Kolokwium I 

 

 

 

 

 

 

 

 

rok 2012/2013

 

 

 

Zadanie 2: 

Obliczyć 

 , gdzie L jest okręgiem o równaniu 

 

 

 
Rozwiązanie: 

 



 

Sprowadzamy równanie okręgu do postaci: 

 



 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy: 

 

        

Otrzymujemy w ten sposób równanie okręgu o środku w punkcie S(1,0) i promieniu r=1 



 

Parametryzujemy równanie okręgu: 

 

 

 

 

 



 

Obliczamy pierwszą pochodną parametryzacji i obliczamy jej długość: 

 

 



 

Obliczamy całkę 

 

Wyrażenie podcałkowe mnożymy przez 

 

 

Dla 

 sinus przyjmuje wartości nieujemne, a dla 

 niedodatnie, więc rozkładamy całkę na 

dwie: 

 

Stosujemy podstawienie: 

 

 

I zmieniamy granice całkowania: 

t 

0 

 

 

u 

0 

2 

0 

 

 

W drugiej całce odwracamy granice całkowania dodając przed nią znak ‘-‘ 

 

= 8 

Odpowiedź: 

Dla danego łuku 

. 

 

Autor: 

Agnieszka Rapczyńska,  grupa 9 

 

22.10.2012