Kolokwium I 

 

 

 

 

 

 

 

 

rok 2012/2013

 

 

 

Zadanie 3:  

a) Sformułować twierdzenie Greena. 
b) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć 





L

xdy

ydx

2

, gdzie łuk L jest brzegiem kwadratu o 

wierzchołkach 0(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1) zorientowanym ujemnie względem swego wnętrza.  

 
Rozwiązanie: 

 

a) 

Twierdzenie Greena 

Jeżeli funkcje P i Q są klasy 

1

C

wewnątrz obszaru domkniętego 

2

R

D



, normalnego względem obu 

osi układu współrzędnych, brzeg L obszaru D jest łukiem zorientowanym dodatnio a pole wektorowe 

]

,

[

Q

P

F



jest różniczkowalne w sposób ciągły na D to: 



















L

D

dxdy

y

P

x

Q

Qdy

Pdx

)

(

 

 

b) 

 

1) 

Rysujemy kwadrat o podanych wierzchołkach 

 

 

2) 

Określamy przedziały w jakich znajdują się x i y 

 















1

0

1

0

:

y

x

D

 

 

3)  Korzystamy ze wzoru z twierdzeniu Greena 



















L

D

dxdy

y

P

x

Q

Qdy

Pdx

)

(

 ; gdzie P=y, Q=2x 

– funkcje te są różniczkowalne w sposób ciągły 

w obszarze D 

4)  Obliczamy pochodne z P i Q potrzebne do wzoru:

 

2







x

Q

  ; 

1







y

P

 

 

5)  Podstawiamy dane do wzoru z twierdzenia Gr

eena i obliczamy całkę podwójną – minus w drugim kroku 

wynika z ujemnej orientacji brzegu kwadratu: 



 































L

x

dx

dx

y

dy

dx

xdy

ydx

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

|

|

)

1

2

(

2

 

 

 

Odpowiedź: 

1

2











L

xdy

ydx

 

Autor: Anna B.  grupa 2 

 

18.10.2013