Analiza Matematyczna 2

3

Arkusz

Zad. 8

Korzystaj ¾

ac z de…nicji zbada´c istnienie pochodnych cz ¾

astkowych funkcji f w punkcie p :

a)

f (x; y) = x

3

+ y

2

+ x;

p = (1; 2);

b)

f (x; y) =

x
y

;

p = (1;

1);

c)

f (x; y) = ln(xy);

p = (1; 1);

d)

f (x; y) =

3

p

x + y;

p = (0; 0);

e)

f (x; y; z) = xyz;

p = (1;

1; 1);

f )

f (x; y) = e

x+2y z

;

p = (0; 0; 0):

Zad. 9

Obliczy´c pochodn ¾

a kierunkow ¾

a funkcji f w punkcie p w kierunku wektora h:

a)

f (x; y) = x

3

3x

2

y + 3xy

2

; p = (3; 1) ; h = (3;

4);

b)

f (x; y) =

x

2

4

+

y

2

9

; p = (2; 3); h = (2; 3);

c)

f (x; y) = ln (e

x

+ e

y

) ; p = (0; 0) ; h

dowolny;

d)

f (x; y) = 2

jxj + jyj ; p = (0; 0); h = ( 1; 2);

e)

f (x; y) = ln(x

2

+ y

2

); p = (1; 1) ; h = (1; 1);

f )

f (x; y) =

p

x

2

+ y

4

; p = (0; 1); h = (1; 1);

g)

f (x; y; z) = x

2

+ y

2

+ z

2

; p = (1;

1; 1) ; h = (1; 1; 1);

h)

f (x; y; z) = xyz; p = (1; 1; 1) ; h = ( 1; 1;

1):

Zad. 10

Obliczy´c pochodne cz ¾

astkowe pierwszego rz ¾

edu funkcji f :

a)

f (x; y) =

p

x

2

+ y

3

;

b)

f (x; y) =

1

p

x

2

+ y

2

;

c)

f (x; y) =

8

>

<

>

:

x

3

+ y

3

x

2

+ y

2

(x; y)

6= (0; 0);

0

(x; y) = (0; 0);

d)

f (x; y) = ln (x

y) ;

e)

f (s; t) = ln

p

s

2

+ t

2

;

f )

f (x; y) = y

x 1

;

g)

f (x; y) = tg

3

(x

2

y) ;

h)

f (x; y) = e

p

x

2

+y

;

i)

f (x; y) = (ln y)

sin x

;

j)

f (r; s) =

r

s

r + s

;

k)

f (p; q) = p + qe

p q

;

l)

f (x; y) = arctg

x + y

1

xy

;

m)

f (x; y) = log

y

x;

n)

f (x; z) =

3

x + z

1

;

o)

f (x; z) = x arc sin(xz

2

);

p)

f (x; y; z) = arctg

p

xz;

q)

f (x; y; z) = x

y

z

;

r)

f (x; y; z) =

sin

2

(x

y)

2 z

:

Zad. 11

Wyznaczy´c jakobian funkcji f :

a)

f (x; y) = (x + 2; y

3);

b)

f (x; y) = (xy; x

2

y

2

);

c)

f (r; ') = (r cos '; r sin ');

d)

f (r; ') = (r cos

2

'; sin 2');

e)

f (z; y; z) = (x

2

+ 2z; xy;

yz);

f )

f (z; y; z) = (z sin x; z cos y; z

2

):

Zad. 12

Udowodni´c, ·

ze funkcja f : R

2

! R dana wzorem

f (x; y) =

8

>

<

>

:

xy

x

2

+ y

2

(x; y)

6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0)

ma pochodne cz ¾

astkowe w punkcie (0; 0), mimo ·

ze nie jest ci ¾

ag÷

a w tym punkcie.

Zad. 13

Korzystaj ¾

ac z de…nicji zbada´c ró·

zniczkowalno´s´c funkcji f w punkcie p:

a)

f (x; y) = x + y

3

;

p = (1; 0);

b)

f (x; y) =

3

p

xy;

p = (0; 0);

c)

f (x; y) =

8

>

<

>

:

x

3

x

2

+ y

2

(x; y)

6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0) = p;

d)

f (x; y) =

3

p

x

3

+ y

3

;

p = (0; 0);

e)

f (x; y; z) = xyz;

p = (1; 0; 1);

f )

f (x; y; z) =

x + y

z

;

p = (1; 0; 1):

Zad. 14

Wykaza´c, ·

ze funkcje f : R

2

! R okre´slone wzorami

a)

f (x; y) =

8

>

<

>

:

xy

2

x

2

+ y

2

(x; y)

6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0) ;

b)

f (x; y) =

8

>

<

>

:

x + y +

x

3

y

x

4

+ y

2

(x; y)

6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0)

maj ¾

a w punkcie (0; 0) pochodn ¾

a kierunkow ¾

a w dowolnym kierunku, ale nie s ¾

a ró·

zniczkowalne w tym punkcie.

Zad. 15

Dla jakich

;

> 0

funkcja f : R

2

! R okre´slona wzorem

f (x; y) =

8

>

<

>

:

x y

x

2

+ y

2

(x; y)

6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0)

jest ró·

zniczkowalna w punkcie (0; 0).

