Przykład 2.2. Figura złożona
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury.
2r
2r
3r
3r
3r
3r
3r
O
2r
y
x
2r
2r
3r
3r
3r
3r
W celu wyznaczenia środka ciężkości oraz obliczenia wartości momentów
bezwładności i momentu dewiacyjnego przyjmujemy układ współrzędnych Oxy oraz
dzielimy rozpatrywaną figurę na cztery figury podstawowe.
3r
5r
O
3r
3r
2r
3r
x
I II
1
C
C
1
c
x
1
c
y
2
c
x
2
c
y
2
III
2
r
2
r
3
r
3
r
O
x
y
IV
4
C
3
c
x
3
c
y
4
c
x
c
y
4
3
C
y
8r
Obliczamy pola figur składowych i określamy współrzędne ich środków ciężkości.
( )
2
2
I
2
9
3
2
1
πr
r
π
A
=
⋅
⋅
=
,
π
r
π
r
x~
c
4
3
3
4
1
−
=
⋅
⋅
−
=
,
r
y~
c
5
1
−
=
2
II
40
8
5
r
r
r
A
=
⋅
=
,
r
r
x~
c
2
5
5
2
1
2
=
⋅
=
,
r
r
y~
c
4
8
2
1
2
−
=
⋅
−
=
( )
2
2
III
2
4
1
πr
r
π
A
=
⋅
⋅
=
,
π
r
π
r
x~
c
3
8
3
2
4
3
=
⋅
⋅
=
,
π
r
π
r
y~
c
3
8
3
2
4
3
−
=
⋅
⋅
−
=
2
IV
2
15
5
3
2
1
r
r
r
A
=
⋅
⋅
=
,
r
r
r
x~
c
4
3
3
2
2
4
=
⋅
+
=
,
r
r
y~
c
3
5
5
3
1
4
−
=
⋅
−
=
Całkowite pole figury wynosi:
2
2
2
2
2
IV
III
II
I
496
43
2
15
40
2
9
r
.
r
πr
r
πr
A
A
A
A
A
=
−
−
+
=
−
−
+
=
Moment statyczny względem osi
y wynosi:
3
2
2
2
2
4
IV
3
III
2
II
1
I
333
.
49
4
2
15
3
8
2
5
40
4
2
9
r
r
r
π
r
πr
r
r
π
r
r
x~
A
x~
A
x~
A
x~
A
S
c
c
c
c
y
=
⋅
−
⋅
−
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
⋅
π
=
=
⋅
−
⋅
−
⋅
+
⋅
=
Moment statyczny względem osi
x wynosi:
(
)
(
)
3
2
2
2
2
4
IV
3
III
2
II
1
I
519
215
3
5
2
15
3
8
4
40
5
2
9
r
.
r
r
π
r
πr
r
r
r
r
y~
A
y~
A
y~
A
y~
A
S
c
c
c
c
x
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
⋅
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
⋅
−
−
⋅
+
−
⋅
π
=
=
⋅
−
⋅
−
⋅
+
⋅
=
Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej figury wynoszą odpowiednio:
r
.
r
.
r
.
A
S
x~
y
c
1342
1
496
43
333
49
2
3
=
=
=
oraz
r
.
r
.
r
A
S
~
x
c
9549
4
496
43
519
.
215
y
2
3
−
=
−
=
=
.
x
y
O
C
c
x
c
y
Wyznaczymy momenty bezwładności i moment dewiacyjny w układzie Oxy.
( )
(
)
( )
( )
( )
4
3
4
3
2
2
4
IV
III
II
I
18
1204
5
3
12
1
2
16
1
8
5
3
1
5
2
9
3
8
1
r
.
r
r
r
π
r
r
r
πr
r
π
I
I
I
I
I
x
x
x
x
x
=
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
=
−
−
+
=
( )
( )
( )
( )
( )
4
2
2
3
4
3
4
IV
III
II
I
25
238
4
2
15
3
5
36
1
2
16
1
5
8
3
1
3
8
1
r
.
r
r
r
r
r
π
r
r
r
π
I
I
I
I
I
y
y
y
y
y
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
=
=
−
−
+
=
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
4
2
2
2
4
2
2
2
IV
III
II
I
88
254
3
5
4
2
15
3
5
72
1
2
8
1
5
8
4
1
4
5
2
9
0
r
.
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
πr
I
I
I
I
I
xy
xy
xy
xy
xy
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
−
−
⋅
⋅
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−
⋅
−
⋅
+
=
=
−
−
+
=
Następnie wyznaczymy momenty bezwładności i moment dewiacyjny w układzie osi
centralnych x i y korzystając z przekształconych wzorów Steinera:
c
c
(
)
4
2
2
4
2
c
31
136
9549
4
496
43
18
1204
r
.
r
.
r
.
r
.
y~
A
I
I
x
x
c
=
−
⋅
−
=
⋅
−
=
(
)
4
2
2
4
2
c
30
182
1342
1
496
43
25
238
r
.
r
.
r
.
r
.
x~
A
I
I
y
y
c
=
⋅
−
=
⋅
−
=
2
(
)
4
2
4
c
c
44
10
9549
4
1342
1
496
43
88
254
r
.
r
.
r
.
r
.
r
.
y~
x~
A
I
I
xy
y
x
c
c
−
=
−
⋅
⋅
−
−
=
⋅
⋅
−
=
.
Momenty bezwładności względem głównych centralnych osi bezwładności osiągają
wartości:
(
)
4
2
4
2
4
4
4
4
2
2
1
56
184
44
10
2
30
182
31
136
2
30
182
31
136
2
2
r
.
r
.
r
.
r
.
r
.
r
.
I
I
I
I
I
I
I
c
c
c
c
c
c
y
x
y
x
y
x
max
=
−
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
=
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
=
(
)
4
2
4
2
4
4
4
4
2
2
2
05
134
44
10
2
30
182
31
136
2
30
182
31
136
2
2
r
.
r
.
r
.
r
.
r
.
r
.
I
I
I
I
I
I
I
c
c
c
c
c
c
y
x
y
x
y
x
min
=
−
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
+
=
=
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
+
=
=
Kąt φ
o
między osiami centralnymi x y i głównymi centralnymi osiami bezwładności
spełnia równanie:
c
c
(
)
4540
0
30
182
31
136
44
10
2
2
2
4
4
4
o
.
r
.
r
.
r
.
I
I
I
tg
c
c
c
c
y
x
y
x
−
=
−
−
⋅
−
=
−
⋅
−
=
ϕ
stąd
,
.
rad
4262
0
2
o
.
−
=
ϕ
rad
2131
0
o
.
−
=
ϕ
Główna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość
tworzy z osią
kąt
, natomiast główna oś bezwładności, względem której
moment bezwładności ma wartość
max
I
I
=
1
c
x
1
ϕ
min
I
I
=
2
tworzy z osią kąt
c
x
2
ϕ
.
W związku z tym, że
<
to:
c
x
I
c
y
I
rad
3577
1
rad
2
2131
0
2
o
1
.
π
.
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
π
+
ϕ
=
ϕ
, zaś rad
2131
0
o
2
.
−
=
ϕ
=
ϕ
.
x
y
O
C
c
x
c
y
1
ϕ
2
ϕ
Kierunek minimalnego
momentu bezwładności
Kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
3