13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

1

Zadanie 1

                    

   !   "   #  p  !!   $
figury i 9 blotek?

(A)



















16

52

4

13

4

p

(B)



















13

52

4

16

4

p

(C)



















































16

20

16

36

16

52

4

5

4

9

4

13

p

(D)

4

16

13

14

15

16









p

(E)

4

4

13

1











p

      

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

2

Zadanie 2

% &   '(!   & )

10

  (&*

20

  (&+

30

  (&,

x kul oznaczonych innymi literami alfabetu.

Losujemy ze zwracaniem 7 razy po jednej kuli z urny. Zmienne losowe

C

B

A

N

N

N

,

,

  &   (&# '(  * + ,

" - x , aby zmienne losowe

B

A

N

N



oraz

C

B

N

N



  nieskorelowane ?

(A)

25

x

(B)

20

x

(C)

15

x

(D)

10

x

(E)

50

x

      

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

3

Zadanie 3

. '!  !

,...

,...,

1

n

X

X

 &  !        

jednostajnym na przedziale

]

1

,

0

[

 /

N

  &   0 /

oczekiwanej

 !&

,...

,...,

1

n

X

X

. Niech











.

0

0

;

0

)

,...,

max(

1

N

gdy

N

gdy

X

X

M

N

Oblicz

)

(M

E

.

(A)

 e

M

E

)

(

(B)

1

)

(





e

e

M

E

(C)

e

e

M

E

1

)

(





(D)







e

M

E

1

1

)

(

(E)

1

)

(





M

E

      

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

4

Zadanie 4

Zmienne losowe

,...

,...,

,

2

1

n

I

I

I

i

,...

,...,

,

2

1

n

X

X

X

 & !1!  (

i

I ma

    # ) 

p

I

i



 )

1

Pr(

,

q

p

I

i









1

)

0

Pr(

 1! 

zmiennych

i

X

        #    !





)

(

i

X

E

i

2

)

(





i

X

Var

. Niech

i

n

i

i

n

X

I

S







1

,







n

i

i

n

I

K

1

.

. !/-   ' #  (  (

n

K

S

n

n





przy





n

.

(A)

)

,

0

(

2





N

n

K

S

n

n





(B)

)

,

0

(

2





p

N

n

K

S

n

n





(C)

)

,

0

(

2

2







pq

p

N

n

K

S

n

n







(D)

n

K

S

n

n





 & !  

(E)

)

,

0

(

2

2







q

p

N

n

K

S

n

n







      

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

5

Zadanie 5

. '!  !

2

1

,W

W

 &  !         

   

/

1

)

(



n

W

E

dla

2

,

1



n

. Niech

)

,

min(

2

1

W

W

X



.

Oblicz

)

|

(

1

X

W

E

.

(A)

1

)

|

(

1



 X

X

W

E

(B)

2

1

)

|

(

1



 X

X

W

E

(C)

2

/

1

)

|

(

1





X

X

W

E

(D)

1

)

|

(

1



X

W

E

(E) )

/

1

,

min(

)

|

(

1

X

X

W

E



Wskazówka:

    

X

W



1

.

      

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

6

Zadanie 6

. '!  !

n

m

m

X

X

X

X

,...,

,

,...,

1

1



   '&     

)

,

(

2





N

. Niech







m

i

i

m

X

m

X

1

1

 /&   /'2







n

i

i

n

X

n

X

1

1

 /&  '

Oblicz







































n

i

n

i

m

i

m

i

X

X

X

X

E

r

1

2

1

2

)

(

)

(

.

(A)

n

m

r



(B)

2

1







n

m

r

(C)

1





n

m

r

(D)

1

1







n

m

r

(E)

n

m

r

1





      

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

7

Zadanie 7

Niech

n

X

X ,...,

1

 '&   #  /











.

0

0

;

0

)

(

x

dla

x

dla

e

x

f

x

Parametr

0



jest nieznany. Niech







n

i

i

X

n

X

1

1

.

.3&  c !

2

)

( X

c

 

estymatorem wariancji pojedynczej

zmiennej

i

X .

(A)

n

n

c

1





(B)

n

n

c

1





(C)

1

c

(D) Nie istnieje taka liczba c

(E)

1





n

n

c

      

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

8

Zadanie 8

1!  (  (

100

2

1

,...,

,

X

X

X

     



2

,





N

   &

wart

/&  &  i 

 &

2

  . !  !  &  ! 

   '   / 

95

.

0

1



dla

 :





10

96

.

1

,

10

96

.

1









X

X

.

%   /  

100

2

1

,...,

,

X

X

X

& &    

&  

10

/

1

)

,

(



j

i

X

X

Corr

dla wszystkich

j

i

 .

4   /  



10

96

.

1

10

96

.

1

Pr

















X

X

c

.

5  /&do 0.01).


(A)

99

.

0

c

(B)

97

.

0

c

(C)

45

.

0

c

(D)

90

.

0

c

(E)

85

.

0

c

      

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

9

Zadanie 9

Niech X

    &  &     #  0 

dystrybuancie





















.

0

0

;

0

1

)

(

x

dla

x

dla

x

x

F

6 !      ( 

1

:

0



H

przeciwko alternatywie

101

:

1



H

na

  /

01

.

0



.

Wyznacz moc tego testu.

(A) moc

805

.

0

(B)

moc

005

.

0

(C)

moc

020

.

0

(D)

moc

915

.

0

(E) moc

505

.

0

      

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

10

Zadanie 10

6 ! #( 7

,...

,...

,

1

0

n

X

X

X

o trzech stanach: „1” , „2” i ,,3’’ który ma

 && #  /)























3

/

2

0

3

/

1

3

/

2

0

3

/

1

0

2

/

1

2

/

1

P

.

5 /  

ij

P

 &  i -tym wierszu i j -tej kolumnie tej macierzy oznacza

)

|

Pr(

1

i

X

j

X

n

n







8 . '!   ! 

6

/

1

)

1

Pr(

0





X

, 3

/

1

)

2

Pr(

0





X

i

2

/

1

)

3

Pr(

0





X

. Oblicz

)

2

|

1

Pr(

lim

1









n

n

X

X

.

(A) 5

/

2

)

2

|

1

Pr(

lim

1











n

n

X

X

(B) 6

/

1

)

2

|

1

Pr(

lim

1











n

n

X

X

(C) 36

/

13

)

2

|

1

Pr(

lim

1











n

n

X

X

(D) )

2

|

1

Pr(

lim

1









n

n

X

X

nie istnieje

(E) 3

/

1

)

2

|

1

Pr(

lim

1











n

n

X

X

      

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

11

XXV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 kwietnia 2002 r.

      

Arkusz odpowiedzi

*

9   ............................ K L U C Z O D P O W I E D Z I ..................................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

43 Punktacja

1 A

2 C

3 D

4 B

5 B

6 D

7 E

8 C

9 E

10 C

*

        szczone w Arkuszu odpowiedzi.