FUNKCJE ZESPOLONE CWICZENIA 4 – Szeregi liczbowe o wyrazach zespolonych



ZAD.1
Zbadać zbieżność szeregów ( odpowiedź uzasadnić) :

1.

∑

∑

∞

=

∞

=













+

1

1

2

,

2

1

,

n

n

n

i

n

i

n

e

π

∑

∑

∞

=

∞

=

+

−

+

1

1

4

1

)

5

(

!

)

2

3

(

,

n

n

n

i

i

n

i

n

e

,

2.

∑

∑

∞

=

∞

=













+

+

+

0

1

2

2

,

1

1

,

1

n

n

i

n

i

n

n

e

απ

ZAD.2
Zbadać zbieżność bezwzględną szeregów ( odpowiedź uzasadnić) :

a)

∑

∑

∞

=

∞

=

+

1

1

5

3

)

2

(

,

n

n

n

n

i

i

n

e

π

,

∑

∑

∞

=

∞

=

1

1

,

2

n

n

n

i

i

n

e

π

,

∑

∞

=













−

+

1

2

3

)

1

(

1

n

n

n

i

n

,

b)

∑

∑

∞

=

∞

=

+

1

1

3

3

10

)

3

1

(

,

6

n

n

n

ni

n

i

e

,

∑

∑

∞

=

∞

=

+

1

1

!

)

1

(

,

)!

2

(

n

n

n

i

n

i

n

e

π

,

∑

∑

∞

=

∞

=

+

0

0

1

2

,

2

n

n

in

n

ni

e

n

in

e

α

π

,

c)

∑

∑

∞

=

∞

=

−

1

1

2

)

3

(

,

n

n

n

i

i

ni

n

e

,

∑

∑

∞

=

∞

=

+

+

1

1

2

)

1

(

sin

,

)

6

(

n

n

n

n

i

n

n

i

e

π

,

∑

∑

∞

=

∞

=

1

1

)

(

,

2

2

n

n

n

n

in

ni

n

e

,

ZAD.3
Zbadać zbieżność bezwzględną szeregu oraz obliczyć jego sumę ( odpowiedź uzasadnić) :

a)

∑

∞

=













+

1

2

1

n

n

i

,

∑

∞

=

+

1

)

6

(

n

n

i

e

π

b)

∑

∞

=

0

3

6

n

n

ni

e

,

∑

∞

=













+

0

2

1

n

n

i

c)

∑

∞

=

1

cos

n

n

nt

r

,

∑

∞

=

1

sin

n

n

nt

r

d)

∑

∞

=

























+

1

3

2

cos

2

4

sin

n

n

n

n

i

n

π

π

ZAD.4

Znaleźć sumę częściową i zbadać zbieżność szeregu

∑

∞

=

+

+

+

1

)

1

)(

(

1

n

i

n

i

n

.

ZAD.5
Wykazać, że jeżeli szereg o wyrazach zespolonych jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny.


ZAD.6

Pokazać, że szereg geometryczny

∑

∞

=

1

n

n

z jest bezwzględnie zbieżny dla

1

<

z

, wyznaczyć sumę tego szeregu.