Przykład 2.3. Figura złożona

Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury.

·

4r

3r

·

3r

W celu wyznaczenia środka ciężkości oraz obliczenia wartości momentów

bezwładności i momentu dewiacyjnego przyjmujemy dwa współśrodkowe prostokątne układy
współrzędnych Oxy i Ouv oraz dzielimy rozpatrywaną figurę na dwie figury podstawowe.

v

I

II

3r

α

4r

·

·

x

O

3r

y

u

Z wymiarów zadania wynika, że przeciwprostokątna trójkąta (figura II) ma długość

równą :

( ) ( )

r

r

r

r

5

25

4

3

2

2

2

=

=

+

, a więc

5

3

=

α

sin

,

5

4

=

α

cos

.

3r

3r

4r

·

·

C

1

C

2

v

O

α

II

I

u

y

x

C

2

c

x

2

c

y

1

c

u

1

c

v

Układ współrzędnych Ouv obrócony jest o kąt α względem układu Oxy. Współrzędne

dowolnego punktu spełniają zależności:

u = x cos α + y sin α

v = y cos α − x sin α.

Współrzędne środka ciężkości trójkąta (II figury) w układzie Oxy są równe:

r

r

x~

c

3

8

4

3

2

2

=

⋅

=

,

r

r

y~

c

=

⋅

=

3

3

1

2

zaś w układzie Ouv przyjmują wartości:

r

r

r

u~

c

15

41

5

3

5

4

3

8

2

=

⋅

+

⋅

=

,

r

r

r

v~

c

5

4

5

3

3

8

5

4

2

−

=

⋅

−

⋅

=

Obliczamy pola figur składowych i określamy współrzędne ich środków ciężkości w

układzie Ouv.

( )

2

2

I

4

9

3

4

1

πr

r

π

A

=

⋅

⋅

=

,

π

r

π

r

u~

c

4

3

3

4

1

=

⋅

=

,

π

r

π

r

v~

c

4

3

3

4

1

=

⋅

=

,

2

II

6

3

4

2

1

r

r

r

A

=

⋅

⋅

=

,

r

u~

c

15

41

2

=

,

r

v~

c

5

4

2

−

=

.

Całkowite pole figury wynosi:

2

2

2

II

I

0686

13

6

4

9

r

.

r

πr

A

A

A

=

+

⋅

=

+

=

Moment statyczny względem osi v wynosi:

3

2

2

2

II

1

I

4

25

15

41

6

4

4

9

r

.

r

r

π

r

r

u~

A

u~

A

S

c

c

v

=

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

π

=

⋅

+

⋅

=

Moment statyczny względem osi u wynosi:

3

2

2

2

II

1

I

2

4

5

4

6

4

4

9

r

.

r

r

π

r

r

v~

A

v~

A

S

c

c

u

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

π

=

⋅

+

⋅

=

Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej figury w układzie Ouv wynoszą

odpowiednio:

r

.

r

.

r

.

A

S

u~

v

c

9436

1

0686

13

4

25

2

3

=

=

=

oraz

r

.

r

.

r

A

S

v~

u

c

3214

0

0686

13

2

.

4

2

3

=

=

=

.

3r

3r

4r

·

·

C

1

C

2

v

α

II

I

u

y

x

C

c

u

c

v

2

c

y

2

c

x

Wyznaczymy momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla obu figur składowych

w układzie osi Ouv. Dla pierwszej figury (ćwiartka koła) mamy

( )

4

4

I

I

904

15

3

16

1

r

.

r

π

I

I

v

u

=

⋅

⋅

=

=

,

( )

4

4

I

125

10

3

8

1

r

.

r

I

uv

=

⋅

=

.

Dla drugiej figury (trójkąt) obliczenia przeprowadzimy w układzie osi Oxy.

2

( )

4

3

II

9

3

4

12

1

r

r

r

I

x

=

⋅

⋅

=

W celu wyznaczenia momentu bezwładności względem osi y figury II, przedstawimy

ją jako różnicę dwu figur, zgodnie z poniższym rysunkiem.

y

x

O

4r

O

4r

y

3r

x

( )

( )

4

3

3

II

48

4

3

12

1

4

3

3

1

r

r

r

r

r

I

y

=

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

Moment dewiacyjny figury II w układzie Oxy wyznaczymy korzystając z twierdzenia

Steinera

( ) ( )

4

2

2

2

II

II

18

3

8

6

3

4

72

1

2

2

r

r

r

r

r

r

y~

x~

A

I

I

c

c

II

y

x

xy

c

c

=

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

⋅

+

=

.

