22

ODBICIE ŚWIATŁA ZWIERCIADŁO PŁASKIE

Z punktu P wybiegają promienie świetlne w różnych kierunkach. Część z nich
trafia na zwierciadło płaskie. Promienie te ulegają odbiciu zgodnie z prawem
odbicia. Oznacza to, że kąt padania jest równy kątowi odbicia.

Do oka obserwatora wpada wiązka rozbieżna, która zdaje się wychodzić z punktu
P

′

. Obraz punktu P, jaki widzi obserwator nazywamy pozornym. Powstaje on w

miejscu przecięcia się przedłużeń promieni świetlnych.

Zaznaczone

trójkąty

są

przystające, bowiem mają wspólny jeden bok i równe kąty przylegające do tego
boku. Wynika stąd, że pozorny obraz punktu P powstaje w takiej odległości za

zwierciadłem, w jakiej przedmiot jest
przed zwierciadłem.

P

P

′

P

P

′′′′

P

1

P

′′′′

2

P

′′′′

1

P

P

2

poziom oczu

23

ZWIERCIADŁA KULISTE

1. Ogniskowanie promieni świetlnych .

Zwierciadło kuliste wklęsłe stanowi część powierzchni kulistej wypolerowana tak, że
może odbijać promienie świetlne. Prosta przechodząca przez środek czaszy
zwierciadła i środek krzywizny zwierciadła (O) jest nazywana osią optyczną
zwierciadła. Wiązka promieni równoległych do osi optycznej zwierciadła kulistego
wklęsłego po odbiciu od zwierciadła zostaje skupiona w jednym punkcie, w ognisku
zwierciadła (F). odległość ogniska od zwierciadła stanowi jego ogniskową (f).

Promienie równoległe do osi optycznej zwierciadła kulistego wklęsłego po odbiciu
od zwierciadła tworzą wiązkę rozbieżną, przy czym przedłużenia tych promieni
przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy pozornym ogniskiem
zwierciadła

2. Związek ogniskowej z promieniem krzywizny zwierciadła .

((((

))))

cos

αααα ====

−−−−

r

r

f

2

r

f

r

−−−− ====

2cos

αααα

Obrazy wytworzone przez dwa

zwierciadła tworzące kąt

α

Powstawanie obrazu człowieka stojącego

przed zwierciadłem.

O r F

f

F

O

f

αααα

αααα

αααα

O

r/2

F

r-f

24

f

r

r

==== −−−−

2cos

αααα

αααα ≈≈≈≈

⇒

⇒

⇒

⇒

0

f

r

≈≈≈≈

2

3. Aberracja sferyczna zwierciadła .

Ponieważ ogniskowa zwierciadła sferycznego zależy od kąta padania promieni
ś

wietlnych, więc ognisko zwierciadła nie jest punktem. Aby powyższa wada nie była

istotna, zwykle wykorzystuje się jedynie środkowy fragment zwierciadła

4. Promienie użyteczne w konstrukcji obrazu .

F

O

O

F

P

F O

P’

P

P’

O

F

25

5. Równanie zwierciadła.

Rozwiązując powyższy układ
równań mamy:

y

x

y

f

f

x

==== −−−−

−−−−

2

2

2 f y - x y = x y - 2 f x

2 f y + 2 f x = 2 x y



: 2 x y f

1

1

1

x

y

f

++++ ====

- równanie zwierciadła

p

b

a

y

x

==== ====

- powiększenie

5. Zależność y ( x).

Równanie zwierciadła określa zależność między odległością obrazu od zwierciadła
(y) i odległością przedmiotu od zwierciadła (x). Dla zwierciadła wklęsłego
otrzymujemy:

1

1

1

x

y

f

++++ ====

y

xf

x

f

====

−−−−

Dla zwierciadła kulistego wypukłego, którego ogniskowa ma wartość ujemną
równanie zwierciadła przyjmuje postać:

1

1

1

x

y

f

++++ ==== −−−−

a

x

b

2f
y

Korzystając z podobieństwa zaznaczonych
trójkątów otrzymujemy:

b

a

y

x

b

a

y

f

f

x

====

==== −−−−

−−−−











































2

2

26

y

xf

x

f

==== −−−−

++++

Zależności te przedstawiają poniższe wykresy:

Korzystając z tych wykresów można uzyskać istotne informacje o cechach obrazu
wytworzonego przez zwierciadło sferyczne:
Jeśli y

>>>>

0

, to obraz jest rzeczywisty .

Jeśli y

<<<<

0 , to obraz jest pozorny .

Porównanie (y) i ( x) pozwala ocenić, czy obraz jest powiększony, czy
pomniejszony.

