

t

t

C

t

i

t

u

−

−

−

−

−

+

=

−

+

=

Przebiegi czasowe napi

ę

cia u

C

(t) i pr

ą

du i

L

(t) pokazano na rys. 1.1. i rys. 1.2. Otrzymali

ś

my

przebiegi o charakterze aperiodycznym.

10

0

y (

)

t

0

9

2

0

t

Rys. 1.1. Przebieg napi

ę

cia na kondensatorze u

C

(t)

1.2

0

y ( )

t

1

1

2

0

t

Rys. 1.2. Przebieg pr

ą

du w cewce i

L

(t)

Przypadek b)
Post

ę

pujemy analogicznie jak w przypadku a). Przyjmujemy takie same oznaczenia

zmiennych stanu. Wektor stanu pocz

ą

tkowego jest tak

ż

e taki sam. Po uwzgl

ę

dnieniu danych

zadania (rozwa

ż

anego przypadku b) mo

ż

emy zapisa

ć

wektor stanu ustalonego

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

34













=

























+

+

=

5

.

2

5

.

0

2

1

2

2

1

u

R

R

E

R

R

R

E

X

Składow

ą

przej

ś

ciow

ą

policzymy analogicznie jak w przypadku a). Mo

ż

emy zapisa

ć

równanie stanu dla tej

ż

e składowej





































−

−

−

=













)

(

)

(

1

1

1

)

(

)

(

d

d

p

2

p

1

2

1

p

2

p

1

t

x

t

x

L

R

L

C

C

R

t

x

t

x

t

i dla danych przypadku b):

























−

−

−

=













)

(

)

(

2

10

10

2

)

(

)

(

d

d

p

2

p

1

p

2

p

1

t

x

t

x

t

x

t

x

t

Obliczamy warto

ś

ci własne macierzy A, korzystaj

ą

c z równania charakterystycznego

[

]

104

4

100

)

2

)(

2

(

2

10

10

2

2

10

10

2

+

det

2

10

10

2

0

0

det

det

2

+

+

=

+

+

+

=

+

−

+

=

=













+

−

=

























−

−

−

−













=

−

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

A

1

W wyniku rozwi

ą

zania równania charakterystycznego otrzymujemy dwa pierwiastki

zespolone

j10

2

;

j10

2

j20

;

400

0

104

4

2

1

2

−

−

=

+

−

=

±

=

∆

−

=

∆

=

+

+

λ

λ

λ

λ

Wskazuje to na oscylacyjny charakter przebiegów. Korzystaj

ą

c ze wzoru Sylvestera,

mo

ż

emy zapisa

ć

=













−

+













−

−

=

=

























−

−

−

−













+

−

+

−

+

+

























−

−

−

−













−

−

−

−

−

=

−

−

−

−

−

−

j10

10

10

j10

j20

e

j10

10

-

10

j10

-

j20

e

2

10

10

2

10

j

2

0

0

j10

2

j20

e

2

10

10

2

j10

2

0

0

j10

2

j20

e

)

exp(

j10)

2

(

j10)

+

2

(

j10)

2

(

j10)

+

2

(

t

t

t

t

t

A





























+

−

−

−

+

=

=















+

−

−

+

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

2

e

e

j2

e

e

j2

e

e

2

e

e

e

)

e

j10(e

)

e

10(e

)

e

e

(

10

)

e

j10(e

j20

e

j10

j10

j10

j10

j10

j10

j10

j10

2

j10

j10

j10

j10

j10

j10

j10

j10

2

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

Korzystaj

ą

c z zale

ż

no

ś

ci

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

35

2

e

e

cos

;

2j

e

e

sin

j

j

-j

j

t

t

t

t

t

t

ω

ω

ω

ω

ω

ω

−

=

−

=

mo

ż

emy ostatecznie zapisa

ć















−

=

−

−

−

−

t

t

t

t

t

t

t

t

t

cos10

e

sin10

e

sin10

e

cos10

e

)

exp(

2

2

2

2

A

Uwzgl

ę

dniaj

ą

c wzór

)

0

(

)

exp(

)

(

p

p

x

A

x

t

t

=

oraz fakt,

ż

e













−

−

=













−













=

−

=

5

.

2

5

.

0

5

.

2

5

.

0

0

0

)

0

(

)

0

(

)

0

(

u

0

p

x

x

x

mo

ż

emy zapisa

ć

składow

ą

przej

ś

ciow

ą















+

−

−

=













−

−















−

−

=

−

−

−

−

−

−

)

cos10

5

.

2

sin10

5

.

0

(

e

)

cos10

5

.

0

(2.5sin10

e

5

.

2

5

.

