RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Definicja

Równanie, które można zapisać w postaci:

 

 





 





 

 

 

x

h

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

n

n

n

n

n





















1

2

2

1

1

...

(1)

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu n. Funkcje

   

 

x

p

x

p

x

p

n

...,

,

,

2

1

nazywamy współczynnikami, a funkcję

 

x

h

wyrazem wolnym tego równania.

Definicja

Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym (1) wyraz wolny jest tożsamościowo równy zeru,
to równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym rzędu n

 

 





 





 

 

0

...

1

2

2

1

1





















y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

n

n

n

n

n

(2)

Definicja

Ciąg

   

 





x

y

x

y

x

y

n

...,

,

,

2

1

rozwiązań równania liniowego jednorodnego (1), określonych na

przedziale

 

b

a,

, nazywamy układem fundamentalnym tego równania na tym przedziale,

jeżeli dla każdego

 

b

a

x

,



spełniony jest warunek

 

 

 

 

 

 





 





 





 

0

det

1

1

2

1

1

2

1

2

1







































x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

n

n

n

n

n

n















Niech

   

 





x

y

x

y

x

y

n

...,

,

,

2

1

będzie układem fundamentalnym równania jednorodnego (2).

Wtedy dla każdego rozwiązania

 

x

y

tego równania istnieją jednoznacznie określone stałe

rzeczywiste

n

C

C

C

...,

,

,

2

1

takie, że

 

 

 

 

x

y

C

x

y

C

x

y

C

x

y

n

n









...

2

2

1

1

Definicja

Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym jednorodnym (2) jego współczynniki są liczbami,
to równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym rzędu n o stałych
współczynnikach

 









0

...

1

2

2

1

1





















y

p

y

p

y

p

y

p

y

n

n

n

n

n

(3)

gdzie

R

p

p

p

n



...,

,

,

2

1

.

Definicja

Równanie postaci

0

...

1

2

2

1

1



















n

n

n

n

n

p

r

p

r

p

r

p

r

nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego liniowego o stałych
współczynnikach (3). Natomiast wielomian

 

n

n

n

n

n

p

r

p

r

p

r

p

r

r

w



















1

2

2

1

1

...

nazywamy wielomianem charakterystycznym tego równania.

U

KŁAD FUNDAMENTALNY RÓWNANIA

(3)

Niech

r

będzie pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania różniczkowego

liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach (3). Wówczas:

1) jeżeli

r

jest pierwiastkiem rzeczywistym i jednokrotnym, to funkcja

rx

e

jest rozwiązaniem równania (3)

2) jeżeli

r

jest k-krotnym pierwiastkiem rzeczywistym, to każda z funkcji

rx

k

rx

rx

e

x

xe

e

...,

,

,

jest rozwiązaniem równania (3)

3) jeżeli

i

r









i

i

r









, gdzie

0





są jednokrotnymi pierwiastkami

zespolonymi, to każda z funkcji

x

e

x

e

x

x









sin

,

cos

jest rozwiązaniem równania (3)

4) jeżeli

i

r









i

i

r









, gdzie

0





są k-krotnymi pierwiastkami zespolonymi,

to każda z 2k funkcji

x

e

x

x

e

x

x

xe

x

xe

x

e

x

e

x

k

x

k

x

x

x

x

























sin

,

cos

...,

,

sin

,

cos

,

sin

,

cos

1

1





jest rozwiązaniem równania (3)

Definicja

Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym (1) wyraz wolny nie jest funkcją tożsamościowo
równą zeru, to równanie takie nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym rzędu n

 

 





 





 

 

 

x

h

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

n

n

n

n

n





















1

2

2

1

1

...

(4)

Niech

 

x



będzie dowolnym rozwiązaniem równania niejednorodnego (4) i niech

   

 





x

y

x

y

x

y

n

...,

,

,

2

1

będzie układem fundamentalnym równania jednorodnego (2). Wtedy

dla każdego rozwiązania

 

y x równania niejednorodnego istnieją jednoznacznie określone

stałe rzeczywiste

n

C

C

C

...,

,

,

2

1

takie, że

 

 

 

 

x

y

C

x

y

C

x

y

C

x

y

n

n









...

2

2

1

1

M

ETODA UZMIENNIANIA STAŁYCH

Jeżeli

   

 





x

y

x

y

x

y

n

...,

,

,

2

1

jest układem fundamentalnym równania liniowego jednorodnego

(2), to funkcja

 

   

   

   

x

y

x

C

x

y

x

C

x

y

x

C

x

n

n









...

2

2

1

1



gdzie

   

 





x

C

x

C

x

C

n

...,

,

,

2

1

jest dowolnym rozwiązaniem układu równań

 

 

 

 

 

 





 





 





 

 

 

 

 





























































































x

h

x

C

x

C

x

C

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

n

n

n

n

n

n

n



















0

0

2

1

1

1

2

1

1

2

1

2

1

jest rozwiązaniem równania niejednorodnego (4).

Definicja

Niech funkcja ma postać

 













x

l

l

l

l

k

k

k

k

e

x

b

x

b

x

b

x

b

x

a

x

a

x

a

x

a

x

h







sin

...

cos

...

0

1

1

1

0

1

1

1





























gdzie

R





oraz

0





. Stałą kontrolną tej funkcji nazywamy liczbę zespoloną

i











M

ETODA WSPÓŁCZYNNIKÓW NIEOZNACZONYCH

–

METODA PRZEWIDYWANIA

Niech prawa strona równania różniczkowego liniowego niejednorodnego o stałych
współczynnikach

 

 





 





 

 

 

x

h

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

n

n

n

n

n





















1

2

2

1

1

...

ma postać

 













x

l

l

l

l

k

k

k

k

e

x

b

x

b

x

b

x

b

x

a

x

a

x

a

x

a

x

h







sin

...

cos

...

0

1

1

1

0

1

1

1





























i niech

 

r

w

będzie wielomianem charakterystycznym tego równania, a

i











stałą

kontrolną funkcji

 

x

h

. Wówczas:

1) jeżeli



nie jest pierwiastkiem wielomianu

 

r

w

, to rozwiązanie równania ma postać

 













x

m

m

m

m

m

m

m

m

e

x

B

x

B

x

B

x

B

x

A

x

A

x

A

x

A

x









sin

...

cos

...

0

1

1

1

0

1

1

1





























2) jeżeli



jest s-krotnym pierwiastkiem wielomianu

 

r

w

, to rozwiązanie równania ma

postać

 













x

m

m

m

m

m

m

m

m

s

e

x

B

x

B

x

B

x

B

x

A

x

A

x

A

x

A

x

x









sin

...

cos

...

0

1

1

1

0

1

1

1





























gdzie

 

l

k

m

,

max



, a

m

m

B

B

B

A

A

A

,...,

,

,

,...,

,

1

0

1

0

są odpowiednio dobranymi współczynnikami

rzeczywistymi.

S

CHEMAT ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ LINIOWYCH RZĘDU N O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH

Na wykładzie!!!


Literatura

1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania
2. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część II