1

1

3

8 II 1999

1. Dane są macierze

1

3

7

4 8 7

2

4

5

3 5 2

2

1

2

1 2 9

Obliczyć wyznacznik macierzy

2. W przestrzeni

znaleźć wektor taki że

[1, 2,3], [1,0, 2]

oraz

3

3. Policz

A

B

C

A B

w

w

v

w

u

w

−

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

−

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎣

⎦

⎣

⎦

= ⋅

⊥ =

⊥ =

−

=

\

0

3

2 2

z definicji pochodną fukncji w punkcie

( )

4. Obliczyć calkę

(1

)

5. Obliczyć dlugosć luku krzywej

1

1

( ) 2 ln

4

, 0

2

1

x

f x

x

x

dx

x

x

g x

x

x

x

=

−

+

+

=

−

≤ ≤

−

∫

4

2

1 II 1999

1. Rozwiązać równanie w dziedzinie liczb zespolonych

(z

81)(

3

2) 0

2. Zbadać warunki rozwiązalnosci ukladu równań

3

2

5

8

9

3

2

1

, - parametry

3. Zbadać przebieg zmienno

z

x

x

y

z

b

x

y

z

x

y

az

a b

+

−

+

=

−

+ =

⎧

⎪ − + =

⎨

⎪

+ +

= −

⎩

2

2

1

3

5

1

sci funkcji i narysować

jej wykres ( )

2

4. Oblicz calki

2

5

,

4cos

3sin

2

1

5. Obliczyć calke o ile istnieje

f x

x

arctgx

dx

x

x

dx

x

x

x

x

x

dx

x

−

= −

− −

+

−

−

∫

∫

∫

4

1 II 2000

1. Oblicz 2 2 3

2. Wektor

(2, 2,3) przedstawić w postaci sumy

dwóch wektorów, z którychjeden jest równolegly,

a drugi prostopadly do wektora

( 1,0, 2)

3. Rozwiązać uklad równań w zależnosci

i

a

b

−

=

−

= −

0

3

2

3

3

od parametrów

a i b

3

2

5

8

9

3

2

1

4. Oblicz z definicji pochodną funkcji w punkcie x

( )

1

cos

5. Oblicz calkę

sin

cos

x

y

z

b

x

y

z

x

y

az

f x

x

x

dx

x

x

−

+ =

⎧

⎪ − + =

⎨

⎪

+ +

= −

⎩

=

+

−

∫

2

2

2

9 II 2000

1. Obliczyć 3 4

2. Na elipsie 9x

25

400 znaleźć punkty, dla których

odleglosć od ogniskaF ( ,0) c>0 jest cztery razy większa od
odleglosci od drugiego ogniska

3. Dane są macierze. Oblicz wy

i

y

c

−

+

=

1

0

2

2

znacznik det(A

)

2

1 1

1 2

3

1

3

1

2 1

1

2

1

2

4 6

3

4. Policzyć z definicji '( )

( )

4

1

5. Policzyć calkę

2

1

B

A

B

f x

f x

ctg

x

x

dx

x

x

−

⋅

−

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

=

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

=

+

+

−

∫

2

6

1

31 I 2002

1. Obliczyć 64

2. Obliczyć det(

)

1

3

2

1

2

2

2

1 3

2

1

3

3

5 4

3

4

2

3. Wektor

(2, 2,3) przedstawić w postaci sumy

dwóch wektorów, z których jeden jest równolegly

a drugi pr

A B

A

B

a

−

−

⋅

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

−

= −

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

⎣

⎦

⎣

⎦

=

−

2

ostopadly do wektora

(1, 2,0)

4. Obliczyć granicę

3

5

7

5. Obliczyć calki

a)

3 2cos

b)

5

7

lim

n

n

n

n

n

b

dx

x

dx

x

x

→∞

=

+

+

+

+

+

∫

∫

(

) (

)

2

2

7 II 2002

1. Wykazać, że \

2. Rozwiązać uklad równań w zależnosci od parametrów a i b

3

2

5

8

9

3

2

1

3. Na elipsie 9x

25

225 znaleźć punkty, dla których

odleglosci od ognisk

A

B

A B

x

y

z

b

x

y

z

x

y

az

y

⊂

⇔

= ∅

−

+ =

⎧

⎪ − + =

⎨

⎪

+ +

= −

⎩

+

=

2

2

0

2

2

2 2

a F ( ,0) (c>0) są cztery razy większe

od odleglosci od drugiego ogniska

4. Obliczyć z definicji pochodną

( )

1 w

5. Obliczyć calki

3

2

a)

1

2

b)

(1

)

c

f x

ctg x

x

x

x

dx

x

x

x

dx

x

=

+

=

−

+ +

+

∫

∫

1

2

0

29 I 2004

1. Obliczyć det C, jeżeli

0 5 0 2

1 3 4 5

8 3 4 5

3 0 0 2

7 2 1 4

5 1 2 7

0 4 0 1

2 0 0 3

2. Znaleźć równanie stycznej i normalnej do paraboli y

8

w punkcie o rzędnej y

2 oraz znaleźć

C

A B

A

B

x

−

= ⋅

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

=

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

=

=

0

2

2

pole trójkąta

utworzonego przez tą styczną, normalną i os OX

3. Oblicz pochodną funkcji z definicji w punkcie

( )

1

4. Oblicz calkę

3

2

1

5. Oblicz dlugosć luku krzywej zadanej równanie

x

x

f x

tg x

x

x

dx

=

=

+

−

+

+

∫

0

0

m:

1

( ) 2(cos

ln

)

2

( ) 2sin

od punktu A(0,2) do punktu B(x , )

x t

t

tg

t

y t

t

y

=

+

=

29 I 2003

1. Rozwiązać uklad równań w zależnosci od

parametru

3

2

0

14

15

0

2

3

0

2. Wektor

(3, 2, 1) przedstawić w postaci sumy

dwóch wektorów i takich, że

i

.