Zad. 16

Czy ci ¾

ag÷

o´s´c pochodnych cz ¾

astkowych pierwszego rz ¾

edu funkcji f w punkcie jest warunkiem koniecznym

ró·

zniczkowalno´sci funkcji w tym punkcie? Uzasadni´c odpowied´z wykorzystuj ¾

ac funkcj ¾

e f : R

2

! R okre´slon ¾

a

wzorem

f (x; y) =

8

>

<

>

:

(x

2

+ y

2

) sin

1

x

2

+ y

2

(x; y)

6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0)

Zad. 17

Zbada´c ró·

zniczkowalno´s´c funkcji f w dowolnym punkcie dziedziny:

a)

f (x; y) = x

2

3y

3

;

b)

f (x; y) =

p

x

4

+ y

4

;

c)

f (x; y) =

p

x

2

+ y

3

;

d)

f (x; y) = ln(x

2

+ y

3

);

e)

f (x; y) =

8

>

<

>

:

xy(x + y)

x

2

+ y

2

(x; y)

6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0) ;

f )

f (x; y) =

8

>

<

>

:

sin(xy

2

)

x

x

6= 0;

0

x = 0;

g)

f (x; y) =

8

>

<

>

:

x

4

+ y

4

x

2

+ y

2

(x; y)

6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0) ;

h)

f (x; y) =

8

>

<

>

:

x

3

+ y

3

x

2

+ y

2

(x; y)

6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0) ;

i)

f (x; y; z) =

z

4

x

2

+ y

2

;

j)

f (x; y; z) = sin(xyz):

Zad. 18

Oszacowa´c b÷¾

ad bezwzgl ¾

edny i wzgl ¾

edny powsta÷

y przy obliczaniu:

a)

obj ¾

eto´sci kuli, je´sli ´srednica kuli wynosi d = 3; 7

0; 05;

a

= 3:14;

b)

obj ¾

eto´sci sto·

zka, przyjmuj ¾

ac promie´n podstawy r = 3 0; 02; wysoko´sc sto·

zka h = 2; 2 0; 1 oraz

= 3:14;

c)

obj ¾

eto´sci prostopad÷

o´scianu o bokach a = b = 10

0:1

oraz c = 35

0:1:

Zad. 19

a)

Przy pomocy menzurki mo·

zna zmierzy´c obj ¾

eto´s´c cia÷

a z dok÷

adno´sci ¾

a

V

= 0:1

cm

3

, a przy pomocy wagi

spr ¾

e·

zynowej mo·

zna ustali´c jego mas ¾

e z dok÷

adno´sci ¾

a

m

= 1

g. Obj ¾

eto´s´c cia÷

a zmierzona w ten sposób

wynosi V = 25 cm

3

, a masa m = 200 g. Z jak ¾

a w przybli·

zeniu dok÷

adno´sci ¾

a mo·

zna obliczy´c g ¾

esto´s´c

tego cia÷

a?

b)

Wspó÷

czynniki równania kwadratowego 0:5x

2

+ ax + b = 0

, podane z dok÷

ado´sciami

a

= 0:01

i

b

= 0:1

,

wynosz ¾

a a =

3

i b = 2. Z jak ¾

a w przybli·

zeniu dok÷

adno´sci ¾

a mo·

zna poda´c pierwiastki x

1

; x

2

tego

równania?

Zad. 20

Zbada´c, czy dla funkcji f : R

2

! R pochodne mieszane f

00

xy

(0; 0)

i f

00

yx

(0; 0)

s ¾

a równe:

a)

f (x; y) =

8

>

<

>

:

x

3

y

x

2

+y

2

(x; y)

6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0) ;

b)

f (x; y) =

8

>

<

>

:

x

2

y

3

x

2

+y

2

(x; y)

6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0) ;

c)

f (x; y) =

8

>

<

>

:

x

2

y

3

x

2

+y

2

(x; y)

6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0) ;

d)

f (x; y) =

8

>

<

>

:

xy

x

2

y

3

x

2

+y

2

(x; y)

6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0) :

Zad. 21

Wykza´c, ·

ze funkcja u : R

2

! R dana wzorem u (r; s) = arctg (2r

s)

spe÷

nia równanie

@

2

u

@r

2

+ 2

@

2

u

@r @s

= 0:

Zad. 22

Obliczy´c pochodne cz ¾

astkowe drugiego rz ¾

edu funkcji f :

a)

f (x; y) = sin(x

2

+ y

2

);

b)

f (x; y) = xe

xy

;

c)

f (x; z) = arctg(x + 2y);

d)

f (x; y; z) =

p

x

2

+ y

2

+ z

2

+ 1;

e)

f (x; y; z) = ln(x + y

2

+ z

3

);

f )

f (x; y; z) = arc sin pxyz:

Zad. 23

Obliczy´c pochodn ¾

a funkcji f :

a)

f (t) = F (x(t); y(t));

gdzie x(t) = sin t; y(t) = cos t;

b)

f (t) = F (2t; t

2

; t

3

);

c)

f (t) = F (t; y(t));

gdzie y(t) = e

2t

;

d)

f (t) = F (x(t); t);

gdzie x(t) = t ln t:

Zad. 24

Wyznaczy´c pochodne cz ¾

astkowe pierwszego i drugiego rz ¾

edu funkcji z÷

o·

zonej f :

a)

f (u; v) = F (x(u; v)); x(u; v) = u

2

v

2

;

b)

f (u; v) = F (x(u; v); y(u; v)); x(u; v) = uv; y(u; v) = u + v;

c)

f (u; v) = F (x(u; v); u)); x(u; v) = e

u v

;

d)

f (u; v) = F (x(u); y(v)); x(u) = u

3

; y(v) = ln v: