Statystyka

Strona 1 z 3

Zestaw 10

Rozkład jednostajny dyskretny





n

k

X

P

1





Momenty:

2

1

b

a

m





12

1

2

2





n



0

3











240

7

3

1

2

2

4







n

n



Rozkład dwumianowy





k

n

k

q

p

k

n

k

X

P



















p

q





1

n

k

,

,

1

,

0 



Momenty:

np

m



1

npq



2







p

npq

2

1

3







 





1

6

6

3

2

2

4









p

p

npq

npq



Rozkład hipergeometryczny

















































n

N

k

n

M

N

k

M

k

X

P

Momenty:

N

nM

m



1







1

2

2









N

n

N

M

N

N

nM



















2

1

2

2

3

3















N

N

n

N

n

N

M

N

M

N

N

nM



































3

2

1

4

4

N

N

N

N

nM



Rozkład jednostajny ciągły

 





















b

x

i

a

x

b

x

a

a

b

x

f

dla

dla

0

1

Momenty:

2

1

b

a

m









12

2

2

a

b







0

3









80

4

4

a

b







Rozkład wykładniczy

 















0

0

0

x

x

e

x

f

x

dla

dla





Momenty:



1

1



m

2

2

1







3

3

2







4

4

9







Rozkład normalny

 





















x

e

x

f

m

x

dla

2

2

2

2

1







Momenty:

m

m



1

2

2







0

3





4

4

3







i

x

a

x



1

2

x



b

x

n



i

p

n

1

n

1



n

1

Statystyka

Strona 2 z 3

Zestaw 10

ROZKŁAD NORMALNY STANDARYZOWANY

Standaryzacja jest rodzajem normalizacji zmiennej losowej, w wyniku której zmienna uzyskuje wartośd
oczekiwaną równą zero i wariancję równą jeden.





 

1

,

0

,

N

m

N







m

X

Z

X







 

 

z

x

f





gęstośd prawdopodobieostwa

 

2

2

2

1

z

e

z









 

 

z

x

F





dystrybuanta

 













z

t

dt

e

z

2

2

2

1



Własności:

   

 

 

z

z

z

z















1





Prawdopodobieostwo:





   

1

2

2

1

x

F

x

F

x

X

x

P









programy komputerowe



m

x

z

x







1

1

1



m

x

z

x







2

2

2





 

 

1

2

2

1

z

z

z

Z

z

P













tablice statystyczne

REGUŁA TRZECH SIGM



68,3% wartości zmiennej losowej mieści się w granicach jednego odchylenia standardowego wokół
wartości oczekiwanej



95,5% wartości zmiennej losowej mieści się w granicach dwóch odchyleo standardowych wokół
wartości oczekiwanej



99,7% wartości zmiennej losowej mieści się w granicach trzech odchyleo standardowych wokół
wartości oczekiwanej





683

,

0















m

X

m

P

obszar jasnoszary





955

,

0

2

2















m

X

m

P

obszar jasnoszary + ciemnoszary





997

,

0

3

3















m

X

m

P

obszar jasnoszary + ciemnoszary + czarny

N(0,1) - rozkład normalny standaryzowany

σ

σ

σ

2

σ

2

σ

3

σ

3

Statystyka

Strona 3 z 3

Zestaw 10

ZADANIA

1. Oblicz parametry

1

m

,

2



,

3



oraz prawdopodobieostwa





EX

X

P



,





EX

X

P



dla rozkładów

dyskretnych:

a. wyniki pojedynczego rzutu kostką sześciościenną
b. ilośd wypadnięd orła w 6 rzutach monetą
c. wyniki gry w Lotto

2. Obliczyd wartośd oczekiwaną, medianę, wariancję, asymetrię i kurtozę dla rozkładów ciągłych:

a. jednostajnego na przedziale

5

,

0

b. wykładniczego z parametrem

2





c. normalnego

 

5

,

10

N

3. Autobus odjeżdża z przystanku co 10 minut. Zakładając, że rozkład czasu przybycia pasażera

na przystanek jest jednostajny, oblicz prawdopodobieostwo, że będzie on czekał co najmniej 4 minuty.

4. Czas bezawaryjnej pracy pewnego urządzenia (w godz.) jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym

z parametrem

2

1





. Obliczyd prawdopodobieostwo, że urządzenie nie zepsuje się przed upływem

3 godzin.

5. Waga populacji mężczyzn ma rozkład normalny





6

,

70

N

. Wykorzystując regułę trzech sigm, obliczyd

udział w populacji mężczyzn o wadze:

a. do 58 kg
b. 70 - 76 kg
c. ponad 88 kg

6. Zmienna losowa podlega rozkładowi

 

9

,

4

N

. Obliczyd korzystając z tablic statystycznych dla

dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego:

a.





12



X

P

b.





14

2





X

P

c.





11

3





X

P

7. Zmienna losowa podlega rozkładowi

 

4

,

2

N

. Wyznaczyd wartośd parametru

k

tak, aby:

a.





9

,

0

2







k

X

P

b.





8

,

0

4

2







k

X

P