Egzamin
rok 2012/2013
Zadanie 2 :
Obliczyć masę łuku L: {x(t) =
e
t
, y(t) =
e
t
, z(t) = t,
t∈[0,1]
}, jeżeli ρ(x,y,z) = xy.
Rozwiązanie:
Masa łuku wyraża się wzorem:
M =
∫
L
ρ
(x , y , z)dl
Gdzie ρ(x,y,z) jest dana ciągłą gęstością liniową masy łuku gładkiego
L∈ℝ
3
Naszą krzywą można zapisać:
⃗
γ
(t)=[e
t
, e
t
, t ]
t∈[0,1]
Obliczamy pierwszą pochodną krzywej oraz jej długość:
⃗
γ
' (t )=[e
t
,e
t
,1]
∣⃗
γ
' (t )∣=
√
e
2t
+e
2t
+1=
√
2⋅e
2t
+1
Obliczamy całkę:
M=
∫
L
ρ
(x , y , z)dl=
∫
0
1
ρ
( x(t) , y(t ), z(t ))⋅∣⃗
γ
' ( t )∣dt =
∫
0
1
e
t
⋅e
t
⋅
√
2⋅e
t
+1 dt =
∫
0
1
e
2t
⋅
√
2⋅e
2t
+1 dt
=
Stosujemy podstawienie:
u=
2⋅e
2t
+1
du=
4⋅e
2t
+1dt
Zmieniamy granice całkowania:
t
0
1
u
3
2⋅e
2
+1
Kontynuujemy liczenie całki:
=
1
4
⋅
∫
3
e
3
+1
√
u du=[
1
4
⋅2
3
⋅u
3/ 2
]
3
e
2
+1
=1
6
⋅
√
(2⋅e
2
+1)
3
− 1
6
⋅
√
3
3
= 1
6
(
√
(2⋅e
2
+1)
3
−3⋅
√
3)
Odpowiedź:
Masa
łuku przy danej gęstości wynosi:
1
6
⋅(
√
(2⋅e
2
+1)−3⋅
√
3)
Autor:
Agnieszka Rapczyńska
grupa:
9