Momenty bezwładności i moment dewiacyjny figury II w obróconym układzie Ouv

wyznaczamy z zależności:

4

4

4

4

II

2

II

2

II

76

5

5

3

5

4

18

25

9

48

25

16

9

2

r

.

r

r

r

cos

sin

I

sin

I

cos

I

I

xy

y

II

x

u

=

⋅

⋅

−

⋅

+

⋅

=

α

α

−

α

+

α

=

4

4

4

4

II

2

II

2

II

II

24

51

5

3

5

4

18

25

9

9

25

16

48

2

r

.

r

r

r

cos

sin

I

sin

I

cos

I

I

xy

x

y

v

=

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

=

α

α

+

α

+

α

=

(

)

(

)

(

)

4

4

4

4

2

2

II

II

II

II

68

13

25

9

25

16

18

5

4

5

3

48

9

r

.

r

r

r

sin

cos

I

cos

sin

I

I

I

xy

y

x

uv

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

+

⋅

⋅

−

=

=

α

−

α

+

α

α

−

=

Momenty bezwładności i moment dewiacyjny rozważanej figury, będącej sumą figury

I i II, w obróconym układzie Ouv obliczymy jako sumy momentów dla figur składowych.

4

4

4

II

I

664

21

76

5

904

15

r

.

r

.

r

.

I

I

I

u

u

u

=

+

=

+

=

4

4

4

II

I

144

67

24

51

904

15

r

.

r

.

r

.

I

I

I

v

v

v

=

+

=

+

=

4

4

4

II

I

555

3

68

13

125

10

r

.

r

.

r

.

I

I

I

uv

uv

uv

−

=

−

=

+

=

.

Momenty bezwładności i moment dewiacyjny trójkąta w obróconym układzie Ouv

możemy obliczyć bez konieczności transformowania ich przez obrót układu. Trójkąt można
podzielić na dwa trójkąty prostokątne, których boki przyprostokątne są równoległe do osi
układu Ouv zgodnie z poniższym rysunkiem.

5

3

=

α

sin

,

5

4

=

α

cos

r

r

α

sin

r

h

5

12

5

3

4

4

=

⋅

=

⋅

=

r

r

α

cos

r

b

5

16

5

4

4

4

2

=

⋅

=

⋅

=

3

r

r

α

sin

r

b

5

9

5

3

3

3

3

=

⋅

=

⋅

=

3r

h

4r

· ·

C

3

C

2

v

α

III

u

y

x

2

c

u

2

c

v

3

c

u

3

c

v

2

b

3

b

II

Pola powierzchni figury II i III oraz współrzędne ich środków ciężkości w obróconym

układzie Ouv wynoszą

2

2

II

25

96

5

12

5

16

2

1

2

1

r

r

r

h

b

A

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

,

2

3

III

25

54

5

12

5

9

2

1

2

1

r

r

r

h

b

A

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

r

r

b

u~

c

15

32

5

16

3

2

3

2

2

2

=

⋅

=

⋅

=

r

r

r

b

b

u~

c

5

19

5

9

3

1

5

16

3

1

3

2

3

=

⋅

+

=

⋅

+

=

r

r

h

v~

v~

c

c

5

4

5

12

3

1

3

1

3

2

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

=

Momenty bezwładności i moment dewiacyjny trójkąta, będącego sumą trójkątów II i

III, w obróconym układzie Ouv obliczymy jako sumy momentów dla figur składowych.

(

)

4

4

3

3

3

2

III

II

76

5

25

144

5

12

5

12

1

12

1

r

.

r

r

r

h

b

b

I

I

u

u

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

=

⋅

+

⋅

=

+

4

2

2

3

2

2

3

2

3

III

III

3

2

2

II

II

2

III

II

r

24

51

5

19

25

54

5

9

5

12

36

1

15

32

25

96

5

16

5

12

36

1

.

r

r

r

r

r

r

r

r

u~

A

I

u~

A

I

I

I

c

c

v

c

c

v

v

v

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

=

=

⋅

+

+

⋅

+

=

+

4

2

2

2

2

2

2

3

3

III

III

2

2

II

II

III

II

68

13

5

4

5

19

25

54

5

12

5

9

72

1

5

4

15

32

25

96

5

12

5

16

72

1

3

3

2

2

r

.