0

cos10

e

sin10

e

10

sin

e

cos10

e

)

(

2

2

2

2

2

2

p

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

x

Korzystaj

ą

c ze wzoru

)

(

)

(

)

(

p

u

t

t

t

x

x

x

+

=

, mo

ż

emy zapisa

ć















+

−

−

+

=













+















+

−

−

=

=

+

=

−

−

−

−

)

2.5cos10

sin10

5

.

0

(

e

5

.

2

)

cos10

5

.

0

2.5sin10

(

e

5

.

0

5

.

2

5

.

0

)

cos10

5

.

2

sin10

5

.

0

(

e

)

cos10

5

.

0

(2.5sin10

e

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

u

p

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

x

x

x

Ostatecznie mo

ż

na zapisa

ć

poszukiwane przebiegi jako

A

)]

cos10

5

.

2

sin10

5

.

0

(

e

5

.

2

[

)

(

V

)]

cos10

5

.

0

sin10

5

.

2

(

e

5

.

0

[

)

(

2

2

t

t

t

i

t

t

t

u

t

L

t

C

+

−

=

−

+

=

−

−

Przebiegi te zilustrowano na rys. 1.3 i rys. 1.4. Otrzymali

ś

my przebiegi o charakterze

oscylacyjnym. Tłumienie jest stosunkowo du

ż

e z pulsacj

ą

ω

wynosz

ą

c

ą

rad/s

10

.

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

t [s]

u [V]

c

Rys. 1.3. Przebieg napi

ę

cia na kondensatorze uC(t)

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

36

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

t [s]

i [A]

L

Rys. 1.4. Przebieg pr

ą

du w cewce iL(t)

Przypadek c)
Rozwi

ą

zuj

ą

c, post

ę

pujemy analogicznie jak w przypadku b). Po uwzgl

ę

dnieniu danych

zadania (rozwa

ż

anego przypadku) mo

ż

emy zapisa

ć

wektor stanu ustalonego













≅

























+

+

=

1

05

.

0

2

1

2

2

1

u

R

R

E

R

R

R

E

X

Składow

ą

przej

ś

ciow

ą

obliczymy analogicznie jak w przypadkach a) oraz b) i dla danych

przypadku c)

























−

−

−

=













)

(

)

(

5

.

0

10

100

5

.

0

)

(

)

(

d

d

p

2

p

1

p

2

p

1

t

x

t

x

t

x

t

x

t

Obliczamy warto

ś

ci własne macierzy A, korzystaj

ą

c z równania charakterystycznego

[

]

25

.

1000

1000

)

5

.

0

)(

5

.

0

(

5

.

0

10

100

5

.

0

5

.

0

10

100

0.5

+

det

5

.

0

10

100

5

.

0

0

0

det

det

2

+

+

=

+

+

+

=

+

−

+

=

=













+

−

=

























−

−

−

−













=

−

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

A

1

Z rozwi

ą

zania równania charakterystycznego otrzymujemy par

ę

zespolonych, sprz

ęż

onych

warto

ś

ci własnych

10

j10

5

.

0

,

10

j10

5

.

0

10

j20

,

4000

0

25

.

1000

2

1

2

−

−

=

+

−

=

±

=

∆

−

=

∆

=

+

+

λ

λ

λ

λ

Korzystaj

ą

c ze wzoru Sylvestera, mo

ż

emy zapisa

ć

:

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

37





























+

−

−

−

+

=

=

















−

+

















−

−

−

−

=

−

−

−

−

−

−

−

−

2

e

e

j2

e

e

10

j2

e

e

10

2

e

e

e

10

j10

10

100

10

j10

10

j20

e

10

j10

10

100

10

j10

10

j20

e

)

exp(

10

j10

10

j10

10

j10

10

j10

10

j10

10

j10

10

j10

10

j10

0.5

)

10

j10

5

.

0

(

)

10

j10

+

0.5

(

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

A

Na podstawie znanych zale

ż

no

ś

ci mo

ż

emy ostatecznie zapisa

ć

:















−

=

−

−

−

−

t

t

t

t

t

t

t

t

t

10

cos10

e

10

sin10

e

10

10

sin10

e

10

10

cos10

e

)

exp(

0.5

0.5

0.5

0.5

A

Uwzgl

ę

dniaj

ą

c wzór

)

0

(

)

exp(

)

(

p

p

x

A

x

t

t

=

oraz to,

ż

e













−

−

=













−













=

−

=

1

05

.

0

1

05

.

0

0

0

)

0

(

)

0

(

)

0

(

u

0

p

x

x

x

mo

ż

emy zapisa

ć

składow

ą

przej

ś

ciow

ą















+

−

−

=

=













−

−















−

=

−

−

−

−

−

−

)

10

cos10

10

sin10

10

05

.

0

(

e

)

10

cos10

05

.

0

10

sin10

10

(

e

1

05

.