ZWIERCIADŁO PARABOLICZNE

Zwierciadło takie stanowi wewnętrzna część wypolerowanej powierzchni tzw.
paraboloidy obrotowej. Jest to bryła, która powstaje w wyniku obrotu paraboli
wokół jej osi geometrycznej.

y

f

f

x

y

-f

x

-f

27

Wszystkie promienie równoległe do osi optycznej zwierciadła przecinają się w jego
ognisku . Zwierciadło to nie ma wady aberracji sferycznej.

ZWIERCIADŁO ELIPTYCZNE

Zwierciadło takie ma kształt elipsoidy obrotowej. Jest to bryła, która powstaje w
wyniku obrotu elipsy.

Wszystkie promienie wychodzące z jednego ogniska zwierciadła, po odbiciu od jego
powierzchni zostają skupione w drugim ognisku.

ZWIERCIADŁO HIPERBOLICZNE

Zwierciadło takie ma kształt hiperboloidy obrotowej. Jest to bryła , która powstaje w
wyniku obrotu hiperboli wokół jej osi geometrycznej.

28

Wszystkie promienie zbieżne w jednym ognisku ,po odbiciu od powierzchni
zwierciadła zostają skupione w drugim ognisku . Zwierciadło jest stosowane do
zamiany wiązki silnie zbieżnej na wiązkę o mniejszej zbieżności.

WSPÓŁCZYNNIK ZAŁAMANIA

1. Bezwzględny współczynnik załamania.

Bezwzględnym współczynnikiem załamania danego ośrodka nazywamy stosunek
prędkości światła w próżni do prędkości światła w danym ośrodku.

n

C

V

====

====

sin

sin

αααα

ββββ

2. Współczynnik załamania jednego ośrodka względem drugiego .

n

V

V

C

V

C

V

n

n

2 1

1

2

2

1

2

1

/

sin

sin

====

====

====

====

αααα

ββββ

n

n

n

2 1

2

1

/

====

CAŁKOWITE WEWNĘTRZNE ODBICIE KĄT GRANICZNY

Jeśli światło pada na granicę ośrodków od strony ośrodka o większym

współczynniku załamania, to kąt padania jest
mniejszy od kąta załamania. Przy pewnym
kącie padania

γγγγ

promień wychodzący ślizga

się po powierzchni granicznej Jeśli kąt
padania jest jeszcze większy, to ma miejsce
odbicie

promienia

od

powierzchni

C

próżnia

α

αα

α

ββββ

ośrodek

V

V

1

ośrodek I

α

αα

α

ββββ

ośrodek II

V

2

1

C

2

V n

γ

3

3

2 1

29

granicznej. Zjawisko to nazywamy całkowitym wewnętrznym odbiciem, a kąt

γ

γ

γ

γ

kątem granicznym.

sin

sin

90

o

γγγγ

====

n

sin

γγγγ ====

1

n

Kąt graniczny dla szkła jest mniejszy od 45

o

. Całkowite wewnętrzne odbicie

znajduje zastosowanie w światłowodach , oraz w pryzmatach odbijających światło.

światłowód

pryzmat prostokątny odbijający światło

PRZECHODZENIE ŚWIATŁA JEDNOBARWNEGO PRZEZ PRYZMAT

Pryzmat jest bryłą przeźroczystą , której dwie ściany tworzą kąt

ϕ .

Promień światła

pada na pryzmat pod kątem

α .

Promień ten załamuje się na pierwszej ścianie

pryzmatu, a następnie biegnie do drugiej ściany pryzmatu, gdzie załamuje się
ponownie. Przechodząc przez pryzmat zostaje odchylony o kąt

ϑ.

Bieg promienia świetlnego w pryzmacie ilustruje poniższy rysunek.

Korzystając z twierdzenia o kącie zewnętrznym w trójkącie otrzymujemy :

1

2

2

1

δ−γ

δ−γ

δ−γ

δ−γ

α−β

α−β

α−β

α−β

ϕϕϕϕ

δδδδ

ββββ

ϕϕϕϕ

γγγγ

αααα

ϑϑϑϑ

30

ϑ = α − β + δ − γ

ϑ = α − β + δ − γ

ϑ = α − β + δ − γ

ϑ = α − β + δ − γ

ϑ = α + δ −( β + γ )

ϑ = α + δ −( β + γ )

ϑ = α + δ −( β + γ )

ϑ = α + δ −( β + γ )

; β + γ = ϕ

; β + γ = ϕ

; β + γ = ϕ

; β + γ = ϕ

ϑ = α

ϑ = α

ϑ = α

ϑ = α + δ − ϕ

+ δ − ϕ

+ δ − ϕ

+ δ − ϕ

αααα ====

S

r

sin

αααα ====

h

r

tg

H

r

αααα ====

S = h = H ⇒

⇒

⇒

⇒

α =

α =

α =

α =

sin

α =

α =

α =

α =

tg

αααα

Dla małych kątów :

n

==== αααα

ββββ

; n

==== δδδδ

γγγγ

ϑ =

ϑ =

ϑ =

ϑ =

n

β +

β +

β +

β +

n

γ − ϕ

γ − ϕ

γ − ϕ

γ − ϕ

= n (

β + γ ) − ϕ ; β + γ = ϕ

β + γ ) − ϕ ; β + γ = ϕ

β + γ ) − ϕ ; β + γ = ϕ

β + γ ) − ϕ ; β + γ = ϕ

Można wykazać , że jeśli promień świetlny biegnie przez pryzmat symetrycznie , to
kąt odchylenia tego promienia jest najmniejszy.

