05-01-21
Reinhard Kulessa
1
Wykład 27
11.12 Efekt Dopplera
11.12.1 Znaczenie ośrodka
11.12.2 Efekt Dopplera w relatywistyce
11.13 Prędkości naddźwiękowe
05-01-21
Reinhard Kulessa
1
Wykład 27
11.12 Efekt Dopplera
11.12.1 Znaczenie ośrodka
11.12.2 Efekt Dopplera w relatywistyce
11.13 Prędkości naddźwiękowe
05-01-21
Reinhard Kulessa
2
11.12 Efekt Dopplera
Jeżeli źródło emitujące falę oraz obserwator znajdują się
względem siebie w ruchu, obserwator zaobserwuje falę o
częstości zmienionej
ν
zm
w stosunki do częstości emitowanej
przez źródło
ν
z
. Taką zmianę częstości możemy często
zauważyć w ruchu ulicznym np. w czasie przejeżdżania obok
nas karetki na sygnale. Dla fal dźwiękowych efekt ten został
po raz pierwszy zauważony przez Christiana Dopplera 1842 r.
Doppler wynajął na dwa dni pociąg towarowy i grupę trębaczy z
wiedeńskiej orkiestry. Połowę muzyków umieścił w pociągu, a drugą na
stacji. Obydwie grupy trąbiły w tej samej tonacji. Muzycy byli oczywiście
w stanie określić wysokość słyszanego dźwięku.
05-01-21
Reinhard Kulessa
3
Przy obliczeniach różnicy częstości musimy rozróżnić
następujące przypadki;
ruch obserwatora
,
ruch źródła fal
,
oraz
równoczesny ruch źródła i obserwatora
.
Ruch oznacza tu w każdym przypadku ruch względem ośrodka
w którym rozchodzi się fala.
Przyjmijmy następujące oznaczenia,
u -- prędkość rozchodzenia się fali
v
zr
-- prędkość źródła,
v
ob
-- prędkość obserwatora,
f
0
--
częstość fali emitowanej przez źródło,
f
ob
-- częstość fali odbieranej przez obserwatora
λ
0
-- długość fali wysyłanej przez źródło
λ
ob
-- długość fali obserwowanej
Użyjmy dla częstości
oznaczenia f dla
lepszego odróżnienia
od prędkości v
05-01-21
Reinhard Kulessa
4
Rozważmy kilka przypadków:
I. v
zr
= 0, v
ob
≠
0
Fale będą dochodziły
do obserwatora z
prędkością równą
sumie prędkości
obserwatora i
prędkości fali. Czas
pomiędzy dwoma
kolejnymi
v
ob
wierzchołkami fal który zmierzy obserwator będzie równy;
0
ob
ob
T
u v
λ
=
+
.
05-01-21
Reinhard Kulessa
5
Częstość fali , którą odbiera obserwator wynosi więc;
0
0
1
ob
ob
ob
u v
v
f
f
u
λ
+
=
=
+
.
(11.34)
Wykorzystaliśmy tutaj zależność, że
λ
0
=u/f
0
.
Obserwatora, który oddala się od źródła zaobserwuje
częstość;
0
1
ob
ob
v
f
f
u
=
−
(11.35)
.
II. v
ob
= 0, v
zr
< 0, v
zr
> 0
W tym przypadku obserwator spoczywa, a źródło fal
przybliża się do, lub oddala się od obserwatora.
05-01-21
Reinhard Kulessa
6
λ
0
λ
ob
v
zr
T
zr
u
v
zr
O
Źródło porusza się z prędkością
v
zr
,emituje falę pierwotną o
częstości
f
0
, która porusza się z prędkością
u
.
Dwa wierzchołki fali są generowane w odstępie czasowym
T
0
=1/ f
0
.
W międzyczasie źródło przebywa drogę
T
0
v
zr
.
Odległość pomiędzy dwoma wierzchołkami będzie więc
0
(
)
zr
u v T
∓
.
05-01-21
Reinhard Kulessa
7
obserwatora będzie więc różnił się o .
0
zr
T
u v
u
∓
Czas pomiędzy dwoma wierzchołkami fali docierającymi do
Otrzymamy więc na częstość odbieraną przez obserwatora
wyrażenie;
0
0
1
1
ob
zr
zr
u
f
f
f
v
u v
u
=
=
∓
∓
.
(11.36)
- ruch w stronę obserwatora
+ ruch od obserwatora
05-01-21
Reinhard Kulessa
8
III. v
ob
≠
0, v
zr
≠
0
W tym przypadku mamy do czynienia z czterema
możliwościami. Załóżmy, że zarówno źródło fali, jak i obserwator
poruszają się w tum samym kierunku.
v
zr
v
ob
Możemy znaleźć częstość fal odbieranych przez obserwatora
bazując na dwóch już znanych przypadkach.
