WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

im. Jarosława Dąbrowskiego

Laboratorium z przedmiotu

MODELOWANIE MATEMATYCZNE

Temat: Organizacja turnieju tenisa stołowego.

Prowadzący: mgr inż. Michał Kapałka

Data wykonania: 10.06.2013r.

Student:

Grupa

Model dotyczy zagadnienia organizacji

turnieju tenisa stołowego przy następujących

założeniach:

o turniej indywidualny rozgrywany w systemie „każdy z każdym”,
o każdy zawodnik zapisując się płaci „wpisowe”, które później jest częścią nagrody dla

zwycięzcy,

o liczba zawodników jest określona (ograniczona) przed rozpoczęciem rozgrywek,
o turniej rozgrywany jest w jednej hali ,
o jedna hala posiada określoną liczbę stołów,
o pojedynki podzielone są na tury, odbywające się w różnym czasie.

Wyodrębnione cechy:

LZ

- liczba zawodników biorących udział w turnieju,

LZ

N





L

- minimalna liczba zawodników potrzebna do rozegrania turnieju,

L

N





Z

- zbiór indeksów zawodników,

2

N

Z



H

- zbiór indeksów hal, na których może zostad rozegrany turniej,

2

N

H



i

S

- zbiór indeksów stołów znajdujących się na hali i,

2

N

i

S



,

i

H



i

LS

- liczba stołów znajdujących się na hali i,

i

LS

N





,

i

H



WH

- indeks wybranej hali, na której zostanie rozegrany turniej,

WH

N





D

- zbiór indeksów sędziów,

2

N

D



i

DS

- numer sędziego przypisanego do stołu i,

i

DS

N





,

h

i

S



W

- „wpisowe” – ustalona kwota, jaką zawodnik płaci za uczestnictwo w turnieju,

W

R





P

- całkowita pula nagród,

P

R





LM

- liczba meczy do rozegrania,

LM

N





M

- zbiór indeksów wszystkich meczy do rozegrania,

2

N

M



i j

ZM

- numer meczu rozgrywanego pomiędzy zawodnikiem i oraz j,

2 ,

,

N

i j

ZM

i

Z j

Z







i

NS

- numer stołu, na którym zostanie rozegrany mecz i,

i

NS

N





,

1,

i

LM



T

- zbiór indeksów tur, w których zostają rozegrane pojedynki,

2

N

T



i j

ZT

- zbiór indeksów meczy i, rozgrywanych w turze j,

2

N

i j

ZT



,

i

M



,

j

T



CP

- średni czas trwania jednego meczu (podany w minutach),

CP

R





C

- całkowity czas trwania zawodów (podany w minutach),

C

R





Wyodrębnione relacje:

1

r

- zawodnik nie może grad sam ze sobą

,{{

} }

i j

i Z

j Z

Z

ZM









1

Y

2

{

,{{zm } }

2

(

)

:

}

N

z

i j

i z

j z

ij

i z

j z

i j

z

N

zm















 









1

R

2

r

- pojedynek między dwoma zawodnikami może odbyd się tylko raz

,{{

} }

i j

i Z

j Z

Z

ZM









2

Y

 

2

2

{

,{{zm } }

2

:

! zm }

z

N

i j

i z

j z

i j

i z

j z

i j

z

N















 









R

3

r

- każdy mecz musi mied przypisany 1 stół spośród dostępnych na hali, na którym zostanie

rozegrany

,{ }

,

,{NS }

i i WH

i i M

WH S

M









3

Y

 

{

,{ }

, ,{ns }

2

(2 )

2

!

s }

:

m

N

N

wh

N

j

j wh

i i m

i

i

wh

i m

i m

wh s

m

N

ns

ns











 



















3

R

4

r

- każdy stół musi mied przypisanego 1 sędziego

,{S }

,{

}

i

i i WH

j

j S

WH

DS









4

Y

{

,{ }

,{

}

2

(2 )

(

)

:

!

