Funkcje zespolone

Parametryczne postacie zespolone:

a) prostej przechodzącej przez punkt o kierunku : dla b) odcinka o końcach i : dla

c) okręgu o środku w punkcie i promieniu : dla d) stycznej do krzywej dla w punkcie: dla . Całka funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej dla a) gdy funkcje isą całkowalne w przedziale ,to ; b)gdyjest funkcją pierwotną funkcji ciągłejdla ,to Funkcje zespolone zmiennej zespolonej: a) funkcja liniowa dla ; b) inwersja dla ; c) wielomian m-tego stopnia dla ; d) funkcja wymierna gdziei wielomiany stopnia m i n; e) funkcja wykładniczadla c) funkcje trygonometryczne:; ; d)logarytm główny: dla i ; h ) pierwiastek stopnia główny dla .

Pochodna funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej

a) Jeśli funkcja zespolona ma pochodną w punkcie , to część rzeczywista i urojona funkcji ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w punkcie spełniające warunki Cauchyego-Riemanna b) Jeśli pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji isą ciągłe w punkcie i spełniają w nim warunki Cauchyego-Riemanna, to funkcja ma w punkcie pochodną oraz . Całka funkcji zespolonej zmiennej zespolonej po łuku regularnym a)Gdy funkcjajest ciągła na łuku regularnym zorientowanym o opisie parametrycznym dlazgodnym z orientacją, to b) Gdy funkcja zespolona ma funkcję pierwotną w obszarze ,to całka po dowolnym łuku wyraża się wzorem c) Jeśli funkcja jest holomorficzna w obszarze jednospójnym i krzywa regularna Jordana jest brzegiem obszaru , to. d) Jeśli brzegiem obszaru ograniczonegojest krzywa regularna Jordana i funkcja jest holomorficzna w obszarze , to zachodzą wzory całkowe Cauchyego oraz dla i Punkty osobliwe funkcji zespolonej

Punkt nazywamy punktem osobliwym funkcji gdy funkcja jest holomorficzna w sąsiedztwie tego punku.

Jeśli funkcja jest holomorficzna w sąsiedztwie tego punku, to można ją przedstawić w tym

sąsiedztwie w postaci szeregu Laurenta (części regularnej i części osobliwej)

; gdzie dla

Klasyfikacja punktów osobliwych. Punkt osobliwy funkcji nazywamy

a) pozornie osobliwym funkcjigdy część osobliwa szeregu Laurenta jest równa zeru, a więc dla b) biegunem k-krotnym gdy część osobliwa szeregu Laurenta zawiera skończoną liczbę składników, a więc i dla

c) istotnie osobliwymgdy część osobliwa szeregu Laurenta zawiera nieskończoną liczbę składników.

Twierdzenie. Punkt osobliwy funkcji jest

a) pozornie osobliwy funkcji gdy granica jest właściwa b) biegunem k-krotnym gdy granica i c) istotnie osobliwym gdy granica nie istnieje.

Residuum funkcji w punkcie osobliwym nazywamy liczbę

dla Twierdzenie (obliczanie residuum) Jeśli punkt osobliwy funkcji jest

a) pozornie osobliwym, to b) biegunem jednokrotnym, to c) biegunem k-krotnym, to d) ) istotnie osobliwym, to Twierdzenie (o residuach) ) Jeśli brzegiem obszaru ograniczonegojest krzywa regularna Jordana i funkcja jest holomorficzna w obszarze , dla to zachodzi wzór 1. Na płaszczyźnie zespolonej C naszkicować krzywą : a) dla b) dla c) dla d)

2.Znależć parametryczną postać zespoloną:

a) odcinka łączącego punkty i ; b) okręgu o środku i promieniu ; c) paraboli zawartej między punktami i ; d) stycznej do krzywej dla ; e) stycznej do krzywej dla . 3) Obliczyć całki funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej

a) b) c)

4. Obliczyć a) b) c) d) 5. Wyznaczyć część rzeczywista i część urojoną funkcji zespolonej a) ; b) ; c) d) 6. Wyznaczyć obszary holomorficzności funkcji zespolonej: a) ; b) ; c) d) e) ; f) ; g) ; 7. Znaleźć funkcję holomorficzną wiedząc, że a); b); c); d)8.Obliczyć podane całki po zadanych łukach regularnych: a) gdzie odcinek o początku i końcu ; b) gdzie półokrąg o początku i końcu ; c) gdzie łuk paraboli o początku i końcu d) gdzie dowolny łuk o początku i końcu ; e) gdzie dowolny łuk o początku i końcu ; f) gdzie dowolny łuk o początku i końcu ;

9. Wyznaczyć punkty osobliwe funkcji zespolonej oraz określić ich rodzaj. W przypadku biegunów określić ich krotność:

a) ; b) ; c) ; d).

