UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH

Definicja

Układem równań różniczkowych rzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci:





































n

n

n

n

n

y

y

y

x

f

y

y

y

y

x

f

y

y

y

y

x

f

y

...,

,

,

,

...,

,

,

,

...,

,

,

,

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1





(1)

Definicja

Ciąg funkcji różniczkowalnych

   

 





x

y

x

y

x

y

n

...,

,

,

2

1

nazywamy rozwiązaniem na przedziale

 

b

a,

układu równań (1), jeżeli na tym przedziale zamienia wszystkie równania tego układu

w tożsamości:

 

   

 





 

   

 





 

   

 





























x

y

x

y

x

y

x

f

x

y

x

y

x

y

x

y

x

f

x

y

x

y

x

y

x

y

x

f

x

y

n

n

n

n

n

...,

,

,

,

...,

,

,

,

...,

,

,

,

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1





Definicja

Układ równań różniczkowych (1) oraz układ warunków

 

 

 

0

0

0

2

0

2

0

1

0

1

...,

,

,

n

n

y

x

y

y

x

y

y

x

y







(2)

nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego.

Definicja

Ciąg funkcji

   

 





x

y

x

y

x

y

n

...,

,

,

2

1

jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego (1-2),

jeżeli jest rozwiązaniem układu równań (1) na pewnym przedziale zawierającym punkt

0

x

i

spełnia warunki (2).

Definicja

Układ równań różniczkowych, który można zapisać w postaci

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

















































x

h

y

x

a

y

x

a

y

x

a

y

x

h

y

x

a

y

x

a

y

x

a

y

x

h

y

x

a

y

x

a

y

x

a

y

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

...

...

...

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

2

1

1

2

12

1

11

1













(3)

nazywamy układem równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego. Funkcje

 

x

a

ij

,

gdzie

n

j

i





,

1

, nazywamy współczynnikami, a funkcje

 

x

h

i

, gdzie

n

i





1

, wyrazami

wolnymi tego układu.

Definicja

Jeżeli w układzie liniowym (3) wszystkie wyrazy wolne są tożsamościowo równe zeru, to
układ taki nazywamy układem liniowym jednorodnym:

 

 

 

 

 

 

 

 

 











































n

nn

n

n

n

n

n

n

n

y

x

a

y

x

a

y

x

a

y

y

x

a

y

x

a

y

x

a

y

y

x

a

y

x

a

y

x

a

y

...

...

...

2

2

1

1

2

2

22

1

21

2

1

2

12

1

11

1











(4)

Definicja

Układ n rozwiązań

   

 





x

x

x

n

y

y

y







...,

,

,

2

1

układu jednorodnego (4) określonych na

przedziale

 

b

a,

nazywamy układem fundamentalnym tego układu na tym przedziale, jeżeli

dla każdego

 

b

a

x

,



spełniony jest warunek

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

x

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

n

nn

n

n

n

n

y

y

y





















2

1

2

1

2

22

21

1

12

11

0

det



























Niech

   

 





x

x

x

n

y

y

y







...,

,

,

2

1

będzie układem fundamentalnym układu jednorodnego (4).

Wtedy dla każdego rozwiązania

 

x

y



tego układu istnieją jednoznacznie określone stałe

rzeczywiste

n

C

C

C

...,

,

,

2

1

takie, że

 

 

 

 

x

C

x

C

x

C

x

y

n

n

y

y

y















...

2

2

1

1

Definicja

Jeżeli współczynniki układu jednorodnego równań różniczkowych liniowych (4) są liczbami,
to układ taki nazywamy układem równań różniczkowych liniowych o stałych
współczynnikach:











































n

nn

n

n

n

n

n

n

n

y

a

y

a

y

a

y

y

a

y

a

y

a

y

y

a

y

a

y

a

y

...

...

...

2

2

1

1

2

2

22

1

21

2

1

2

12

1

11

1











(5)

gdzie

R

a

ij



dla

n

j

i





,

1

.

S

CHEMAT ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH

JEDNORODNYCH O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH

Na wykładzie!!!

Definicja

Jeżeli w układzie równań różniczkowych liniowych (3) przynajmniej jeden wyraz wolny nie
jest funkcją tożsamościowo równą zeru, to układ taki nazywamy układem niejednorodnym
równań różniczkowych liniowych:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

















































x

h

y

x

a

y

x

a

y

x

a

y

x

h

y

x

a

y

x

a

y

x

a

y

x

h

y

x

a

y

x

a

y

x

a

y

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

...

...

...

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

2

1

1

2

12

1

11

1













(6)

Literatura

1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania
2. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część II