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

v~

u~

A

I

v~

u~

A

I

I

I

c

c

v

u

c

c

v

u

uv

uv

c

c

c

c

−

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⋅

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⋅

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

=

=

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

+

=

+

Momenty bezwładności i moment dewiacyjny rozważanej figury, będącej sumą figury

I, II i III w obróconym układzie Ouv obliczymy jako sumy momentów dla figur składowych.

4

4

4

III

II

I

664

21

76

5

904

15

r

.

r

.

r

.

I

I

I

I

u

u

u

u

=

+

=

+

+

=

4

4

4

III

II

I

144

67

24

51

904

15

r

.

r

.

r

.

I

I

I

I

v

v

v

v

=

+

=

+

+

=

4

4

4

III

II

I

555

3

68

13

125

10

r

.

r

.

r

.

I

I

I

I

uv

uv

uv

uv

−

=

−

=

+

+

=

.

Otrzymane wyniki są identyczne z uzyskanymi przy zastosowaniu podziału na dwie

figury składowe.

Osiowe momenty bezwładności oraz dewiacyjny moment figury względem osi

centralnych

wyznaczymy korzystając z przekształconych wzorów Steinera:

c

c

v

u

(

)

4

2

2

4

2

3140

20

3214

0

0686

13

664

21

r

.

r

.

r

.

r

.

v~

A

I

I

c

u

u

c

=

⋅

−

=

⋅

−

=

4

(

)

4

2

2

4

2

7763

17

9436

1

0686

13

144

67

r

.

r

.

r

.

r

.

u~

A

I

I

c

v

v

c

=

⋅

−

=

⋅

−

=

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

v~

u~

A

I

I

c

c

uv

v

u

c

c

4

2

4

7186

11

3214

0

9436

1

0686

13

555

3

−

=

⋅

⋅

−

−

=

⋅

⋅

−

=

.

Kąt φ

o

między osiami prostokątnego układu

i układu głównych osi bezwładności

spełnia równanie:

c

c

v

u

(

)

2356

9

7763

17

3140

20

7186

11

2

2

2

4

4

4

o

.

r

.

r

.

r

.

I

I

I

tg

c

c

c

c

v

u

v

u

=

−

−

⋅

−

=

−

−

=

ϕ

stąd

, a więc

.

rad

4629

1

2

o

.

=

ϕ

rad

7315

0

o

.

=

ϕ

Główna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość

tworzy z osią

kąt

, natomiast główna oś bezwładności, względem której

moment bezwładności ma wartość

max

I

I

=

1

c

u

1

ϕ

min

I

I

=

2

tworzy z osią kąt

c

u

2

ϕ

.

c

u

I >

to

, a

c

v

I

rad

7315

0

o

1

.

=

ϕ

=

ϕ

rad

3023

2

rad

2

7315

0

2

o

2

.

.

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

+

=

π

+

ϕ

=

ϕ

Momenty bezwładności względem głównych osi bezwładności

osiągają wartości

ekstremalne:

c

c

v

u

(

)

4

2

4

2

4

4

4

4

2

2

1

8322

30

7186

11

2

7763

17

3140

20

2

7763

17

3140

20

2

2

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

I

I

I

I

I

I

I

c

c

c

c

c

c

v

u

v

u

v

u

max

=

−

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

+

=

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

+

=

=

(

)

4

2

4

2

4

4

4

4

2

2

2

2581

7

7186

11

2

7763

17

3140

20

2

7763

17

3140

20

2

2

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

I

I

I

I

I

I

I

c

c

c

c

c

c

v

u

v

u

v

u

min

=

−

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

+

=

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

+

=

=

Kierunek maksymalnego
momentu bezwładności

C

Kierunek minimalnego
momentu bezwładności

1

ϕ

2

ϕ

c

u

c

v

5