ϑ = ϑ

ϑ = ϑ

ϑ = ϑ

ϑ = ϑ

min

⇔

⇔

⇔

⇔

α = δ ; β = γ

α = δ ; β = γ

α = δ ; β = γ

α = δ ; β = γ

ϑϑϑϑ

min

= 2

α − δ

α − δ

α − δ

α − δ

2 β = ϕ

2 β = ϕ

2 β = ϕ

2 β = ϕ

αααα

ϑϑϑϑ

ϕϕϕϕ

====

++++

min

2

ββββ ϕϕϕϕ

====

2

współczynnik załamania materiału pryzmatu :

n

====

sin

sin

αααα

ββββ

ϑ = (

ϑ = (

ϑ = (

ϑ = (

n - 1 )

ϕϕϕϕ

S

r

h H

r

31

n

====

++++

sin

sin

min

ϑϑϑϑ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

2

2

Wyznaczając doświadczalnie

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

min

i

ϕϕϕϕ

można zatem wyznaczyć współczynnik

załamania materiału, z którego wykonano pryzmat.
Współczynnik załamania zależy od barwy światła i jest największy dla barwy
fioletowej, a najmniejszy - dla czerwonej. Ponieważ kąt odchylenia zależy od
współczynnika załamania, stąd pryzmat rozszczepia światło.

Ś

wiatło białe przechodząc przez pryzmat tworzy wachlarz barw nazywany widmem

ś

wiatła.

SOCZEWKI

Soczewka jest bryłą przeźroczystą ograniczoną przez dwie powierzchnie sferyczne ,
lub jedną powierzchnię sferyczną a drugą płaską .Przekrój soczewki ma
charakterystyczny kształt :

promień fioletowy

promień czerwony

Światło białe

soczewki wypukłe soczewki wklęsłe

32

1. Ogniskowanie promieni świetlnych .

Promienie świetlne po przejściu przez soczewkę skupiającą przecinają się w jednym
punkcie. Punkt ten nazywamy ogniskiem ( F ). Odległość ogniska od soczewki
nazywamy ogniskową.
Promienie przechodzące przez soczewkę rozpraszającą tworząc wiązkę rozbieżną , a
przedłużenia tych promieni przecinają się w punkcie zwanym ogniskiem pozornym .

2. Promienie użyteczne w konstrukcji obrazu.

3. Równanie soczewki.

Korzystając

z podobieństwa zaznaczonych trójkątów otrzymujemy:

b

a

y

x

====

F

F

P

P

F

P’

F

F

F

P’

a

f

y

x

b

33

b

a

y

f

f

==== −−−−

y

x

y

f

f

yf

xf

xy

==== −−−−

⇒

⇒

⇒

⇒

++++

====

1

1

1

x

y

f

++++ ====

-

równanie soczewki

p

y

x

b

a

==== ====

-

powiększenie

4. Związek ogniskowej z promieniami krzywizny i współczynnikiem załamania.

Promień świetlny wychodzi z punktu P i tworzy obraz w punkcie O.

Przyjmując , że soczewka odchyla promienie podobnie jak pryzmat otrzymujemy :

ϑ = (

ϑ = (

ϑ = (

ϑ = (

n - 1 )

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

Korzystając z twierdzenia o kącie zewnętrznym w trójkącie otrzymujemy :

α + β = (

α + β = (

α + β = (

α + β = (

n - 1 ) (

β + γ )

β + γ )

β + γ )

β + γ )

Jeśli kąty

α , β , γ , δ ,

α , β , γ , δ ,

α , β , γ , δ ,

α , β , γ , δ ,

są niewielkie , to:

((((

))))

h

x

h

y

n

h

r

h

r

++++ ====

−−−−

++++











1

1

2

ϕϕϕϕ

h

r

1

r

2

P

x

y

γγγγ

ϑ

ϑϑ

ϑ

ϕϕϕϕ

α

αα

α

ββββ

δδδδ

O

34

((((

))))

1

1

1

1

1

1

2

x

y

n

r

r

++++ ====

−−−−

++++











((((

))))

1

1

1

1

1

2

f

n

r

r

====

−−−−

++++











Jeśli soczewka o współczynniku załamania

n

s

znajduje się w ośrodku o

współczynniku załamania

n

0

, to powyższa zależność przyjmuje postać:

1

1

1

1

1

2

f

n

n

r

r

s

o

====

−−−−











++++











5 . Zdolność skupiająca soczewki i układu soczewek.