0

10

cos10

e

10

sin10

e

10

10

10

sin

e

10

10

cos10

e

)

(

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

p

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

x

Korzystaj

ą

c ze wzoru

)

(

)

(

)

(

p

u

t

t

t

x

x

x

+

=

mo

ż

emy zapisa

ć

:















+

−

−

+

=

=













+















+

−

−

=

+

=

−

−

−

−

)

10

cos10

10

sin10

10

05

.

0

(

e

1

)

10

cos10

05

.

0

10

sin10

10

(

e

05

.

0

1

05

.

0

)

10

cos10

10

sin10

10

05

.

0

(

e

)

10

cos10

05

.

0

10

sin10

10

(

e

)

(

)

(

)

(

0.5

0.5

0.5

0.5

u

p

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

x

x

x

Ostatecznie mo

ż

na zapisa

ć

poszukiwane przebiegi jako

A

)]

10

cos10

10

sin10

05

.

0

(

e

1

[

)

(

V

]

)

10

cos10

05

.

0

10

sin10

10

(

e

05

.

0

[

)

(

0.5

0.5

t

t

t

i

t

t

t

u

t

L

t

C

+

−

=

−

+

=

−

−

i zilustrowa

ć

je na rys. 1.5 dla napi

ę

cia na kondensatorze oraz na rys. 1.6 dla pr

ą

du

płyn

ą

cego przez cewk

ę

. Otrzymane przebiegi maj

ą

charakter oscylacyjny. Ró

ż

ni

ą

si

ę

od

otrzymanych w przypadku b) czterokrotnie mniejszym współczynnikiem tłumienia oraz
pulsacj

ą

blisko trzy razy wi

ę

ksz

ą

, wynosz

ą

c

ą

około

rad/s

32

.

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

38

0

a

dla

)

j

(

a

1

)

(

>

↔

a

X

at

x

ω

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

t [s]

u [V]

c

Rys. 1.5. Przebieg napi

ę

cia na kondensatorze u

C

(t)

0

0,5

1

1,5

2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

t [s]

i [A]

L

Rys. 1.6. Przebieg pr

ą

du w cewce i

L

(t)

Analiza cz

ę

stotliwo

ś

ciowa sygnałów

Na wykładzie przedstawiono wszystkie tre

ś

ci zawarte w:

A. Szczepa

ń

ski, M. Trojnar: Obwody elektryczne. Symulacja komputerowa wybranych

zagadnie

ń

. Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów 2006,

na str. 119-129 oraz na str. 55-71

Pozostałe tre

ś

ci prezentowane podczas wykładu:

Podstawowe własno

ś

ci Przekształcenia Fouriera

7. Przeskalowanie

Przeskalowanie sygnału w osi czasu prowadzi do odwrotnego przeskalowania jego widma,
tzn. „

ś

ci

ś

ni

ę

cie” (krótszy czas trwania) sygnału (a>1) prowadzi do „rozszerzenia” jego widma,

„rozci

ą

gni

ę

cie” (dłu

ż

szy czas trwania) za

ś

sygnału (a<1) – do „zw

ęż

enia” widma.

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

39

∫

+∞

∞

−

=

t

e

t

k

j

H

t

j

d

)

(

)

(

ω

ω

∫

+∞

∞

−

=

ω

ω

π

ω

d

)

(

2

1

)

(

t

j

e

j

H

t

k

)

j

(

)

j

(

)

j

(

we

wy

ω

ω

ω

U

H

U

=

)

j

(

)

(

H

gdzie

)

(

)

j

(

)

(

j

ω

ω

ω

ω

ω

ϕ

H

e

H

H

=

=

Rysunek [3]:
Przykładowy sygnał x(t) oraz jego wersja przeskalowana x(2t) oraz widma obu sygnałów

Transmitancja cz

ę

stotliwo

ś

ciowa układów liniowych

Transmitancj

ę

cz

ę

stotliwo

ś

ciow

ą

układu (czasami mówi si

ę

o charakterystyce

amplitudowo-fazowej lub te

ż

o funkcji przenoszenia układu) mo

ż

na zdefiniowa

ć

wykorzystuj

ą

c odpowied

ź

impulsow

ą

układu:

Czyli transformata odwrotna charakterystyki amplitudowo-fazowej układu jest równa
odpowiedzi impulsowej układu (odpowiedzi na impuls Diraca)

Transmitancja cz

ę

stotliwo

ś

ciowa determinuje sposób przetwarzania elementarnych

sygnałów harmonicznych, czyli je

ś

li układ jest pobudzony sygnałem harmonicznym o danej

pulsacji

w

i amplitudzie zespolonej Uwe(j

w

), to amplituda zespolona odpowiedzi na to

pobudzenie jest równa

Bardzo cz

ę

sto, szczególnie w obliczeniach in

ż

ynierskich funkcj

ę

H(j

ω

) wygodniej jest

przedstawi

ć

w nast

ę

puj

ą

cej postaci:

