rown rozn rz n teoria

background image

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Definicja

Równanie, które można zapisać w postaci:

 

 

 

 

 

 

x

h

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

n

n

n

n

n

1

2

2

1

1

...

(1)

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu n. Funkcje

   

 

x

p

x

p

x

p

n

...,

,

,

2

1

nazywamy współczynnikami, a funkcję

 

x

h

wyrazem wolnym tego równania.

Definicja

Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym (1) wyraz wolny jest tożsamościowo równy zeru,
to równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym rzędu n

 

 

 

 

 

0

...

1

2

2

1

1

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

n

n

n

n

n

(2)

Definicja

Ciąg

   

 

x

y

x

y

x

y

n

...,

,

,

2

1

rozwiązań równania liniowego jednorodnego (1), określonych na

przedziale

 

b

a,

, nazywamy układem fundamentalnym tego równania na tym przedziale,

jeżeli dla każdego

 

b

a

x

,

spełniony jest warunek

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

det

1

1

2

1

1

2

1

2

1

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

n

n

n

n

n

n


Niech

   

 

x

y

x

y

x

y

n

...,

,

,

2

1

będzie układem fundamentalnym równania jednorodnego (2).

Wtedy dla każdego rozwiązania

 

x

y

tego równania istnieją jednoznacznie określone stałe

rzeczywiste

n

C

C

C

...,

,

,

2

1

takie, że

 

 

 

 

x

y

C

x

y

C

x

y

C

x

y

n

n

...

2

2

1

1

Definicja

Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym jednorodnym (2) jego współczynniki są liczbami,
to równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym rzędu n o stałych
współczynnikach

 

0

...

1

2

2

1

1

y

p

y

p

y

p

y

p

y

n

n

n

n

n

(3)

gdzie

R

p

p

p

n

...,

,

,

2

1

.

Definicja

Równanie postaci

0

...

1

2

2

1

1

n

n

n

n

n

p

r

p

r

p

r

p

r

nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego liniowego o stałych
współczynnikach
(3). Natomiast wielomian

 

n

n

n

n

n

p

r

p

r

p

r

p

r

r

w

1

2

2

1

1

...

nazywamy wielomianem charakterystycznym tego równania.



background image

U

KŁAD FUNDAMENTALNY RÓWNANIA

(3)

Niech

r

będzie pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania różniczkowego

liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach (3). Wówczas:

1) jeżeli

r

jest pierwiastkiem rzeczywistym i jednokrotnym, to funkcja

rx

e

jest rozwiązaniem równania (3)

2) jeżeli

r

jest k-krotnym pierwiastkiem rzeczywistym, to każda z funkcji

rx

k

rx

rx

e

x

xe

e

...,

,

,

jest rozwiązaniem równania (3)

3) jeżeli

i

r

i

i

r

, gdzie

0

są jednokrotnymi pierwiastkami

zespolonymi, to każda z funkcji

x

e

x

e

x

x

sin

,

cos

jest rozwiązaniem równania (3)

4) jeżeli

i

r

i

i

r

, gdzie

0

k-krotnymi pierwiastkami zespolonymi,

to każda z 2k funkcji

x

e

x

x

e

x

x

xe

x

xe

x

e

x

e

x

k

x

k

x

x

x

x

sin

,

cos

...,

,

sin

,

cos

,

sin

,

cos

1

1

jest rozwiązaniem równania (3)


Definicja

Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym (1) wyraz wolny nie jest funkcją tożsamościowo
równą zeru, to równanie takie nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym rzędu n

 

 

 

 

 

 

x

h

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

n

n

n

n

n

1

2

2

1

1

...

(4)


Niech

 

x

będzie dowolnym rozwiązaniem równania niejednorodnego (4) i niech

   

 

x

y

x

y

x

y

n

...,

,

,

2

1

będzie układem fundamentalnym równania jednorodnego (2). Wtedy

dla każdego rozwiązania

 

y x równania niejednorodnego istnieją jednoznacznie określone

stałe rzeczywiste

n

C

C

C

...,

,

,

2

1

takie, że

 

 

 

 

x

y

C

x

y

C

x

y

C

x

y

n

n

...

2

2

1

1

M

ETODA UZMIENNIANIA STAŁYCH

Jeżeli

   

 

x

y

x

y

x

y

n

...,

,

,

2

1

jest układem fundamentalnym równania liniowego jednorodnego

(2), to funkcja

 

   

   

   

x

y

x

C

x

y

x

C

x

y

x

C

x

n

n

...

2

2

1

1

gdzie

   

 

x

C

x

C

x

C

n

...,

,

,

2

1

jest dowolnym rozwiązaniem układu równań

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

h

x

C

x

C

x

C

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

n

n

n

n

n

n

n

0

0

2

1

1

1

2

1

1

2

1

2

1

jest rozwiązaniem równania niejednorodnego (4).

Definicja

Niech funkcja ma postać

 

x

l

l

l

l

k

k

k

k

e

x

b

x

b

x

b

x

b

x

a

x

a

x

a

x

a

x

h

sin

...

cos

...

0

1

1

1

0

1

1

1

gdzie

R

oraz

0

. Stałą kontrolną tej funkcji nazywamy liczbę zespoloną

i

background image

M

ETODA WSPÓŁCZYNNIKÓW NIEOZNACZONYCH

METODA PRZEWIDYWANIA

Niech prawa strona równania różniczkowego liniowego niejednorodnego o stałych
współczynnikach

 

 

 

 

 

 

x

h

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

n

n

n

n

n

1

2

2

1

1

...

ma postać

 

x

l

l

l

l

k

k

k

k

e

x

b

x

b

x

b

x

b

x

a

x

a

x

a

x

a

x

h

sin

...

cos

...

0

1

1

1

0

1

1

1

i niech

 

r

w

będzie wielomianem charakterystycznym tego równania, a

i

stałą

kontrolną funkcji

 

x

h

. Wówczas:

1) jeżeli

nie jest pierwiastkiem wielomianu

 

r

w

, to rozwiązanie równania ma postać

 

x

m

m

m

m

m

m

m

m

e

x

B

x

B

x

B

x

B

x

A

x

A

x

A

x

A

x

sin

...

cos

...

0

1

1

1

0

1

1

1

2) jeżeli

jest s-krotnym pierwiastkiem wielomianu

 

r

w

, to rozwiązanie równania ma

postać

 

x

m

m

m

m

m

m

m

m

s

e

x

B

x

B

x

B

x

B

x

A

x

A

x

A

x

A

x

x

sin

...

cos

...

0

1

1

1

0

1

1

1

gdzie

 

l

k

m

,

max

, a

m

m

B

B

B

A

A

A

,...,

,

,

,...,

,

1

0

1

0

są odpowiednio dobranymi współczynnikami

rzeczywistymi.

S

CHEMAT ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ LINIOWYCH RZĘDU N O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH

Na wykładzie!!!


Literatura

1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania
2. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część II


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
5 rown rozn rz 2, teoria
6 rown rozn rz n, teoria
4 rown rozn rz 1, teoria
4 rown rozn rz 1, zadania
7 uklady rown rozn , teoria
062 Sprowadzanie równ różn cząstk do postaci kanonicznej przykłady
7 uklady rown rozn , zadania
6 row rozn rz n, zadania
6 RZ teoria procentu Prezentacja
063 Sprowadzanie równ różn cząstk do postaci kanonicznej przykłady, nowa wersja
Równ różn rzędu 2 3 zadania, 1
062 Sprowadzanie równ różn cząstk do postaci kanonicznej przykłady
ortografia rz czy ż
teoria bledow 2

więcej podobnych podstron