Analiza Matematyczna 2

4

Arkusz: Ekstrema lokalne i globalne

Zad. 25

Zbada´c (korzystaj ¾

ac z de…nicji) czy funkcja f posiada ekstremum lokalne (globalne) w punkcie p?

a)

f (x; y) = 2

jxj + 3 jyj ; p = (0; 0);

b)

f (x; y) = 3(x

1)

2

+ (y + 2)

2

; p = (1;

2);

c)

f (x; y) = 1

p

x

2

+ y

2

; p = (0; 0);

d)

f (x; y) = 5

p

jxyj; p = (a; 0); a 2 R;

e)

f (x; y) = x(y

1); p = (0; 1);

f )

f (x; y) = x

2

y

2

; p = (0; 0):

Zad. 26

Wyznaczy´c ekstrema lokalne funkcji f :

a)

f (x; y) = y

p

x

y

2

x + 6y;

b)

f (x; y) = 2x

3

+ xy

2

+ 5x

2

+ y

2

;

c)

f (x; y) = x

2

xy + y

2

+ 9x

6y + 20;

d)

f (x; y) = x

3

+ 3xy

2

6xy + 1;

e)

f (x; y) = x

3

+ y

3

3xy + 1;

f )

f (x; y) = x

2

+ xy + y

2

4 ln x

10y;

g)

f (x; y) = x

4

+ y

4

x

2

y

2

2xy;

h)

f (x; y) = x

3

y

3

(6

x

y);

i)

f (x; y) = xy +

1

2(x + y)

;

j)

f (x; y) = xy ln(x

2

+ y

2

);

k)

?

f (x; y) = (x

2

+ y

2

)e

x

2

y

2

;

l)

f (x; y) = (y

x

2

)e

y

;

m)

f (x; y) =

p

9

y

2

;

n)

f (x; y) = (x; y) = 2 +

p

3x

2

+ y

2

;

o)

f (x; y) =

2

x

+ ln(x

y

2

);

p)

f (x; y) = y + ln(4

y

x

2

):

Zad. 27

Wyznaczy´c ekstrema lokalne funkcji f :

a)

f (x; y; z) = y

3

+ 2x

2

+ z

2

xy + 2xz

y;

b)

f (x; y; z) = x

2

+ 2y

2

+ z

2

2x + 4y

6z + 2;

c)

f (x; y; z) =

8
3

x

3

+ y

2

+ z

2

2xy

x + 4z;

d)

f (x; y; z) = xyz(1

x

y

z);

e)

f (x; y; z) = 2

x

2

y

+

y

2

z

+ 2z

2

4x;

f )

f (x; y; z) = (x + y + 2z)e

(x

2

+y

2

+z

2

)

;

g)

f (x

1

; x

2

; : : : ; x

n

) = x

1

+ x

2

+

+ x

n

+

1

x

1

+

1

x

2

+

+

1

x

n

;

h)

f (x

1

; x

2

; : : : ; x

n

) = x

3

1

+ x

3

2

+

+ x

3

n

3(x

1

+ x

2

+

+ x

n

):

Zad. 28

Wyznaczy´c najwi ¾

eksz ¾

a i najmniejsz ¾

a warto´s´c funkcji f : R

2

! R na zbiorze D:

a)

f (x; y) = x

2

y (4

x

y) ;

D

jest trójk ¾

atem o wierzcho÷

kach (0; 0) ; (6; 0) ; (0; 6) ;

b)

f (x; y) = x

2

xy

2

+ x;

D

jest trójk ¾

atem o wierzcho÷

kach (0; 2) ; ( 2; 0); (2; 0);

c)

f (x; y) = 2x

2

y

2

6x;

D =

f(x; y) 2 R

2

; x

2

+ y

2

9

^ x

0

g ;

d)

f (x; y) = 2x

3

y

3

6x + 3y;

D = [ 2 ; 0]

[0 ; 2] ;

e)

f (x; y) = (1

y) (x + y + 2) ;

D =

f(x; y) 2 R

2

; 0

x

1

^ 0

y

1

x

g ;

f )

f (x; y) = x

2

+ y

2

;

D =

f(x; y) 2 R

2

;

jxj + jyj

1

g ;

g)

f (x; y) = x

4

+ y

4

;

D =

f(x; y) 2 R

2

; x

2

+ y

2

9

g ;

h)

f (x; y) = xy

2

+ 4xy

4x;

D = [ 3 ; 3]

[ 3 ; 0] :

i)

f (x; y) = (x

2

+ y

2

1)

2

+

3
2

x;

D =

f(x; y) 2 R

2

; x

2

+ y

2

1

g ;

j)

f (x; y) = 2 ln(x + y + 2)

x

y

2

; D =

f(x; y) 2 R

2

; 0

y

1

^ y

1

x

1

y

g ;

k)

f (x; y) = sin x sin y;

D = [0; 2 ]

[0; ]:

Zad. 29

a)

Znale´z´c wymiary akwarium maj ¾

acego najmniejsz ¾

a powierzchni ¾

e, je·

zeli jego obj ¾

eto´s´c równa si ¾

e V ;

b)

Znale´z´c odleg÷

o´s´c punktu P = (0; 0; 4) od powierzchni z = xy;

c)

Znale´z´c odleg÷

o´s´c punktu P = (1; 0;

1)

od p÷

aszczyzny z = 2x

y + 2;

d)

W trójk ¾

acie o wierzcho÷

kach ( 1; 5); (1; 4); (2;

3)

znale´z´c punkt M , dla którego suma kwadratów jego

odleg÷

o´sci od wierzcho÷

ków jest najmniejsza;

e)

Spo´sród wszystkich trójk ¾

atów o danym obwodzie 2p znale´z´c ten, którego pole jest najwi ¾

eksze;

f )

Na elipsoidzie x

2

+ y

2

+ 4z

2

= 8

znale´z´c punkt najdalej odleg÷

y od punktu (0; 0; 3);

g)

Znale´z´c równanie prostej, dla której suma kwadratów odleg÷

o´sci od punktów (0; 0); (2; 3); (4; 3) jest na-

jmniejsza.