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

40

)

(

ω

H

- charakterystyka amplitudowa układu

)

(

ω

ϕ

- charakterystyka fazowa układu

Charakterystyki cz

ę

stotliwo

ś

ciowe sygnałów

Transformat

ę

Fouriera

)

(

ω

j

F

mo

ż

na zapisa

ć

w postaci wykładniczej

Funkcj

ę

)

(

ω

F

nazywa si

ę

charakterystyk

ą

cz

ę

stotliwo

ś

ciow

ą

modułu lub widmem

amplitudowym sygnału, a funkcj

ę

)

(

ω

ϕ

– charakterystyk

ą

cz

ę

stotliwo

ś

ciow

ą

fazy lub

widmem fazowym sygnału opisanego funkcj

ą

czasu

)

(t

f

.

Sam

ą

funkcj

ę

)

(

ω

j

F

nazywa si

ę

po prostu charakterystyk

ą

cz

ę

stotliwo

ś

ciow

ą

lub

widmem sygnału. W celu lepszego zbadania widma sygnału sporz

ą

dza si

ę

wykresy funkcji

)

(

ω

F

i

)

(

ω

ϕ

.

Wprowadzonych powy

ż

ej poj

ęć

widma amplitudowego oraz fazowego nie nale

ż

y myli

ć

z

charakterystykami cz

ę

stotliwo

ś

ciowymi transmitancji układu, które nazywa si

ę

tak

ż

e

wykresami Bodego, gdy

ż

znaczenie ich jest inne.

Z charakterystyk cz

ę

stotliwo

ś

ciowych transmitancji układu dowiadujemy si

ę

jakim

zmianom, po przej

ś

ciu przez układ, podlegaj

ą

sygnały harmoniczne o ró

ż

nych

cz

ę

stotliwo

ś

ciach podawane na wej

ś

cie układu; tak wi

ę

c z charakterystyk transmitancji

uzyskujemy informacj

ę

o zmianie amplitudy i ró

ż

nicy faz mi

ę

dzy sygnałem na wej

ś

ciu i na

wyj

ś

ciu.

Z charakterystyk cz

ę

stotliwo

ś

ciowych danego sygnału mo

ż

emy natomiast uzyska

ć

informacje o jego składzie cz

ę

stotliwo

ś

ciowym, tzn. o amplitudach i fazach pocz

ą

tkowych

sygnałów harmonicznych w nim zawartych.

Przykład 1

– str. 127-128 w ksi

ąż

ce [2]

)]

(

j

exp[

)

F(

)

F(j

ω

ϕ

ω

ω

=

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

41

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

42

Przykład 2

– str. 128-129 w ksi

ąż

ce [2]

Dr inż. Mariusz Trojnar

Obwody i Sygnały 2

Wykłady nr 1,2,3,4,5

43

Przykład 3

– str. 78-90 w ksi

ąż

ce [2]

Wykorzystano nast

ę

puj

ą

ce materiały:

1. G. Masłowski, Wykłady z przedmiotu „Sygnały i Systemy” dla Studentów kierunku

Informatyka na Wydziale Elektrotechniki i Informatyki Politechniki Rzeszowskiej.

2. A. Szczepa

ń

ski, M. Trojnar, Obwody elektryczne. Komputerowa symulacja wybranych

zagadnie

ń

, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów, 2006.

3. T. Zieli

ń

ski, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, Wydawnictwa Komunikacji i Ł

ą

czno

ś

ci,

Warszawa, 2005.

4. A. Szczepa

ń

ski, M. Trojnar, Obwody i Sygnały, Oficyna Wydawnicza Politechniki

Rzeszowskiej, Rzeszów, 2006.

5. J. Osiowski, J. Szabatin, Podstawy teorii obwodów, tom. I, Wydawnictwa Naukowo-

Techniczne, Warszawa, 1992.

6. S. Bolkowski, Teoria obwodów elektrycznych, WNT, Warszawa, 1995.
7. K. Rzepka, Wykłady z przedmiotu „Obwody i sygnały” dla Studentów Wydziału

Elektrotechniki i Informatyki Politechniki Rzeszowskiej.

8. J. Bajorek, G. Drałus, Podstawy elektrotechniki III, Oficyna Wydawnicza Politechniki

Rzeszowskiej, Rzeszów, 2005.

9. K. Snopek, Wykłady z przedmiotu „Sygnały i Systemy” dla Studentów Politechniki

Warszawskiej.

10. R. Kurdziel, Podstawy elektrotechniki, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1973.
11. Wikipedia; http://www.wikipedia.pl/