Przykład 2.2. Figura złożona

Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury.

2r

2r

3r

3r

3r

3r

3r

O

2r

y

x

2r

2r

3r

3r

3r

3r

W celu wyznaczenia środka ciężkości oraz obliczenia wartości momentów

bezwładności i momentu dewiacyjnego przyjmujemy układ współrzędnych Oxy oraz
dzielimy rozpatrywaną figurę na cztery figury podstawowe.

3r

5r

O

3r

3r

2r

3r

x

I II

1

C

C

1

c

x

1

c

y

2

c

x

2

c

y

2

III

2

r

2

r

3

r

3

r

O

x

y

IV

4

C

3

c

x

3

c

y

4

c

x

c

y

4

3

C

y

8r

Obliczamy pola figur składowych i określamy współrzędne ich środków ciężkości.

( )

2

2

I

2

9

3

2

1

πr

r

π

A

=

⋅

⋅

=

,

π

r

π

r

x~

c

4

3

3

4

1

−

=

⋅

⋅

−

=

,

r

y~

c

5

1

−

=

2

II

40

8

5

r

r

r

A

=

⋅

=

,

r

r

x~

c

2

5

5

2

1

2

=

⋅

=

,

r

r

y~

c

4

8

2

1

2

−

=

⋅

−

=

( )

2

2

III

2

4

1

πr

r

π

A

=

⋅

⋅

=

,

π

r

π

r

x~

c

3

8

3

2

4

3

=

⋅

⋅

=

,

π

r

π

r

y~

c

3

8

3

2

4

3

−

=

⋅

⋅

−

=

2

IV

2

15

5

3

2

1

r

r

r

A

=

⋅

⋅

=

,

r

r

r

x~

c

4

3

3

2

2

4

=

⋅

+

=

,

r

r

y~

c

3

5

5

3

1

4

−

=

⋅

−

=

Całkowite pole figury wynosi:

2

2

2

2

2

IV

III

II

I

496

43

2

15

40

2

9

r

.

r

πr

r

πr

A

A

A

A

A

=

−

−

+

=

−

−

+

=

Moment statyczny względem osi

y wynosi:

3

2

2

2

2

4

IV

3

III

2

II

1

I

333

.

49

4

2

15

3

8

2

5

40

4

2

9

r

r

r

π

r

πr

r

r

π

r

r

x~

A

x~

A

x~

A

x~

A

S

c

c

c

c

y

=

⋅

−

⋅

−

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⋅

π

=

=

⋅

−

⋅

−

⋅

+

⋅

=

Moment statyczny względem osi

x wynosi:

(

)

(

)

3

2

2

2

2

4

IV

3

III

2

II

1

I

519

215

3

5

2

15

3

8

4

40

5

2

9

r

.

r

r

π

r

πr

r

r

r

r

y~

A

y~

A

y~

A

y~

A

S

c

c

c

c

x

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⋅

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⋅

−

−

⋅

+

−

⋅

π

=

=

⋅

−

⋅

−

⋅

+

⋅

=

Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej figury wynoszą odpowiednio:

r

.

r

.

r

.

A

S

x~

y

c

1342

1

496

43

333

49

2

3

=

=

=

oraz

r

.

r

.

r

A

S

~

x

c

9549

4

496

43

519

.

215

y

2

3

−

=

−

=

=

.

x

y

O

C

c

x

c

y

Wyznaczymy momenty bezwładności i moment dewiacyjny w układzie Oxy.

( )

(

)

( )

( )

( )

4

3

4

3

2

2

4

IV

III

II

I

18

1204

5

3

12

1

2

16

1

8

5

3

1

5

2

9

3

8

1

r

.

r

r

r

π

r

r

r

πr

r

π

I

I

I

I

I

x

x

x

x

x

=

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

⋅

+

−

⋅

+

⋅

=

=

−

−

+

=

( )

( )

( )

( )

( )

4

2

2

3

4

3

4

IV

III

II

I

25

238

4

2

15

3

5

36

1

2

16

1

5

8

3

1

3

8

1

r

.

r

r

r

r

r

π

r

r

r

π

I

I

I

I

I

y

y

y

y

y

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

⋅

+

⋅

=

=

−

−

+

=

(

)

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

4

2

2

2

4

2

2

2

IV

III

II

I

88

254

3

5

4

2

15

3

5

72

1

2

8

1

5

8

4

1

4

5

2

9

0

r

.

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

πr

I

I

I

I

I

xy

xy

xy

xy

xy

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⋅

⋅

+

⋅

⋅

−

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

−

⋅

⋅

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

−

⋅

−

⋅

+

=

=

−

−

+

=

Następnie wyznaczymy momenty bezwładności i moment dewiacyjny w układzie osi
centralnych x i y korzystając z przekształconych wzorów Steinera:

c

c

(

)

4

2

2

4

2

c

31

136

9549

4

496

43

18

1204

r

.

r

.

r

.

r

.

y~

A

I

I

x

x

c

=

−

⋅

−

=

⋅

−

=

(

)

4

2

2

4

2

c

30

182

1342

1

496

43

25

238

r

.

r

.

r

.

r

.

x~

A

I

I

y

y

c

=

⋅

−

=

⋅

−

=

2

(

)

4

2

4

c

c

44

10

9549

4

1342

1

496

43

88

254

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

y~

x~

A

I

I

xy

y

x

c

c

−

=

−

⋅

⋅

−

−

=

⋅

⋅

−

=

.

Momenty bezwładności względem głównych centralnych osi bezwładności osiągają

wartości:

(

)

4

2

4

2

4

4

4

4

2

2

1

56

184

44

10

2

30

182

31

136

2

30

182

31

136

2

2

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

I

I

I

I

I

I

I

c

c

c

c

c

c

y

x

y

x

y

x

max

=

−

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

+

=

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

+

=

=

(

)

4

2

4

2

4

4

4

4

2

2

2

05

134

44

10

2

30

182

31

136

2

30

182

31

136

2

2

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

I

I

I

I

I

I

I

c

c

c

c

c

c

y

x

y

x

y

x

min

=

−

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

+

=

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

+

=

=

Kąt φ

o

między osiami centralnymi x y i głównymi centralnymi osiami bezwładności

spełnia równanie:

c

c

(

)

4540

0

30

182

31

136

44

10

2

2

2

4

4

4

o

.

r

.

r

.

r

.

I

I

I

tg

c

c

c

c

y

x

y

x

−

=

−

−

⋅

−

=

−

⋅

−

=

ϕ

stąd

,

.

rad

4262

0

2

o

.

−

=

ϕ

rad

2131

0

o

.

−

=

ϕ

Główna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość

tworzy z osią

kąt

, natomiast główna oś bezwładności, względem której

moment bezwładności ma wartość

max

I

I

=

1

c

x

1

ϕ

min

I

I

=

2

tworzy z osią kąt

c

x

2

ϕ

.

W związku z tym, że

<

to:

c

x

I

c

y

I

rad

3577

1

rad

2

2131

0

2

o

1

.

π

.

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

=

π

+

ϕ

=

ϕ

, zaś rad

2131

0

o

2

.

−

=

ϕ

=

ϕ

.

x

y

O

C

c

x

c

y

1

ϕ

2

ϕ

Kierunek minimalnego
momentu bezwładności

Kierunek maksymalnego
momentu bezwładności

3