1
3
1. Dane są macierze
1
3
7
4 8 7
2
4
5
3 5 2
2
1
2
1 2 9
Obliczyć wyznacznik macierzy
2. W przestrzeni
znaleźć wektor taki że
[1, 2,3], [1,0, 2]
oraz
3
3. Policz
8 II 1999
A
B
C
A B
w
w
v
w
u
w
−
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
−
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎣
⎦
⎣
⎦
= ⋅
⊥ =
⊥ =
−
=
\
0
3
2 2
z definicji pochodną fukncji w punkcie
( )
4. Obliczyć calkę
(1
)
5. Obliczyć dlugosć luku krzywej
1
1
( ) 2 ln
4
, 0
2
1
x
f x
x
x
dx
x
x
g x
x
x
x
=
−
+
+
=
−
≤ ≤
−
∫
4
2
1. Rozwiązać równanie w dziedzinie liczb zespolonych
(z
81)(
3
2) 0
2. Zbadać warunki rozwiązalnosci ukladu równań
3
2
5
8
9
3
2
1
, - parametry
3. Zbadać przebieg zmienno
1 II 1999
z
x
x
y
z
b
x
y
z
x
y
az
a b
+
−
+
=
−
+ =
⎧
⎪ − + =
⎨
⎪
+ +
= −
⎩
2
2
1
3
5
1
sci funkcji i narysować
jej wykres ( )
2
4. Oblicz calki
2
5
,
4cos
3sin
2
1
5. Obliczyć calke o ile istnieje
f x
x
arctgx
dx
x
x
dx
x
x
x
x
x
dx
x
−
= −
− −
+
−
−
∫
∫
∫
4
1. Oblicz 2 2 3
2. Wektor
(2, 2,3) przedstawić w postaci sumy
dwóch wektorów, z którychjeden jest równolegly,
a drugi prostopadly do wektora
( 1,0, 2)
3. Rozwiązać uklad równań w zależnosci
1 II 2000
i
a
b
−
=
−
= −
0
3
2
3
3
od parametrów
a i b
3
2
5
8
9
3
2
1
4. Oblicz z definicji pochodną funkcji w punkcie x
( )
1
cos
5. Oblicz calkę
sin
cos
x
y
z
b
x
y
z
x
y
az
f x
x
x
dx
x
x
−
+ =
⎧
⎪ − + =
⎨
⎪
+ +
= −
⎩
=
+
−
∫
2
2
2
1. Obliczyć 3 4
2. Na elipsie 9x
25
400 znaleźć punkty, dla których
odleglosć od ogniskaF ( ,0) c>0 jest cztery razy większa od
odleglosci od drugiego ogniska
3. Dane są macierze. Oblicz wy
9 II 2000
i
y
c
−
+
=
1
0
2
2
znacznik det(A
)
2
1 1
1 2
3
1
3
1
2 1
1
2
1
2
4 6
3
4. Policzyć z definicji '( )
( )
4
1
5. Policzyć calkę
2
1
B
A
B
f x
f x
ctg
x
x
dx
x
x
−
⋅
−
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
=
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
=
+
+
−
∫
6
1
1. Obliczyć 64
2. Obliczyć det(
)
1
3
2
1
2
2
2
1 3
2
1
3
3
5 4
3
4
2
3. Wektor
(2, 2,3) przedstawić w postaci sumy
dwóch wektorów, z których jeden jest równolegly
a drugi pr
31 I 2002
A B
A
B
a
−
−
⋅
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
−
= −
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
=
−
2
ostopadly do wektora
(1, 2,0)
4. Obliczyć granicę
3
5
7
5. Obliczyć calki
a)
3 2cos
b)
5
7
lim
n
n
n
n
n
b
dx
x
dx
x
x
→∞
=
+
+
+
+
+
∫
∫
(
) (
)
2
2
1. Wykazać, że \
2. Rozwiązać uklad równań w zależnosci od parametrów a i b
3
2
5
8
9
3
2
1
3. Na elipsie 9x
25
225 znaleźć punkty, dla których
odleglosci od ognisk
7 II 2002
A
B
A B
x
y
z
b
x
y
z
x
y
az
y
⊂
⇔
= ∅
−
+ =
⎧
⎪ − + =
⎨
⎪
+ +
= −
⎩
+
=
2
2
0
2
2
2 2
a F ( ,0) (c>0) są cztery razy większe
od odleglosci od drugiego ogniska
4. Obliczyć z definicji pochodną
( )
1 w
5. Obliczyć calki
3
2
a)
1
2
b)
(1
)
c
f x
ctg x
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
=
+
=
−
+ +
+
∫
∫
1
2
0
1. Obliczyć det C, jeżeli
0 5 0 2
1 3 4 5
8 3 4 5
3 0 0 2
7 2 1 4
5 1 2 7
0 4 0 1
2 0 0 3
2. Znaleźć równanie stycznej i normalnej do paraboli y
8
w punkcie o rzędnej y
2 oraz znaleźć
29 I 2004
C
A B
A
B
x
−
= ⋅
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
=
=
0
2
2
pole trójkąta
utworzonego przez tą styczną, normalną i os OX
3. Oblicz pochodną funkcji z definicji w punkcie
( )
1
4. Oblicz calkę
3
2
1
5. Oblicz dlugosć luku krzywej zadanej równanie
x
x
f x
tg x
x
x
dx
=
=
+
−
+
+
∫
0
0
m:
1
( ) 2(cos
ln
)
2
( ) 2sin
od punktu A(0,2) do punktu B(x , )
x t
t
tg
t
y t
t
y
=
+
=
1. Rozwiązać uklad równań w zależnosci od
parametru
3
2
0
14
15
0
2
3
0
2. Wektor
(3, 2, 1) przedstawić w postaci sumy
dwóch wektorów i takich, że
i
.