}

wh

wh

wh

s

N

N

wh

i i wh

j

j s

j

j s

wh s

ds

N

ds









 











4

R

5

r

- jeden mecz może byd rozegrany w jednej turze

, ,{{

}

}

ij i M

j T

M T

ZT









5

Y

,

{ m, t,{zt }

}

2

2

(2 )

:

}

N

N

N

m

t

ij i m

j t

ij

il

i m

j l t

zt

zt











 









 



5

R

6

r

- wszystkie mecze muszą zostad rozegrane w poszczególnych turach (nie można pominąd ani

jednego meczu)

, ,{{

}

}

ij i M

j T

M T

ZT









6

Y

{ m, t,{zt }

}

2

2

(2 )

: m

}

N

N

N

m

t

ij i m

j t

ij

i m

j t

zt











 









6

R

7

r

- liczba meczy do rozegrania

,

,

LM LZ M





7

Y

{

, ,

2 : lm

(lz 1)

m }

N

lm lz m

N

N

lz

lm





 







   



7

R

8

r

- czas potrzebny na rozegranie turnieju

, ,{

}

}

, WH, LS ,

,

ij i M

j T

i

M T ZT

CP C









8

Y

3

3

{

, ,{

}

} , w ,{

}

,

,

(2 )

(2 )

(N )

(R )

:

cp}

,

N

N

m

t

wh

ij i m

j t

k

k wh

ij

wh

m t zt

h ls

cp c

zt

ls

i m j t

c













 















 

8

R

9

r

- nagroda przeznaczona dla zwycięzcy turnieju

,

,

LZ W P





9

Y

{

, ,

R : p

lz w}

lz w p

N

R







 







 

9

R

Model matematyczny:

, R

X





Gdzie:

,

1,

,

,

, N

, Z, 2

, H, 2

,{

, 2

}

,{

,

}

,

,

,

, 2

,{ DS ,

}

,

,

, P, R

,

,

,

, 2

,{ ZM , 2

}

,{

,

}

,

, 2

,

{{

, 2

}

}

, CP, R

,

,

h

N

N

N

i

i H

i

i H

N

i

i S

N

N

N

ij

i j Z

i

i

LM

N

ij

i M

j T

LZ N

L

S

LS N

WH N

D

N

W R

LM N

X

M

NS N

T

ZT

C R









































 

 

 

 











 

 





 

 





 



 



 















 





















1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

5

5

5

6

6

6

6

6

6

7

7

7

8

8

8

9

9

9

, ,

,

,

,

,

, ,

,

,

,

,

,

,

,

R

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

r Y R

r Y R

r Y R

r Y R

r Y R

r Y R

r Y R

r Y R

r Y R

r Y R





 

 

 

 







 





 

 

 

 







Model optymalizacyjny:

,

, L, Z, H,{ }

,{

}

, ,

, ,

,

,{

}

, ,

i i H

i i H

ij i j Z

LZ

S

LS

D W P LM M ZM

T CP









a

,{{

}

}

,{

}

,{

}

h

ij i M

j T

i i S

i i M

WH

ZT

DS

NS











x

C



w

,

4

5

3

2

,

,

, L, Z, H,{ }

,{

}

, ,

, ,

,

,{

}

, ,

,

2

(2 )

(

)

(2 )

:

(

1)

!

i i H

i i H

ij i j Z

N

N

H

H

N

Z

ij

ij

i j

i

i

i j Z

i j Z

i H

i H

i j

i j

LZ

S

LS

D W P LM M ZM

T CP CM

N

N

R

LM

LZ

LZ

LM

M

LZ

Z

ZM

M

LZ

L

P

LZ W

ZM

ZM

LM

M

LS

S















































 













  





























A

i

D

LS







































,

,{{

}

}

,{

}

,{

}

(2 )

(

)

(

)

:

!

s

!

( )

wh

wh

wh

ij i M

j T

i i S

i i M

S

N

M

T

M

i

i

wh

j

i M

i M

j S

ij

il

ij

i M

i M

j l T

j T

WH

ZT

DS

NS

N

N

N

NS

NS

DS

ZT

ZT

M

ZT

WH

H







































































 















  



























a

( , )

{

:

}

,

ij

wh

ZT

C

R

CP

LS

i M j T

c













 

W a x

( )

1

min{

( , )}

( )

0

.

x

a

y

W a x

wp p













 











a

E y

Model optymalizacyjny (dla zadania minimalizacji):

, , , ( ),

a x A

a

f







Gdzie:

( , )

,

ij

wh

ZT

f a x

CP

LS

i M j T







 