1
Systemy przetwarzania
sygnałów
System
przetwarzania
sygnałów
System
przetwarzania
sygnałów
x(t)
y(t)
?
x(t)
y(t)
2003 © P. Strumiłło
1
Systemy przetwarzania
sygnałów
System
przetwarzania
sygnałów
System
przetwarzania
sygnałów
x(t)
y(t)
?
x(t)
y(t)
2003 © P. Strumiłło
2
Systemy przetwarzania sygnałów
T – ci gła zmienna czasu
n – dyskretna zmienna czasu n = 0, 1, … N,…
System
czasu ci głego
System
czasu ci głego
x(t)
y(t)
np. megafon - wzmacniacz
analogowy
System
czasu dyskretnego
System
czasu dyskretnego
x(n)
y(n)
np. proces akumulacji
odsetek w banku:
y(n)=0.1*y(n-1) +x(n),
filtry cyfrowe
sygnał ci gły
sygnał dyskretny
y(t)=H(x(t))
y(n)=H(x(n))
3
Sygnał dyskretny
Sygnał dyskretny mo na uzyska przez
próbkowanie amplitudy sygnału ci głego w
dyskretnych chwilach czasu nT.
x(nT)
n
0
T
1 2 3
0
4
Wła ciwo ci systemów
przetwarzania sygnałów
1.
Systemy
z pami ci
i
bez pami ci
2.
Systemy
przyczynowe
i nieprzyczynowe
3.
Systemy
stabilne
i niestabilne
4.
Systemy
liniowe
i nieliniowe
5.
Systemy
niezmienne wzgl dem czasu
(przesuni cia) i zmienne wzgl dem czasu
Prz
ykła
dy?
5
Systemy z pami ci i bez pami ci
( )
( ) ( )
n
x
k
x
n
y
n
k
+
=
−
−∞
=
1
( )
( )
( )
n
x
n
x
n
y
2
2
3
+
=
Sygnał wyj ciowy systemu
bez pami ci
w chwili
n zale y tylko od sygnału wej ciowego w tej
samej chwili, np.:
Sygnał wyj ciowy systemu
z pami ci
w chwili n
zale y sygnału wej ciowego wyst puj cego w
chwilach czasu k
≠
n, np.:
( ) ( ) ( )
n
x
n
y
n
y
+
−
=
1
6
Systemy przyczynowe
( ) ( )
)
10
(
−
+
=
n
x
n
x
n
y
Systemy jest
przyczynowy
gdy jego sygnał
wyj ciowy w chwili n jest zale ny tylko sygnału
wej ciowego w chwili n i/lub sygnału wej ciowego
z chwil przeszłych, np.:
( ) ( )
)
1
(
+
−
=
n
x
n
x
n
y
nieprzyczynowy
7
tj. odpowied systemu liniowego na sum sygnałów
wej ciowych jest równa sumie odpowiedzi systemu
na poszczególne sygnały składowe.
Przykład systemu liniowego:
Przykład systemu nieliniowego:
Systemy liniowe
( )
( )
[
]
( )
[
]
( )
[
]
( )
( )
n
by
n
ay
n
bx
bH
n
x
aH
n
bx
n
ax
H
2
1
2
1
2
1
+
=
+
=
+
( )
( )
n
x
n
y
2
=
Systemy linowe spełniaj zasad superpozycji:
( )
( )
n
x
n
y
3
=
8
Dla systemów liniowych niezmiennych wzgl dem
przesuni cia, znajomo odpowiedzi systemu na
pobudzenie impulsowe
δ
(n)
pozwala wyznaczy
odpowied systemu na dowolny sygnał wej ciowy.
Systemy liniowe niezmienne
wzgl dem przesuni cia
System liniowy
δ
(n)
0
0
h(n)
Odpowied impulsowa
9
Filtracja sygnału
( )
( ) (
)
k
n
x
k
h
n
y
k
k
−
=
∞
=
−∞
=
h(k)
k
x(-k)
k
x(k)
k
x(1-k)
k
x(n-k)
k
h(k)
k
0
10
Filtry cyfrowe
Filtr cyfrowy
Filtr cyfrowy
x
(
n
)
y
(
n
)
h
(
n
)
– odpowied impulsowa
x
(
n
)
y
(
n
)
y
(
n
) = x(
n
)
∗
h
(
n
)
Procesory sygnałowe (DSP),
układy programowalne
2003 © P. Strumiłło
11
Filtry cyfrowe
Po co filtrujemy sygnały?
Aby uzyska :
redukcj zakłóce sygnału
(np. zakłóce od sieci energetycznej)
zmian charakterystyki widmowej sygnału
(preemfaza, deemfaza)
wyodr bnienie zadanych składowych sygnału
spo ród jego innych składowych (detekcja)
12
Reprezentacja sygnałów za
pomoc szeregu Fouriera
Joseph Fourier
(1768-1830)
Szeroka klasa sygnałów mo e by reprezentowana
za pomoc kombinacji liniowej funkcji harmonicznych
o ró nych cz stotliwo ciach – tzw. szereg Fouriera
13
Przekształcenie Fouriera
14
Trygonometryczny szereg
Fouriera
( )
(
)
+∞
=
+
+
=
1
0
0
0
sin
cos
2
k
k
k
t
k
b
t
k
a
a
t
x
ω
ω
T
π
ω
2
0
=
gdzie: tzw. okres podstawowy
( )
dt
t
x
T
a
T
t
=
=
0
0
2
( )
,
2
,
1
,
cos
2
0
0
=
=
=
k
dt
t
k
t
x
T
a
T
t
k
ω
( )
,
2
,
1
,
sin
2
0
0
=
=
=
k
dt
t
k
t
x
T
b
T
t
k
ω
oraz:
15
Szereg Fouriera - przykład
( )
+
+
+
=
5
5
sin
3
3
sin
1
sin
4
t
t
t
t
x
π
0
1
2
3
4
5
6
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
π
%MATLAB
clear all;
t=linspace(0,2*pi,100);
x=ones(size(t)); x(51:end)=-1;
plot(t,x,'r'); hold on;
xf=zeros(size(t));
for i=1:2:9,
xf=xf+4/pi.*sin(i.*t)/i;
plot(t,xf)
end
grid;
1
2
0
=
=
T
π
ω
Cz stotliwo
podstawowa
ω
ω
ω
ω
0
16
Szereg Fouriera - przykład
0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Widmo Fouriera
4/
π
17
0
50
100
150
200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f[Hz]
60 Hz
Widmo Fouriera sygnału EKG
Szereg Fouriera - przykład
0
2 0 0
4 0 0
6 0 0
8 0 0
1 0 0 0
- 1 0 0
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
18
Charakterystyki
cz stotliwo ciowe filtrów
Filtr dolno-przepustowy
(np. filtr anty-alisingowy,
redukcja zakłóce )
f
A(f)
f
A(f)
Filtr górno-przepustowy
(np. preemfaza, usuwanie
składowej stałej)
pasmo
zaporowe
pasmo
przepustowe
pasmo
przej ciowe
f
p
f
s
19
Filtr rodkowo-przepustowy
(np. detekcja cech sygnału)
Filtr rodkowo-zaporowy
(np. redukcja zakłóce od sieci
energetycznej)
f
A(f)
f
A(f)
50 Hz
Charakterystyki
cz stotliwo ciowe filtrów
20
Charakterystyki
cz stotliwo ciowe filtrów - przykłady
f
A(f)
Filtr dolnoprzepustowy
(redukcja zakłóce )
200
400
600
800
1000
0
500
1000
1500
200
400
600
800
1000
0
500
1000
1500
0 V
0 V
21
Charakterystyki
cz stotliwo ciowe filtrów - przykłady
f
A(f)
Filtr górno-przepustowy
(np. usuwanie warto ci redniej)
200
400
600
800
1000
0
500
1000
1500
0 V
0
200
400
600
800
1000
-150
-100
-50
0
50
100
0 V
22
Charakterystyki
cz stotliwo ciowe filtrów - przykłady
200
400
600
800
1000
0
500
1000
1500
0 V
0
200
400
600
800
1000
-2000
0
2000
4000
6000
Filtr rodkowo-przepustowy
(np. detekcja cech sygnału)
f
A(f)
23
Charakterystyki
cz stotliwo ciowe filtrów - przykłady
Filtr rodkowo-zaporowy
(np. redukcja zakłóce o
zadanej cz stotliwo ci)
f
A(f)
50 Hz
0
200
400
600
800
1000
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
0
200
400
600
800
1000
900
1000
