Egzamin
rok 2012/2013
Zadanie 3:
Dany jest szereg potęgowy
0
3
1
6
3
1
n
n
n
n
x
. Wyznaczyć promień zbieżności, przedział
zbieżności, zbadać zbieżność (i określić jej rodzaj) w prawym końcu przedziału zbieżności.
Rozwiązanie:
Szeregi
potęgowe mają postać:
n
n
n
x
x
a
0
Badanie zbieżności szeregu potęgowego z definicji:
1
)
(
lim
lub
1
)
(
lim
0
0
1
0
1
x
g
x
x
a
x
g
x
x
a
x
x
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
)
(
1
x
g
Rozw
iązanie powyższej nierówności ukazuje przedział zbieżności, której rodzaj później badamy.
0
x
-
środek szukanego przedziału zbieżności
1) Wyznaczenie
promienia zbieżności i przedziału zbieżności szeregu potęgowego (z definicji).
2
0
x
1
3
6
2
1
1
1
3
6
lim
2
1
3
6
lim
2
1
6
3
1
lim
1
6
3
1
2
6
3
1
lim
lim
3
3
3
3
3
3
1
1
1
x
n
n
n
n
x
n
n
x
n
n
x
x
n
n
x
x
f
x
f
g
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
3
1
)
2
3
7
:
(lub
3
5
2
R
-
promień zbieżności
3
5
3
7
5
3
7
1
3
6
1
1
3
6
x
x
x
x
zbieżny bezwzg.
rozbieżny
rozbieżny
3
5
3
7
2
Przedział zbieżności
Szereg jest bezwzględnie zbieżny dla
3
7
;
3
5
x
.
2)
Badanie zbieżności (i określenie jej rodzaju) w prawym końcu przedziału zbieżności.
3
7
x
-
prawy koniec przedziału zbieżności
0
0
0
3
3
3
1
1
1
1
1
1
6
3
7
3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Powstał szereg naprzemienny :
1
1
n
n
n
a
Konieczne jest sprawdzenie kryterium Leibniza:
Jeżeli w szeregu naprzemiennym ciąg
n
a
jest
ciągiem malejącym, zbieżnym do 0 i większym od 0, to szereg ten (
1
1
n
n
n
a
) jest
zbieżny.
Sprawdzenie warunków powyższego kryterium:
3
1
1
n
a
n
jest ciągiem malejącym bo dzielimy ciąg stały (1) przez ciąg rosnący (
3
1
n
),
0
1
1
lim
3
n
n
i
0
1
1
3
n
a
n
a zatem wszystkie warunki zbieżności wg kryterium Leibniza zostały spełnione (szereg jest zbieżny).
Badamy rodzaj zbieżności (korzystamy z kryterium porównawczego):
3
3
3
1
1
1
2
1
n
n
n
n
Jest to szereg harmoniczny Dirichleta
1
1
2
1
n
n
rzędu
1
3
1
-
z tej nierówności wynika, że badany
szereg jest rozbieżny, a to znaczy że
0
3
1
1
n
n
n
również jest rozbieżny (kryterium porównawcze).
Ostatecznie ze względu na powyższą rozbieżność szereg
0
3
1
6
3
1
n
n
n
n
x
jest warunkowo zbieżny w
3
7
x
.
Odpowiedź:
Promień zbieżności:
3
1
R
, przedział zbieżności:
3
7
;
3
5
x
. W prawym końcu przedziału
zbieżności szereg jest warunkowo zbieżny.
Autor:
Agata Czarnecka
grupa
2
12.01.2014