RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU DRUGIEGO

Definicja

Równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu nazywamy równanie postaci:





0

,

,

,







y

y

y

x

F

(1)

Definicja

Funkcję

 

x

y

y



nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego (1) na przedziale

 

b

a,

,

jeżeli na tym przedziale jest ona dwukrotnie różniczkowalna i zamienia to równanie
w tożsamość:

     





0

,

,

,







x

y

x

y

x

y

x

F

Definicja

Równanie różniczkowe (1) oraz warunki

 

 

1

0

0

0

,

y

x

y

y

x

y







(2)

nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego.

Definicja

Równanie różniczkowe drugiego rzędu, które można zapisać w postaci

 

 

 

x

h

y

x

q

y

x

p

y











(3)

nazywamy równaniem liniowym. Funkcje

   

x

q

x

p

,

nazywamy współczynnikami, a funkcję

 

x

h

wyrazem wolnym tego równania.

Definicja

Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym (3) wyraz wolny jest tożsamościowo równy zeru,
to równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym

 

 

0

y

p x y

q x y











(4)

Jeżeli funkcje

   

x

x





,

są rozwiązaniami równania liniowego jednorodnego (4) to dla

dowolnych liczb rzeczywistych





,

funkcja

 

 

 

x

x

x

y











jest także rozwiązaniem tego równania.

Definicja

Parę rozwiązań

   





x

y

x

y

2

1

,

równania liniowego jednorodnego (4), określoną na przedziale

 

b

a,

, nazywamy układem fundamentalnym tego równania na tym przedziale, jeżeli dla

każdego

 

b

a

x

,



spełniony jest warunek

 

 

 

 

   

   

0

det

1

2

2

1

2

1

2

1



























x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

Powyższy wyznacznik nazywamy wrońskianem pary funkcji

   





x

y

x

y

2

1

,

.

Niech

   





x

y

x

y

2

1

,

będzie układem fundamentalnym równania jednorodnego (4). Wtedy dla

każdego rozwiązania

 

x

y

tego równania istnieją jednoznacznie określone stałe rzeczywiste

2

1

, C

C

takie, że

 

 

 

1 1

2

2

y x

C y x

C y

x





Liniową kombinację funkcji układu fundamentalnego nazywamy rozwiązaniem ogólnym
równania jednorodnego.

Definicja

Jeżeli współczynniki równania różniczkowego liniowego jednorodnego (4) są liczbami, to
równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym o stałych współczynnikach

0











cy

y

b

y

(5)

gdzie

R

c

b



,

.

Definicja

Równanie postaci

0

2







c

br

r

nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego liniowego o stałych
współczynnikach (5). Natomiast wielomian

 

c

br

r

r

w







2

nazywamy wielomianem charakterystycznym tego równania.

U

KŁAD FUNDAMENTALNY

–

RZECZYWISTE RÓŻNE PIERWIASTKI

Jeżeli

2

1

, r

r

są rzeczywistymi i różnymi pierwiastkami wielomianu charakterystycznego

równania różniczkowego (5), to układ fundamentalny tego równania tworzą funkcje:

 

 

x

r

x

r

e

x

y

e

x

y

2

1

2

1

,





a rozwiązanie ogólne ma postać

 

1

2

1

2

r x

r x

y x

C e

C e





gdzie

2

1

, C

C

oznaczają dowolne stałe rzeczywiste.

U

KŁAD FUNDAMENTALNY

–

RZECZYWISTY PIERWIASTEK PODWÓJNY

Jeżeli

0

r

jest rzeczywistym podwójnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego

równania różniczkowego (5), to układ fundamentalny tego równania tworzą funkcje:

 

 

x

r

x

r

xe

x

y

e

x

y

0

0

2

1

,





a rozwiązanie ogólne ma postać

 

0

0

1

2

r x

r x

y x

C e

C xe





gdzie

2

1

, C

C

oznaczają dowolne stałe rzeczywiste.

U

KŁAD FUNDAMENTALNY

–

PIERWIASTKI ZESPOLONE

Jeżeli

i

r

i

r

















2

1

,

, gdzie

0





,

są pierwiastkami zespolonymi wielomianu

charakterystycznego równania różniczkowego (5), to układ fundamentalny tego równania
tworzą funkcje:

 

 

x

e

x

y

x

e

x

y

x

x









sin

,

cos

2

1





a rozwiązanie ogólne ma postać

 

1

2

cos

sin

x

x

y x

C e

x C e

x













gdzie

2

1

, C

C

oznaczają dowolne stałe rzeczywiste.

Definicja

Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym (3) wyraz wolny nie jest funkcją tożsamościowo
równą zeru, to równanie takie nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym

 

 

 

x

h

y

x

q

y

x

p

y











(6)

Jeżeli funkcje

   

,

x

x





są rozwiązaniami równania różniczkowego liniowego

niejednorodnego (6), to ich różnica

 

 

x

x







jest rozwiązaniem równania różniczkowego liniowego jednorodnego (4).

Niech

 

x



będzie dowolnym rozwiązaniem równania niejednorodnego (6) oraz niech

   





x

y

x

y

2

1

,

będzie układem fundamentalnym równania jednorodnego (4). Wtedy dla

każdego rozwiązania

 

y x równania niejednorodnego istnieją jednoznacznie określone stałe

rzeczywiste

2

1

, C

C

takie, że

 

 

   

1 1

2

2

y x

C y x

C y

x

x









Sumę rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i dowolnego rozwiązania równania
niejednorodnego nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego.

M

ETODA UZMIENNIANIA STAŁYCH

Jeżeli para

   





x

y

x

y

2

1

,

jest układem fundamentalnym równania liniowego jednorodnego

(4), to funkcja

 

   

   

1

1

2

2

x

C x y x

C

x y

x







gdzie

 

 





1

2

,

C x

C

x

jest dowolnym rozwiązaniem układu równań

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

1

2

2

0

y x

y

x

C x

h x

y x

y

x

C

x





 

 







 

 















 



jest rozwiązaniem równania niejednorodnego (6).

S

CHEMAT ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ LINIOWYCH O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH

Na wykładzie!!!

Literatura

1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania
2. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część II