1100
1200
1300
1400
24
Zastosowania filtrów cyfrowych w
przetwarzaniu elektrokardiogramu
donoprzepustowe (redukcja zakłóce o
cz stotliwo ciach radiowych, aktywno ci mi ni
szkieletowych)
górnoprzepustowe (eliminacja pełzania linii
izoelektrycznej, f
g
=0.5 Hz)
pasmowoprzepustowe (wydzielanie
składowych sygnału EKG, np. fali P, T, QRS)
pasmowozaporowe (redukcja zakłóce od sieci
energetycznej, f=50 Hz)
25
Filtr cyfrowy - zastosowanie
26
Przykład filtru SOI
Filtr o ruchomej redniej:
( )
(
) (
) (
) (
) ( )
[
]
( )
−
=
=
+
−
+
−
+
−
+
−
=
k
k
n
n
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
y
4
5
1
1
2
3
4
5
1
Odpowied impulsowa filtru:
h=[0.2 0.2 0.2 0.2 0.2];
27
Przykład filtru SOI
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
500
1000
1500
2000
2500
3000
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
28
Prosty przykład filtru SOI
0
20
40
60
80
100
-3
-2
-1
0
1
2
3
Charakterystyka fazowa
f [Hz]
ra
di
an
y
0
20
40
60
80
100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Charakterystyka amplitudowa
f [Hz]
A
m
pl
itu
da
Odpowied
impulsowa filtru
0
5
10
15
20
0
0.05
0.1
0.15
0.2
tzw. zero filtru
Charakterystyka fazowa
Charakterystyka amplitudowa
29
Filtr dolnoprzepustowy - projekt
30
Adaptacyjna redukcja zakłóce
s(t) = x(t) + v(t)
Σ
Filtr
adaptacyjny
e(t) = x(t)
^
n(t)
ródło
sygnału
ródło
zakłóce
+
_
v(t)
^
(tzw. wej cie
odniesienia)
Reguła
adaptacji wag
( )
( )
t
e
t
w
∇
−
=
∆
η
31
Adaptacyjne tłumienie hałasu
32
Zastosowania filtracji adaptacyjnej
w adaptacyjnej redukcji zakłóce mierzonego sygnału
od sieci energetycznej oraz redukcji zakłóce od
elektronarz dzi chirurgicznych (f~120 Hz)
do redukcji energii sygnału EKG matki przy pomiarze
EKG płodu
jako model predykcyjny sygnałów biologicznych do
wykrywania ich zaburze (np. detekcji stanu fibrylacji
komór serca
implantowane defibrylatory)
Filtry adaptacyjne s stosowane głównie do
filtracji sygnałów niestacjonarnych, np.:
33
U rednianie synchroniczne sygnału
Idea u redniania synchronicznego
Sygnały synchronizuj ce
34
U rednianie synchroniczne sygnału
x
1
x
2
x
3
x
N
……
=
=
N
n
n
N
1
1
ˆ
x
x
x^
35
Odchylenie standardowe sygnału:
σ
s
Odchylenie standardowe zakłócenia:
σ
n
Stosunek sygnału do zakłócenia:
Po N u rednieniach:
U rednianie synchroniczne sygnału
n
s
N
N
SNR
σ
σ
=
n
s
SNR
σ
σ
=
N
Zatem poprawa SNR po
N u rednieniach wynosi:
0
100
200
300
400
500
10
0
10
1
10
2
36
Zastosowania:
detekcja podszumowa sygnału tj. dla
σ
s
<<
σ
n
(zastosowania w telekomunikacji)
analiza elektrycznych potencjałów wywołanych
mózgu, tj. potencjałów generowanych w mózgu o
amplitudzie kilku mikrowoltów na skutek okresowego
pobudzenia bod cem: wietlnym (potencjały
wzrokowe), d wi kowym (potencjały słuchowe) lub
dotykowym (potencjały czuciowe)
U rednianie synchroniczne sygnału