05-01-21
Reinhard Kulessa
9
Wskutek ruchu źródła długość emitowanej przez nie fali
zmienia się
0
0
zr
v T
λ
λ
′ =
−
.
ob
ob
u v
f
λ
−
=
′
Częstość fali widziana przez oddalającego się obserwatora
wynosi (patrz I);
.
długość zmieniona przez
ruch źródła
Otrzymamy więc;
0
0
0
0
0
1
ob
ob
ob
ob
zr
zr
zr
u v
u v
u v
f
v T
uT
v T
u v T
λ
−
−
−
=
=
=
−
−
−
.
Na obserwowaną w tym przypadku częstość otrzymujemy;
05-01-21
Reinhard Kulessa
10
0
ob
ob
zr
u v
f
f
u v
−
=
−
.
(11.37)
Poniższa tabela pokazuje wszystkie cztery możliwości.
0
ob
ob
zr
u
v
f
f
u
v
−
=
−
0
ob
ob
zr
u
v
f
f
u
v
+
=
−
0
ob
ob
zr
u
v
f
f
u
v
−
=
+
0
ob
ob
zr
u
v
f
f
u
v
−
=
−
źródło obserwator
05-01-21
Reinhard Kulessa
11
IV . Ruch pod kątem
Do tej pory rozważaliśmy przypadki, w których źródło fal i
obserwator poruszali się względem siebie po jednej prostej. Tak
jednak nie zawsze musi być.
v
zr
v
ob
θ
zr
θ
ob
W takim przypadku bierzemy składowe równoległe prędkości
do kierunku łączącego źródło z obserwatorem.
05-01-21
Reinhard Kulessa
12
0
cos
cos
ob
o
ob
zr
zr
u v
f
f
u v
θ
θ
−
=
−
(11.38)
.
11.12.1 Znaczenie ośrodka
Stwierdziliśmy w rozważanych przypadkach, że dla efektu
Dopplera istotne jest, czy porusza się źródło fal, czy
obserwator. Pamiętamy, że fale np.; głosowe rozchodzą się w
powietrzu. Powietrze to jest dla nas wzorcem względem
którego wyznaczamy prędkość źródła i obserwatora.
Jeżeli wieje wiatr, musimy to uwzględnić w naszych
rozważaniach.
Rozważmy przypadek ruchomego obserwatora i stałego
wiatru.
05-01-21
Reinhard Kulessa
13
źródło
obserwator
v
ob
Wiatr v
w
Na częstość fali którą zarejestruje obserwator uzyskamy
wartość;
0
ob
w
ob
w
u v
v
f
f
u v
−
+
=
+
(11.39)
.
05-01-21
Reinhard Kulessa
14
11.12.2 Efekt Dopplera w relatywistyce
Wiemy, że dla fal elektromagnetycznych wzory
(11.34), (11.35)
i
(11.36)
nie mogą być zastosowane. Dla fal
elektromagnetycznych nie istnieje ośrodek w którym
rozprzestrzenia się fala (brak „eteru”). Wobec tego przypadki
ruchomego źródła i ruchomego obserwatora są
nierozróżnialne. Wymienione równania muszą zostać
zastąpione przez wyrażenie, w którym wystąpi jedynie
względna prędkość pomiędzy źródłem a obserwatorem.
Rozpatrzmy następujący przykład.
Mamy źródło promieniowania elektromagnetycznego np.
nadajnik radarowy, który spoczywa w początku układu
współrzędnych
U
. Obserwator oddala się wzdłuż osi
x
z
prędkością
v
od tego źródła. Źródło, wysyła impulsy w
regularnych odstępach czasowych
τ
, które biegną z prędkością
światła
c
.
05-01-21
Reinhard Kulessa
15
x
t
Impuls 1
Impuls 2
(x
1
, t
1
)
(x
2
, t
2
)
x=c · t
x = c(t -
τ
)
x = x
0
+ v · t
t =
τ
Obserwator ruchomy
Źródło
w czasie t
O
x
0
Obserwator spoczywający w układzie
U
zaobserwuje impulsy
radarowe w odstępach czasowych
τ
.
Jaką częstość obserwuje poruszający się obserwator?
05-01-21
Reinhard Kulessa
16
Otóż;
A) Różnica czasu pomiędzy obserwacją dwóch impulsów
przez obserwatora w układzie
U
jest równa
t
2
– t
1
.
Z matematycznych warunków na punkty przecięcia
(x
1
, t
1
)
i
(x
2
, t
2
)
mamy;
1
1
0
1
0
1
2
2
0
2
0
2
(
)
(
)
(
)
x
c t
x
v t
x
c v t
x
c t
x
v t
x
c
c v t
τ
τ
= ⋅ =
+ ⋅
⇒
= − ⋅
= ⋅
− =
+ ⋅
⇒
+ ⋅ = − ⋅
.
