www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

ZADANIA

.

INFO

POZIOM ROZSZERZONY

24

KWIETNIA

2010

C

ZAS PRACY

: 180

MINUT

Z

ADANIE

1

(5

PKT

.)

W prostok ˛

atnym układzie współrz˛ednych zaznacz zbiór wszystkich punktów, których współ-

rz˛edne spełniaj ˛

a warunek

|

log

5

x

| + |

log

5

y

| =

1.

+1

+3

+5

x

-0.5

+1

+3

+5

y

Z

ADANIE

2

(3

PKT

.)

Do dwóch okr˛egów przecinaj ˛

acych si˛e w punktach A i B poprowadzono wspóln ˛

a styczn ˛

a

MN, przy czym punkt M nale ˙zy do pierwszego, a punkt N do drugiego okr˛egu. Wyka ˙z, ˙ze

prosta AB dzieli odcinek MN na połowy.

Z

ADANIE

3

(6

PKT

.)

Wyznacz najwi˛eksz ˛

a warto´s´c funkcji

f

(

x

) =

p

9

−

4 sin

2

2x

−

8 cos

2

x

−

3.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

1

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

4

(4

PKT

.)

Trójk ˛

at podzielono odcinkami AD, CE i DE na 5 trójk ˛

atów, przy czym

|

AE

|

:

|

EB

| =

2 : 1.

12

3

2

A

B

C

D

E

S

Korzystaj ˛

ac z podanych pól trzech z tych trójk ˛

atów, wyznacz pole trójk ˛

ata DEB.

Z

ADANIE

5

(4

PKT

.)

Malarz chc ˛

ac rozja´sni´c 20 litrów granatowej farby post ˛

apił w nast˛epuj ˛

acy sposób: odlał je-

den litr farby i dolał 1 litr farby białej, a potem cało´s´c dokładnie wymieszał. Procedur˛e t˛e
powtórzył w sumie 8 razy. Ile litrów granatowej farby pozostało w otrzymanej mieszaninie?
Wynik podaj z dokładno´sci ˛

a do 1 litra.

Z

ADANIE

6

(5

PKT

.)

W sfer˛e o promieniu R wpisano ostrosłup prawidłowy trójk ˛

atny w ten sposób, ˙ze wszystkie

wierzchołki ostrosłupa le ˙z ˛

a na powierzchni sfery. Wiedz ˛

ac, ˙ze kraw˛ed´z boczna ostrosłupa

ma długo´s´c 13, a kraw˛ed´z podstawy długo´s´c 5

√

3, oblicz R.

Z

ADANIE

7

(4

PKT

.)

Wyka ˙z, ˙ze równanie 1

−

2x

+

4x

2

−

8x

3

+

16x

4

=

0 nie ma rozwi ˛

aza ´n rzeczywistych.

Z

ADANIE

8

(6

PKT

.)

Punkty A

= (

4, 10

−

√

21

)

i B

= (

8, 10

+

√

21

)

s ˛

a wierzchołkami trójk ˛

ata prostok ˛

atnego

ABC, o k ˛

acie prostym przy wierzchołku C. Oblicz współrz˛edne wierzchołka C tego trójk ˛

ata,

wiedz ˛

ac, ˙ze le ˙zy on na paraboli o równaniu y

=

x

2

−

12x

+

33.

Z

ADANIE

9

(5

PKT

.)

Spo´sród wyrazów sko ´nczonego ci ˛

agu arytmetycznego

(

a

n

)

danego wzorem a

n

=

5n

+

8,

gdzie n

=

1, 2, . . . , 15 wybieramy losowo 3. Oblicz prawdopodobie ´nstwo, ˙ze iloczyn wybra-

nych liczb jest podzielny przez 3.

Z

ADANIE

10

(3

PKT

.)

Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli liczby a i b spełniaj ˛

a równo´s´c a

+

√

3

=

b

+

√

6 to przynajmniej jedna z nich

jest niewymierna.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

2

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

11

(5

PKT

.)

W trójk ˛

at prostok ˛

atny ABC o przyprostok ˛

atnych długo´sci

|

AC

| =

3 i

|

BC

| =

4 wpisano dwa

przystaj ˛

ace okr˛egi w ten sposób, ˙ze s ˛

a one wzajemnie styczne oraz jeden z nich jest styczny

do boków AB i BC, a drugi do boków AC i BC.

A

B

C

Oblicz długo´s´c promienia tych okr˛egów.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

3