(1,1,
29 I 2003
a
x
y
z
ax
y
z
x
y
z
u
a b
a
v
b v
v
∈
−
+ =
⎧
⎪ −
+
=
⎨
⎪ − − =
⎩
=
− −
⊥
=
\
&
2
1
1)
3. Na pólkuli o promieniu R>0 opisać stożek
o najmniejszej objętosci
2 sin
4. Obliczyć calkę
sin (1 cos )
(2 )!
5. Zbadać zbieżnosć szeregu
2
n
n
n
x
dx
x
x
n
n
∞
=
+
+
+
∫
∑
3
1
2
1. Rozwiązać uklad równań
2
1
2
2
2
0
3
2
1
,
2. Znaleźć równanie prostej w
przechodzącej
przez punkt P (2,3,1) oraz równoleglej do plaszczyzn:
H : 6
2 0
:
30 I 2004
x
y
z
x
y
az
bx
y
z
x
y
z
a b
x
y
z
H
x
−
− =
⎧
⎪
+ +
=
⎪
⎨ + − =
⎪
⎪ −
+ =
⎩
∈
− + − =
\
\
2
2
2
3
2
0
3
2
1 0
3. Obliczyć drugą pochodną funkcji:
1
2
1
1
2
( )
ln
1
4 2
2
1 2 2
4. Obliczyć calkę
sin
2cos
1
5. Obliczyć calkę
4
3
y
z
x
x
x
f x
arctg
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
+
−
+ =
+
+
=
−
−
−
+
−
+
−
+
∫
∫
6
1. Obliczyć
(1 cos
sin )
30
3
2. Wektor
(1,1,1) przedstawić w postaci sumy
dwóch wektorów, z których jeden jest równolegly
a drugi prosotopadly do
(1, 2,3)
3. Obliczyć drugą pochodną funkc
9 II 2004
i
a
b
π
π
+
+
=
=
−
2
2
2
3
2
3
2
0
ji
1
2
1
1
2
( )
ln
1
4 2
2
1 2 2
4. Obliczyć calkę
cos
5. Obliczyć calkę
4
3
x
x
x
f x
arctg
x
x
x
dx
tg
x
dx
x
x
+
+
=
−
−
−
+
⋅
−
+
∫
∫
2
3
0
1. Wyznaczyć pierwiastki zespolone równania
(x
3 4 )(
1) 0
2. Rozwiązać uklad równań
2
2
3
5
5
7
2
3
3
14
3. Obliczyć pochodną funkcji w
( )
1
4. Obliczyć
I termin w 2006
i x
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
x
f x
tg x
x
− −
+ =
+ + =
⎧
⎪ + + =
⎪
⎨ + + = −
⎪
⎪
+
−
=
⎩
=
=
+
2
2
2
2
(
3)
5 Obliczyć dlukosć luku krzywej
[0, ]
( ) (
2)sin
2 cos
( ) (
2 ) cos
2 sin
x
e
x
dx
t
x t
t
t
t
t
y t
x
t
t
t
t
π
−
+
∈
=
−
+
=
−
+
∫
2
4
4
2
1. Rozwiązać równanie w dziedzinie zespolonej
(
1 4 )(
64) 0
2. Znaleźć równanie prostej na której leży cięciwa hiperboli
o równaniu 4
9
36o srodku w punkcie S(5;1)
3. Oblicz
31 I 2008 (2-gi ciąg)
x
i x
x
y
− +
+
=
−
=
0
2
yć pochodną z definicji w
( )
4. Obliczyć calkę
5 4 cos
5. Obliczyć dlugosć luku krzywej
1
:
2ln(
) 4
1
1
[0, ]
4
x
x
f x
tg
x
dx
x
x
k y
x
x
x
=
=
+
+
=
−
−
∈
∫