Z równań tych otrzymujemy;
2
1
2
1
c
t
t
c v
v
x
x
c
c v
τ
τ
− =
−
− = ⋅
−
.
05-01-21
Reinhard Kulessa
17
B. Tę samą różnicę czasową obserwator w układzie
ruchomym
U’
zmierzy jako;
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
(
)
(
)
1
v
t
t
t t
x x
c
v
c
′ ′
− =
− −
−
−
.
Po wstawieniu wyliczonych powyżej wartości,
otrzymujemy;
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
(1
)
1
c
v
c v
t
t
c v c
c v
v
c
c
v
c v
c
v
c
τ
τ
τ
⋅
′
′
− =
−
−
−
−
=
−
−
−
.
05-01-21
Reinhard Kulessa
18
2
1
1
1
v
c
t
t
v
c
τ
+
′
′
−
=
−
Po krótkich przekształceniach otrzymujemy
.
Częstość, z którą ruchomy obserwator odbiera sygnały
jest równa;
2
1
1
1
1
1
v
c
v
t
t
c
ν
τ
−
′ =
=
′
′
+
−
,
czyli
1
1
v
c
v
c
ν
ν
−
′ =
+
.
(11.40)
05-01-21
Reinhard Kulessa
19
Rozważaliśmy szczególny przypadek efektu Dopplera, kiedy
obserwator odbiera falę ze źródła oddalającego się od niego wzdłuż osi
x
.
W ogólnym przypadku fala świetlna o częstości drgań
ν
’
wysłana ze źródła
O’
spoczywającego w układzie
U’
, który porusza się z prędkością
v
względem układu
U
wzdłuż osi
Ox
, może docierać do obserwatora
O
spoczywającego (w punkcie
P
) w układzie
U
pod kątem
α
względem
kierunku ruchu źródła
O’
.
Obserwator w punkcie
P
zmierzy następującą częstość
ν
’
fali świetlnej;
x
x’
y
y’
O
≡
O’
v
α
P
1
(1
cos )
ν
ν
γ
β
α
′
=
−
.
2
1 1
v c
β
γ
β
=
=
−
Prześledźmy krótko własności relatywistycznego przesunięcia
dopplerowskiego.
05-01-21
Reinhard Kulessa
20
1. Dla
α
= 0
0
źródło i obserwator zbliżają się do siebie. Częstość
obserwowanej fali ulega
przesunięciu ku fioletowi
.
2. Dla
α
=
π
źródło i obserwator oddalają się od siebie. Mamy wtedy do
czynienia z
przesunięciem ku czerwieni
.
3. Dla kątów
α
=
π
/2, 3
π
/2
mamy do czynienia z
poprzecznym
relatywistycznym efektem Dopplera
. Nie ma on odpowiednika w
mechanice klasycznej.
2
2 1 2
(1
)
v c
ν ν ′
= ⋅ −
.
1 2
1 (
)
1
1
1 (
)
v c
z
v c
ν
ν
+
′
=
− =
−
−
Zależność pomiędzy prędkością galaktyk
v
a ich odległością
r
jest następująca;
.
Przesunięcie ku czerwieni
widm odległych galaktyk definiujemy jako;
v H r
=
⋅
,
gdzie
H
jest
stałą Hubble’a
i
H
≤
(75 km/s)/Mpc, 1Mpc = 3.086·10
22
m.
2
2
(1
)
1
(1
)
1
z
v
c
z
+
−
=
⋅
+
+
Wiadomo również, że
.
05-01-21
Reinhard Kulessa
21
11.13 Prędkości naddźwiękowe
Powróćmy do rozchodzenia się dźwięku i zastanówmy się co
dzieje się gdy prędkość źródła dźwięku
v
zr
jest równa prędkości
dźwięku
u
. Powstaje wtedy fala uderzeniowa. Następuje
kumulacja energii na czole fali.
Natężenie rośnie do
∞
.
Czoło fali
v
zr
Przykład ---- lecący pocisk o
prędkości
v
zr
= 1.01 u
.
05-01-21
Reinhard Kulessa
22
F/A Hornet przekraczający
Barierę dźwięku
05-01-21
Reinhard Kulessa
23
Kiedy obiekt emitujący dźwięk ma prędkość większą od prędkości
rozchodzenia się dźwięku, płaskie czoło fali uderzeniowej zmienia
się w stożek. Również energia koncentruje się na powierzchni
Stożka.
Połowa kąta rozwarcia stożka
jest dana przez;
v
zr
v
zr
T
1
sin
zr
u
v
M
θ =
=
.
M jest nazwane liczbą Macha.
Świetlne fale uderzeniowe również
istnieją w ośrodkach o współczynniku
załamania
n >1
co zmniejsza
prędkość światła w stosunku do tej
w próżni.
Powstające świetlne fale uderzeniowe nazywamy
promieniowaniem Cerenkova
.