10.Stosując wzór całkowy Cauchyego lub obliczyć całkę

a) gdzie okrąg zorientowany dodatnio względem wnętrza. b) gdzie trójkąt o wierzchołkach zorientowany dodatnio. c) gdzie okrąg zorientowany dodatnio względem wnętrza. d) gdzie okrąg zorientowany dodatnio względem wnętrza

11. Wyznaczyć residua funkcji w punktach osobliwych:

a) ; b) ; c) ; d).

12.Korzystając twierdzenia całkowego o residuach obliczyć całki: a) gdzie okrąg zorientowany dodatnio względem wnętrza. b) gdzie okrąg zorientowany dodatnio c) gdzie okrąg zorientowany dodatnio względem wnętrza. d) gdzie okrąg zorientowany dodatnio względem wnętrza

13.Zastosować twierdzenie całkowe o residuach do obliczenia całki niewłaściwej a) ; b) ; c); d)

Przekształcenie Laplacea a) dla; b) na każdym przedziale dla funkcja ma skończoną liczbę punktów Df. Oryginałem Laplacea nazywamy funkcję zespoloną zmiennej rzeczywistej dlataką, że nieciągłości pierwszego rodzaju; c) funkcja jest rzędu wykładniczegoco oznacza, że istnieją stałe i takie dla. Df. Prostą transformatą Laplacea funkcji oryginalnej rzędu wykładniczego nazywamy funkcję zespoloną dla Można wykazać, że funkcja ta jest holomorficzna. Funkcję postaci nazywamy funkcją jednostkową (Hevisidea) jest to funkcja oryginalna rzędu wykładniczego i jej transformata wynosi . Tabela podstawowych transformat funkcji oryginalnych takich, że dla

Własności transformaty Laplacea. Dla dowolnych funkcji oryginalnych izachodzą wzory; 1) dla (liniowość) 2) dla (zmiana skali) 3) dla (przesunięcie argumentów oryginału) 4) dla (przesunięcie argumentów transformaty)

5) dla (pochodne transformaty) 6) (transformata całki) 7) dla (transformata pochodnej oryginału) przy czym funkcje dla są oryginałami Laplacea

Df. Splotem funkcji oryginalnychi nazywamy funkcję oryginalną określoną wzorem dla Tw. Borela: Jeśli funkcjeisą oryginałami Laplacea to Df. Transformatą odwrotną funkcji zespolonej holomorficznej , która jest transformatą prostą funkcji oryginalnej rzędu wykładniczego nazywamy funkcję określoną wzorem dla Odwrotna transformata Laplacea jest operatorem liniowym co oznacza, że dla gdyiistnieją. Metody wyznaczania transformaty odwrotnej: a) Metoda rozkładu na ułamki proste. Gdy funkcja zespolona jest funkcją wymierną właściwą dla gdzie wielomiany isą wielomianami stopnia i o współczynnikach rzeczywistych oraz pierwiastki zespolone wielomianu są pojedyncze, to transformatę odwrotną funkcjiłatwo odczytać z rozkładu tej funkcji na ułamki proste. b) Z twierdzenia Borela. Gdy funkcje imają transformaty odwrotne, to c) Z twierdzenia o residuach. Jeśli funkcja jest transformatą oryginału oraz jest holomorficzna w płaszczyźnie zespolonej z wyjątkiem skończonej liczby punktów osobliwychoraz , to . 1.Znając transformatę funkcji jednostkowej znaleźć transformaty funkcji oryginalnych a) Odp: ; b) Odp: c) Odp: d) Odp:

e) Odp: f) Odp: 2. Obliczyć sploty funkcji oryginalnych a) Odp: ; b) Odp: c) Odp: d) Odp: Sprawdzić twierdzenie Borela o splocie dla tych funkcji 3.Metodą rozkładu na ułamki proste wyznaczyć transformaty odwrotne funkcji a) Odp: b) Odp: c) Odp: 4.Metodą residuów wyznaczyć transformaty odwrotne funkcji a) Odp: b) Odp: c) Odp: 5.Korzystając z twierdzenia Borela o splocie wyznaczyć transformaty odwrotne funkcji a) Odp: b) Odp: c) Odp: 6.Metodą transformaty Laplacea rozwiązać równanie różniczkowe a) WP: i Odp: b) WP: i Odp: c) WP: i Odp: d) WP: i O: e) WP: i Odp: f) WP: Odp: