13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

1

Zadanie 1

! " # p !!$
figury i 9 blotek?

(A)

16

52

4

13

4

p

(B)

13

52

4

16

4

p

(C)

16

20

16

36

16

52

4

5

4

9

4

13

p

(D)

4

16

13

14

15

16

p

(E)

4

4

13

1

p

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

2

Zadanie 2

%& '(!&)

10

(&*

20

(&+

30

(&,

x kul oznaczonych innymi literami alfabetu.

Losujemy ze zwracaniem 7 razy po jednej kuli z urny. Zmienne losowe

C

B

A

N

N

N

,

,

& (&# '(* + ,

"- x , aby zmienne losowe

B

A

N

N

oraz

C

B

N

N

nieskorelowane ?

(A)

25

x

(B)

20

x

(C)

15

x

(D)

10

x

(E)

50

x

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

3

Zadanie 3

.'! !

,...

,...,

1

n

X

X

& !

jednostajnym na przedziale

]

1

,

0

[

/

N

&0/

oczekiwanej

!&

,...

,...,

1

n

X

X

. Niech

.

0

0

;

0

)

,...,

max(

1

N

gdy

N

gdy

X

X

M

N

Oblicz

)

(M

E

.

(A)

e

M

E

)

(

(B)

1

)

(

e

e

M

E

(C)

e

e

M

E

1

)

(

(D)

e

M

E

1

1

)

(

(E)

1

)

(

M

E

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

4

Zadanie 4

Zmienne losowe

,...

,...,

,

2

1

n

I

I

I

i

,...

,...,

,

2

1

n

X

X

X

&!1!(

i

I ma

#)

p

I

i

)

1

Pr(

,

q

p

I

i

1

)

0

Pr(

1!

zmiennych

i

X

# !

)

(

i

X

E

i

2

)

(

i

X

Var

. Niech

i

n

i

i

n

X

I

S

1

,

n

i

i

n

I

K

1

.

. !/- ' # ( (

n

K

S

n

n

przy

n

.

(A)

)

,

0

(

2

N

n

K

S

n

n

(B)

)

,

0

(

2

p

N

n

K

S

n

n

(C)

)

,

0

(

2

2

pq

p

N

n

K

S

n

n

(D)

n

K

S

n

n

&!

(E)

)

,

0

(

2

2

q

p

N

n

K

S

n

n

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

5

Zadanie 5

.'! !

2

1

,W

W

& !

/

1

)

(

n

W

E

dla

2

,

1

n

. Niech

)

,

min(

2

1

W

W

X

.

Oblicz

)

|

(

1

X

W

E

.

(A)

1

)

|

(

1

X

X

W

E

(B)

2

1

)

|

(

1

X

X

W

E

(C)

2

/

1

)

|

(

1

X

X

W

E

(D)

1

)

|

(

1

X

W

E

(E) )

/

1

,

min(

)

|

(

1

X

X

W

E

Wskazówka:

X

W

1

.

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

6

Zadanie 6

.'! !

n

m

m

X

X

X

X

,...,

,

,...,

1

1

'&

)

,

(

2

N

. Niech

m

i

i

m

X

m

X

1

1

/&/'2

n

i

i

n

X

n

X

1

1

/&'

Oblicz

n

i

n

i

m

i

m

i

X

X

X

X

E

r

1

2

1

2

)

(

)

(

.

(A)

n

m

r

(B)

2

1

n

m

r

(C)

1

n

m

r

(D)

1

1

n

m

r

(E)

n

m

r

1

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

7

Zadanie 7

Niech

n

X

X ,...,

1

'&#/

.

0

0

;

0

)

(

x

dla

x

dla

e

x

f

x

Parametr

0

jest nieznany. Niech

n

i

i

X

n

X

1

1

.

.3& c !

2

)

( X

c

estymatorem wariancji pojedynczej

zmiennej

i

X .

(A)

n

n

c

1

(B)

n

n

c

1

(C)

1

c

(D) Nie istnieje taka liczba c

(E)

1

n

n

c

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

8

Zadanie 8

1! ( (

100

2

1

,...,

,

X

X

X

2

,

N

&

wart

/& & i &

2

.! ! & !

'/

95

.

0

1

dla

:

10

96

.

1

,

10

96

.

1

X

X

.

%/

100

2

1

,...,

,

X

X

X

&&

&

10

/

1

)

,

(

j

i

X

X

Corr

dla wszystkich

j

i

.

4/

10

96

.

1

10

96

.

1

Pr

X

X

c

.

5/&do 0.01).


(A)

99

.

0

c

(B)

97

.

0

c

(C)

45

.

0

c

(D)

90

.

0

c

(E)

85

.

0

c

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

9

Zadanie 9

Niech X

& & # 0

dystrybuancie

.

0

0

;

0

1

)

(

x

dla

x

dla

x

x

F

6! (

1

:

0

H

przeciwko alternatywie

101

:

1

H

na

/

01

.

0

.

Wyznacz moc tego testu.

(A) moc

805

.

0

(B)

moc

005

.

0

(C)

moc

020

.

0

(D)

moc

915

.

0

(E) moc

505

.

0

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

10

Zadanie 10

6! #( 7

,...

,...

,

1

0

n

X

X

X

o trzech stanach: „1” , „2” i ,,3’’ który ma

&&#/)

3

/

2

0

3

/

1

3

/

2

0

3

/

1

0

2

/

1

2

/

1

P

.

5/

ij

P

& i -tym wierszu i j -tej kolumnie tej macierzy oznacza

)

|

Pr(

1

i

X

j

X

n

n

8 .'! !

6

/

1

)

1

Pr(

0

X

, 3

/

1

)

2

Pr(

0

X

i

2

/

1

)

3

Pr(

0

X

. Oblicz

)

2

|

1

Pr(

lim

1

n

n

X

X

.

(A) 5

/

2

)

2

|

1

Pr(

lim

1

n

n

X

X

(B) 6

/

1

)

2

|

1

Pr(

lim

1

n

n

X

X

(C) 36

/

13

)

2

|

1

Pr(

lim

1

n

n

X

X

(D) )

2

|

1

Pr(

lim

1

n

n

X

X

nie istnieje

(E) 3

/

1

)

2

|

1

Pr(

lim

1

n

n

X

X

13.04.2002

r

.

___________________________________________________________________________

11

XXV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 kwietnia 2002 r.

Arkusz odpowiedzi

*

9 ............................ K L U C Z O D P O W I E D Z I ..................................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

43 Punktacja

1 A

2 C

3 D

4 B

5 B

6 D

7 E

8 C

9 E

10 C

*

szczone w Arkuszu odpowiedzi.