Przykłady na sprowadzanie równania różniczkowego cząstkowego drugiego rzędu do postaci kanonicznej

u

xx

+ 4 cos 2x u

xy

− 4 sin

2

2x u

yy

− 4 sin 2x u

y

= 0

Au

xx

+ Bu

xy

+ Cu

yy

+ . . . = 0

A = 1, B = 4 cos 2x, C = −4 sin

2

2x, ∆ = 16 cos

2

2x+16 sin

2

2x = 16 > 0, równanie jest wszędzie typu hiperbolicznego.

Równanie charakterystyczne: A dy

2

− B dy dx + C dx

2

= 0, tzn. dy

2

− 4 cos 2x dy dx − 4 sin

2

2x dx

2

= 0, czyli

 dy

dx



2

−

4 sin

2

2x

dy

dx

− 4 sin

2

2x = 0.

dy

dx

=

B ∓

√

∆

2A

=

4 cos 2x ∓ 4

2

= 2 cos 2x ∓ 2, stąd y = sin 2x ∓ 2x + C

∓

lub y − sin 2x ± 2x = C

∓

.

Wprowadzamy nowe zmienne ξ = y − sin 2x + 2x, η = y − sin 2x − 2x, wtedy otrzymamy postać kanoniczną typu

u

ξη

+ składniki niższych rzędów = 0, w szczególnych przypadkach gdy tych składników niższego rzędu nie będzie można

łatwo otrzymać wszystkie rozwiązania (choć w przypadku równań różniczkowych cząstkowych zwykle zależy nam nie na
tym aby otrzymać wszystkie rozwiązania, ale takie rozwiązanie które spełnia zadane warunki początkowe i brzegowe).

Ewentualnie, jeżeli okaże się że ułatwia (upraszcza) to dalsze rachunki, możemy wziąć sumę i różnicę lub połowę sumy

i różnicy tych zmiennych, wtedy postacią kanoniczną będzie u

ξξ

− u

ηη

+ składniki niższych rzędów = 0. (W przypadku

hiperbolicznym są możliwe dwie postaci kanoniczne.)

Idąc za tą pierwszą ze wspomnianych możliwości, dostajemy na podstawie wyprowadzonych już wzorów na pochodne

pierwszego i drugiego rzędu przy takim przekształceniu (a mianowicie:
u

x

= u

ξ

ξ

x

+ u

η

η

x

,

u

y

= u

ξ

ξ

y

+ u

η

η

y

u

xx

= u

ξξ

(ξ

x

)

2

+ 2u

ξη

ξ

x

η

x

+ u

ηη

(η

x

)

2

+ u

ξ

ξ

xx

+ u

η

η

xx

u

xy

= u

ξξ

ξ

x

ξ

y

+ u

ξη

(ξ

x

η

y

+ ξ

y

η

x

) + u

ηη

η

x

η

y

+ u

ξ

ξ

xy

+ u

η

η

xy

, u

yy

= u

ξξ

(ξ

y

)

2

+ 2u

ξη

ξ

y

η

y

+ u

ηη

(η

y

)

2

+ u

ξ

ξ

yy

+ u

η

η

yy

,

lub, w postaci jeszcze dogodniejszej do zastosowania:
u

x

= ξ

x

u

ξ

+ η

x

u

η

,

u

y

= ξ

y

u

ξ

+ η

y

u

η

,

u

xx

= (ξ

x

)

2

u

ξξ

+ 2ξ

x

η

x

u

ξη

+ (η

x

)

2

u

ηη

+ ξ

xx

u

ξ

+ η

xx

u

η

,

u

xy

= ξ

x

ξ

y

u

ξξ

+ (ξ

x

η

y

+ ξ

y

η

x

)u

ξη

+ η

x

η

y

u

ηη

+ ξ

xy

u

ξ

+ η

xy

u

η

,

u

yy

= (ξ

y

)

2

u

ξξ

+ 2ξ

y

η

y

u

ξη

+ (η

y

)

2

u

ηη

+ ξ

yy

u

ξ

+ η

yy

u

η

.

Tak więc w naszym przypadku

ξ

x

= 2 − 2 cos 2x, ξ

y

= 1, η

x

= −2 − 2 cos 2x, η

y

= 1,

ξ

xx

= 4 sin 2x, ξ

xy

= 0, ξ

yy

= 0, η

xx

= 4 sin 2x, η

xy

= 0, η

yy

= 0

i otrzymujemy
u

x

= (2 − 2 cos 2x)u

ξ

+ (−2 − 2 cos 2x)u

η

,

u

y

= u

ξ

+ u

η

,

u

xx

= (2 − 2 cos 2x)

2

u

ξξ

+ 2(4 cos

2

2x − 4)u

ξη

+ (2 + 2 cos 2x)