(1,1,

a

x

y

z

ax

y

z

x

y

z

u

a b

a

v

b v

v

∈

−

+ =

⎧

⎪ −

+

=

⎨

⎪ − − =

⎩

=

− −

⊥

=

\

&

2

1

1)

3. Na pólkuli o promieniu R>0 opisać stożek
o najmniejszej objętosci

2 sin

4. Obliczyć calkę

sin (1 cos )

(2 )!

5. Zbadać zbieżnosć szeregu

2

n

n

n

x

dx

x

x

n

n

∞

=

+

+

+

∫

∑

3

3

1

30 I 2004

1. Rozwiązać uklad równań ,

2

1

2

2

2

0

3

2

1

2. Znaleźć równanie prostej w

przechodzącej

przez punkt P (2,3,1) oraz równoleglej do plaszczyzn:
H : 6

2 0

a b

x

y

z

x

y

az

bx

y

z

x

y

z

x

y

z

∈

−

− =

⎧

⎪

+ +

=

⎪

⎨ + − =

⎪

⎪ −

+ =

⎩

− + − =

\

\

2

2

2

2

3

2

0

:

3

2

1 0

3. Obliczyć drugą pochodną funkcji:

1

2

1

1

2

( )

ln

1

4 2

2

1 2 2

4. Obliczyć calkę

sin

2cos

1

5. Obliczyć calkę

4

3

H

x

y

z

x

x

x

f x

arctg

x

x

x

dx

x

x

dx

x

x

+

−

+ =

+

+

=

−

−

−

+

−

+

−

+

∫

∫

6

9 II 2004

1. Obliczyć

(1 cos

sin )

30

3

2. Wektor

(1,1,1) przedstawić w postaci sumy

dwóch wektorów, z których jeden jest równolegly

a drugi prosotopadly do

(1, 2,3)

3. Obliczyć drugą pochodną funkc

i

a

b

π

π

+

+

=

=

−

2

2

2

3

2

3

2

0

ji

1

2

1

1

2

( )

ln

1

4 2

2

1 2 2

4. Obliczyć calkę

cos

5. Obliczyć calkę

4

3

x

x

x

f x

arctg

x

x

x

dx

tg

x

dx

x

x

+

+

=

−

−

−

+

⋅

−

+

∫

∫

2

3

0

I termin w 2006

1. Wyznaczyć pierwiastki zespolone równania

(x

3 4 )(

1) 0

2. Rozwiązać uklad równań

2

2

3

5

5

7

2

3

3

14

3. Obliczyć pochodną funkcji w

( )

1

4. Obliczyć

i x

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

x

f x

tg x

x

− −

+ =

+ + =

⎧

⎪ + + =

⎪

⎨ + + = −

⎪

⎪

+

−

=

⎩

=

=

+

2

2

2

2

(

3)

5 Obliczyć dlukosć luku krzywej

[0, ]

( ) (

2)sin

2 cos

( ) (

2 ) cos

2 sin

x

e

x

dx

t

x t

t

t

t

t

y t

x

t

t

t

t

π

−

+

∈

=

−

+

=

−

+

∫

2

4

4

2

31 I 2008 (2-gi ciąg)

1. Rozwiązać równanie w dziedzinie zespolonej

(

1 4 )(

64) 0

2. Znaleźć równanie prostej na której leży cięciwa hiperboli
o równaniu 4

9

36o srodku w punkcie S(5;1)

3. Oblicz

x

i x

x

y

− +

+

=

−

=

0

2

yć pochodną z definicji w

( )

4. Obliczyć calkę

5 4 cos

5. Obliczyć dlugosć luku krzywej

1

:

2ln(

) 4

1

1

[0, ]

4

x

x

f x

tg

x

dx

x

x

k y

x

x

x

=

=

+

+

=

−

−

∈

∫

4

7 II 2008

1. Obliczyć uklad równań, ze względu na parametr a

2

(1

)

(1

)

0

2. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez P(2,3,1)
oraz równoleglej do
6

2 0 i

3

2

1 0

3.

x

y

z

a

x

a y

z

a

x

y

a z

x

y

z

x

y

z

+ + =

⎧

⎪ + +

+ =

⎨

⎪ + + +

=

⎩

− + − =

+

−

+ =

3

2

3

2

Oblicz pochodną z definicji ( )

2

4. Oblicz calkę

1

5. Oblicz dlugosć luku krzywej dla 0

4

2ln cos

f x

x

x

dx

x

x

x

y

x

π

=

−

+ −

< <

=

∫