RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU DRUGIEGO 

 

 

Definicja 

Równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu nazywamy równanie postaci: 
 





0

,

,

,







y

y

y

x

F

  

(1) 

 

Definicja 

Funkcję 

 

x

y

y



 nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego (1) na przedziale 

 

b

a,

, 

jeżeli  na  tym  przedziale  jest  ona  dwukrotnie  różniczkowalna  i  zamienia  to  równanie 
w tożsamość: 

     





0

,

,

,







x

y

x

y

x

y

x

F

 

 

 

Definicja 

Równanie różniczkowe (1) oraz warunki 
 

 

 

1

0

0

0

,

y

x

y

y

x

y







  

(2) 

nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego. 

 

 

Definicja 

Równanie różniczkowe drugiego rzędu, które można zapisać w postaci 
 

 

 

 

x

h

y

x

q

y

x

p

y











  

(3) 

nazywamy równaniem liniowym. Funkcje 

   

x

q

x

p

,

 nazywamy współczynnikami, a funkcję 

 

x

h

 wyrazem wolnym tego równania. 

 

Definicja 

Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym (3) wyraz wolny jest tożsamościowo równy zeru, 
to równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym 
 

 

 

0

y

p x y

q x y











  

(4) 

 

Jeżeli  funkcje 

   

x

x





,

  są  rozwiązaniami  równania  liniowego  jednorodnego  (4)  to  dla 

dowolnych liczb rzeczywistych 





,

 funkcja 

 

 

 

x

x

x

y











 

jest także rozwiązaniem tego równania. 

 

Definicja 

Parę rozwiązań 

   





x

y

x

y

2

1

,

 równania liniowego jednorodnego (4), określoną na przedziale 

 

b

a,

,  nazywamy  układem  fundamentalnym  tego  równania  na  tym  przedziale,  jeżeli  dla 

każdego 

 

b

a

x

,



 spełniony jest warunek  

 

 

 

 

   

   

0

det

1

2

2

1

2

1

2

1



























x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

 

 

Powyższy wyznacznik nazywamy wrońskianem pary funkcji 

   





x

y

x

y

2

1

,

. 

 

Niech 

   





x

y

x

y

2

1

,

 będzie układem fundamentalnym równania jednorodnego (4). Wtedy dla 

każdego rozwiązania 

 

x

y

  tego  równania  istnieją  jednoznacznie  określone  stałe  rzeczywiste 

2

1

, C

C

 takie, że  

 

 

 

1 1

2

2

y x

C y x

C y

x





 

Liniową  kombinację  funkcji  układu  fundamentalnego  nazywamy  rozwiązaniem  ogólnym 
równania jednorodnego. 
 
 

Definicja 

Jeżeli  współczynniki  równania  różniczkowego  liniowego  jednorodnego  (4)  są  liczbami,  to 
równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym o stałych współczynnikach 
 

0











cy

y

b

y

  

(5) 

gdzie 

R

c

b



,

. 

 
 

Definicja 

Równanie postaci 

0

2







c

br

r

 

nazywamy  równaniem  charakterystycznym  równania  różniczkowego  liniowego  o  stałych 
współczynnikach (5). Natomiast wielomian 

 

c

br

r

r

w







2

 

nazywamy wielomianem charakterystycznym tego równania. 
 

U

KŁAD FUNDAMENTALNY 

–

 RZECZYWISTE RÓŻNE PIERWIASTKI

 

Jeżeli 

2

1

, r

r

  są  rzeczywistymi  i  różnymi  pierwiastkami  wielomianu  charakterystycznego 

równania różniczkowego (5), to układ fundamentalny tego równania tworzą funkcje: 

 

 

x

r

x

r

e

x

y

e

x

y

2

1

2

1

,





 

a rozwiązanie ogólne ma postać 

 

1

2

1

2

r x

r x

y x

C e

C e





 

gdzie 

2

1

, C

C

 oznaczają dowolne stałe rzeczywiste. 

 

U

KŁAD FUNDAMENTALNY 

–

 RZECZYWISTY PIERWIASTEK PODWÓJNY

 

Jeżeli 

0

r

  jest  rzeczywistym  podwójnym  pierwiastkiem  wielomianu  charakterystycznego 

równania różniczkowego (5), to układ fundamentalny tego równania tworzą funkcje: 

 

 

x

r

x

r

xe

x

y

e

x

y

0

0

2

1

,





 

a rozwiązanie ogólne ma postać 

 

0

0

1

2

r x

r x

y x

C e

C xe





 

gdzie 

2

1

, C

C

 oznaczają dowolne stałe rzeczywiste. 

 

U

KŁAD FUNDAMENTALNY 

–

 PIERWIASTKI ZESPOLONE

 

Jeżeli 

i

r

i

r

















2

1

,

,  gdzie 

0





,

  są  pierwiastkami  zespolonymi  wielomianu 

charakterystycznego  równania  różniczkowego  (5),  to  układ  fundamentalny  tego  równania 
tworzą funkcje: 

 

 

x

e

x

y

x

e

x

y

x

x









sin

,

cos

2

1





 

a rozwiązanie ogólne ma postać 

 

1

2

cos

sin

x

x

y x

C e

x C e

x













 

gdzie 

2

1

, C

C

 oznaczają dowolne stałe rzeczywiste. 

 

Definicja 

Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym (3) wyraz wolny nie jest funkcją tożsamościowo 
równą zeru, to równanie takie nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym 
 

 

 

 

x

h

y

x

q

y

x

p

y











  

(6) 

Jeżeli  funkcje 

   

,

x

x





  są  rozwiązaniami  równania  różniczkowego  liniowego 

niejednorodnego (6), to ich różnica  

 

 

x

x







 

jest rozwiązaniem równania różniczkowego liniowego jednorodnego (4). 
 
Niech 

 

x



  będzie  dowolnym  rozwiązaniem  równania  niejednorodnego  (6)  oraz  niech 

   





x

y

x

y

2

1

,

  będzie  układem  fundamentalnym  równania  jednorodnego  (4).  Wtedy  dla 

każdego rozwiązania 

 

y x  równania niejednorodnego istnieją jednoznacznie określone stałe 

rzeczywiste 

2

1

, C

C

 takie, że 

 

 

   

1 1

2

2

y x

C y x

C y

x

x









 

 
Sumę  rozwiązania  ogólnego  równania  jednorodnego  i  dowolnego  rozwiązania  równania 
niejednorodnego nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego. 
 
 

M

ETODA UZMIENNIANIA STAŁYCH

 

Jeżeli  para 

   





x

y

x

y

2

1

,

  jest  układem  fundamentalnym  równania  liniowego  jednorodnego 

(4), to funkcja  

 

   

   

1

1

2

2

x

C x y x

C

x y

x







 

gdzie 

 

 





1

2

,

C x

C

x

 jest dowolnym rozwiązaniem układu równań 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

1

2

2

0

y x

y

x

C x

h x

y x

y

x

C

x





 

 







 

 















 



 

jest rozwiązaniem równania niejednorodnego (6). 
 

S

CHEMAT ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ LINIOWYCH O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH

 

Na wykładzie!!! 
 
 

Literatura 

1.  M. Gewert, Z. Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania 
2.  W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część II