2

u

ηη

+ 4 sin 2x u

ξ

+ 4 sin 2x u

η

,

u

xy

= (2 − 2 cos 2x)u

ξξ

− 4 cos 2xu

ξη

+ (−2 − 2 cos 2x)u

ηη

,

u

yy

= u

ξξ

+ 2u

ξη

+ u

ηη

,

czyli
u

x

=

(2 − 2 cos 2x)u

ξ

+(−2 − 2 cos 2x)u

η

·0

u

y

=

u

ξ

+

u

η

·(−4 sin 2x)

u

xx

=(2 − 2 cos 2x)

2

u

ξξ

+2(4 cos

2

2x − 4)u

ξη

+ (2 + 2 cos 2x)

2

u

ηη

+

4 sin 2x u

ξ

+

4 sin 2x u

η

·1

u

xy

=(2 − 2 cos 2x) u

ξξ

−

4 cos 2x u

ξη

+(−2 − 2 cos 2x) u

ηη

·4 cos 2x

u

yy

=

1 u

ξξ

+

2 u

ξη

+

1 u

ηη

·(−4 sin

2

2x)

Po podstawieniu do równania,

przy u

ξξ

dostajemy współczynnik

4 − 8 cos 2x + 4 cos

2

2x + 8 cos 2x − 8 cos

2

2x − 4 sin

2

2x = 4 − 4 cos

2

2x − 4 sin

2

2x, czyli 0;

przy u

ξη

współczynnik

8 cos

2

2x − 8 − 16 cos

2

2x − 8 sin

2

2x = −8 − 8 cos

2

2x − 8 sin

2

2x, czyli − 16;

przy u

ηη

współczynnik

4 + 8 cos 2x + 4 cos

2

2x − 8 cos 2x − 8 cos

2

2x − 4 sin

2

2x = 4 − 4 cos

2

2x − 4 sin

2

2x, czyli 0;

przy u

ξ

współczynnik 4 sin 2x − 4 sin 2x, czyli 0;

przy u

η

współczynnik 4 sin 2x − 4 sin 2x, czyli 0.

Tak więc w nowych zmiennych równanie przybiera postać −16u

ξη

= 0, czyli u

ξη

= 0.

1

Jeżeli natomiast przyjąć ξ = y − sin 2x, η = 2x, to mamy

ξ

x

= −2 cos 2x, ξ

y

= 1, η

x

= 2, η

y

= 0

ξ

xx

= 4 sin 2x, ξ

xy

= 0, ξ

yy

= 0, η

xx

= 2, η

xy

= 0, η

yy

= 0.

Wtedy
u

x

= −2 cos 2xu

ξ

+ 2u

η

u

y

= u

ξ

u

xx

= 4 cos

2

2xu

ξξ

− 8 cos 2xu

ξη

+ 4u

ηη

+ 4 sin 2xu

ξ

u

xy

= −2 cos 2xu

ξξ

+ 2u

ξη

u

yy

= u

ξξ

.

Po podstawieniu do wyjściowego równania otrzymujemy

przy u

ξξ

współczynnik 4 cos

2

2x − 8 cos

2

2x − 4 sin

2

2x = −4 cos

2

2x − 4 sin

2

2x = −4;

przy u

ξη

współczynnik −8 cos 2x + 8 cos 2x = 0;

przy u

ηη

współczynnik 4;

przy u

ξ

współczynnik 4 sin 2x − 4 sin 2x = 0;

przy u

η

współczynnik 0.

A więc przy tym wyborze przejścia do nowych zmiennych, jako postać kanoniczną dostajemy

−4u

ξξ

+ 4u

ηη

= 0 lub równoważnie, u

ξξ

− u

ηη

= 0.

9y

4

u

xx

− 6y

2

u

xy

+ 2u

yy

− 6u

y

= 0, y 6= 0

A = 9y

4

, B = −6y

2

, C = 2

∆ = 36y

4

− 72y

4

= −36y

4

< 0, a więc dla y 6= 0 równanie jest typu eliptycznego.

√

∆ = ±6iy

2

Równanie charakterystyczne 9y

4

dy

2

+ 6y

2

dy dx + 2dx

2

= 0

dy

dx

=

−6y

2

∓ 6iy

2

18y

4

=

−1 ∓ i

3y

2

3y

2

dy = (−1 ∓ i)dx

y

3

= (−1 ∓ i)x + C

∓

y

3

+ (1 ± i)x + C

∓

ξ = y

3

+ x, η = x

ξ

x

= 1, ξ

y

= 3y

2

, η

x

= 1, η

y

= 0

ξ

xx

= 0, ξ

xy

= 0, ξ

yy

= 6y, η

x

x = 0, η

xy

= 0, η

yy

= 0

Wtedy
u

x

= u

ξ

+ u

η

,

u

y

= 3y

2

u

ξ

,

u

xx

= u

ξξ

+ 2u

ξη

+ u

ηη

,

u

xy

= 3y

2

u

ξξ

+ 3y

2

u

ξη

u

yy

= 9y

4

u

ξξ

+ 6yu

ξ

.

Równanie przybiera postać (9y

4

− 18y

4

+ 18y

4

)u

ξξ

+ (18y

4

− 18y

4

)u

ξη

+ 9y

4

u

ηη

+ (12y − 18y

2

)u

ξ

= 0, czyli 9y

4

u

ξξ

+

9y

4

u

ηη

+(12y −18y

2

)u

ξ

= 0. Po podzieleniu przez 3y: 3y

3

(u

ξξ

+u

ηη

)+2(2−3y)u

ξ

= 0. Ale u

3

= ξ −η, 2−3y = 2−3

3

√

ξ − η,

więc po podzieleniu przez 3(ξ − η) dostajemy

u

ξξ

+ u

ηη

+

2

3

2 − 3

3

√

ξ − η

ξ − η

= 0.

2

y

4

u

xx

+ 2xy

2

u

xy

+ x

2

u

yy

− y

2

u

y

= 0

∆ = 4x

2

y

4

− 4x

2

y

4

= 0, równanie jest typu parabolicznego wszędzie z wyjątkiem początku układu, gdzie A i B

jednocześnie się zerują.

Równanie charakterystyczne: y

4

dy

2

− 2xy

2

dy dx + x

2

dx

2

= 0, czyli y

4

 dy

dx



2

− 2xy

2

dy

dx

+ x

2

= 0,

dy

dx

=

x

y

2

.

y

2

dy = x dx,

1

3

y

3

=

1

2

x

2

+ C, 2y

3

− 3x

2

= e

C, ξ = 2y

3

− 3x

2

, η = x (łatwo sprawdzić że jakobian jest różny od zera).

ξ

x

= −6x, ξ

y

= 6y

2

, η

x

= 1, η

y

= 0

ξ

xx

= −6, ξ

xy

= 0, ξ

yy

= 12y, η

xx

= 0, η

xy

= 0, η

yy

= 0

u

x

= −6xu

ξ

+ u

η

,

u

y

= 6y

2

u

ξ

,

u

xx

= 36x

2

u

ξξ

− 12xu

ξη

+ u

ηη

− 6u

ξ

,

u

xy

= −36xy

2

u

ξξ

+ 6y

2

u

ξη

;

u

yy

= 36y

4

u

ξξ

.

Po podstawieniu do równania otrzymujemy (36x

2

y

4

− 72x

2

y

4

+ 36x

2

y

4

)u

ξξ

+ (−12xy

4

+ 12xy

4

)u

ξη

+ y

4

u

ηη

− 6y

4

u

ξ

= 0,

czyli u

ηη

− 6u

ξ

= 0.

e

2x

u

xx

+ 2e

x+y

u

xy

+ e

2y

u

yy

− x u = 0

A = e

2x

, B = 2e

x+y

, C = e

2y

∆ = 4e

2x+2y

− 4e

2x+2y

= 0, równanie paraboliczne wszędzie.

dy

dx

=

e

y

e

x

dy

e

y

=

dx
e

x

−e

−y

dy = −e

−x

dx

e

−y

= e

−x

+ C

ξ = e

−x

− e

−y

, η = x

ξ

x

= −e

−x

, ξ

y

= e

−y

, η

x

= 1, η

y

= 0,

ξ

xx

= e

−x

, ξ

xy

= 0, ξ

yy

= −e

−y

, η

xx

= η

xy

= η

yy

= 0

u

xx

= e

−2x

u

ξξ

− 2e

−x

u

ξη

+ u

ηη

+ e

−x

u

ξ

, ·e

2x

u

xy

= −e

−x

e

−y

u

ξξ

+ e

−y

u

ξη

, ·2e

x

e

y

u

yy

= e

−2y

u

ξξ

− e

−y

u

ξ

, ·e

2y

u = u, ·(−x)

(1 − 2 + 1)u

ξξ

+ (−2e

x

+ 2e

x

)u

ξη

+ u

ηη

+ (e

x

− e

y

)u

ξ

− x u = 0

u

ηη

+ (e

x

− e

y

)u

ξ

− x u = 0

e

x

= e

η

, e

−y

= e

−x

− ξ = e

−η

− ξ

e

y

=

1

e

−η

− ξ

=

e

η

1 − ξe

η

e

x

− e

y

= e

η

−

e

η

1 − ξe

η

=

e

η

− ξe

2η

− e

η

1 − ξe

η

= −

ξe

2η

1 − ξe

η

Postać kanoniczna:

u

ηη

−

ξe

2η

1 − ξe

η

u

ξ

− η u = 0.

3