Miarą zdolności skupiającej soczewki jest odwrotność jej ogniskowej:

D

f

====

1

Zdolność skupiająca soczewki w dioptriach jest odwrotnością jej ogniskowej
wyrażonej w metrach.

Jeśli obraz wytworzony przez pierwszą soczewkę stanowi przedmiot dla drugiej
soczewki, to muszą być spełnione równania obu soczewek.

1

1

1

1

1

x

y

f

++++

====

1

1

1

1

2

d

y

y

f

−−−−

++++ ====

Powyższy układ równań jest spełniony zawsze , niezależnie od wartości

f

1

, f

2

, x

i

d

.

W szczególności, gdy

d = O

otrzymujemy:

d

y

1

x

y

f

1

f

2

35

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

x

y

f

y

y

f

++++

====

−−−−

++++ ====





































1

1

1

1

1

2

x

y

f

f

++++ ====

++++

1

1

1

1

2

f

f

f

u

====

++++

Zdolność skupiająca układu soczewek przylegających do siebie stanowi zatem sumę
zdolności skupiających poszczególnych soczewek.

D

u =

D

1

+ D

2

OKO

Gałka oczna ma średnicę około

24 mm

. Za tęczówką znajduje się soczewka.

Soczewka ma średnicę około

10 mm

i grubość

4 mm

. Składa się ona z kilku warstw

o współczynnikach załamania od

1,386

do

1,406

. Zdolność skupiająca oka wynosi

w przybliżeniu

63

dioptrie, w tym soczewka ok.

20

dioptrii. Obraz przedmiotu

powstaje na siatkówce. Warstwa światłoczuła zawiera około

130 milionów

pręcików

czułych na światło, oraz około

7 milionów

czopków czułych na barwę. Czopki

rozmieszczone są głównie w centralnej części oka , w tzw. żółtej plamce.
Jeśli przedmiot jest w odległości

X

od oka, to aby obraz na siatkówce był wyraźny

musi być spełnione równanie:

1

1

1

0

x

a

f

++++ ====

Zmiana odległości przedmiotu od oka powoduje zmianę ogniskowej układu
optycznego. Umożliwia to mięsień rzęskowy, który zmienia kształt soczewki.Tę
własność oka nazywamy zdolnością akomodacji. Odległość przedmiotu od oka, przy
której oko się nie męczy nazywamy odległością dobrego widzenia. Jej wartość dla
zdrowego oka wynosi

25 cm

. Oświetlenie siatkówki reguluje tęczówka.

x

a

36

Wrażenie świetlne w oku może powstać już wtedy gdy przez źrenicę przenika około
1000 fotonów światła widzialnego w ciągu sekundy.

LUPA

Ilość szczegółów przedmiotu, jakie potrafimy rozróżnić, zależy od kąta widzenia.

Jeśli przedmiot znajduje się w odległości dobrego widzenia, jest widoczny pod
kątem

αααα

. W wyniku zbliżenia przedmiotu do oka zwiększa się kąt widzenia

ββββ

, ale

oko nie jest w stanie przystosować się i obraz staje się niewyraźny. Lupa
umieszczona przed okiem zwiększa zdolność skupiającą układu i obraz staje się
znowu ostry. Patrząc przez lupę widzimy obraz przedmiotu ponownie w odległości
dobrego widzenia . Powiększenie lupy wynosi:

p

h

x
h

d

d

x

====

====

====

ββββ

αααα

z równania lupy:

1

1

1

x

d

f

x

df

d

f

−−−− ====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

++++

p

d

f

f

==== ++++

p

d

f

==== ++++

1

p

d

f

≈≈≈≈

Przy pomocy lupy można otrzymać powiększenie kilkakrotne. Maksymalne
powiększenie jakie można uzyskać za pomocą lupy złożonej z kilku soczewek
sięga 20.

MIKROSKOP

f

h

h

αααα

ββββ

d

x

37

Obiektyw i okular mikroskopu są rozmieszczone na wspólnej osi optycznej w

odległości wzajemnej

1

. (

1

- długość tubusa

mikroskopu ).
Niewielki przedmiot umieszczony w odległości

x

od obiektywu zostaje dobrze oświetlony.

Obiektyw wytwarza obraz rzeczywisty tego
przedmiotu w odległości

y

od obiektywu.

Okular wytwarza powiększony i pozorny obraz
przedmiotu w odległości dobrego widzenia

d

.

Powiększenie

mikroskopu

jest

iloczynem

powiększenia obiektywu i okularu. Muszą być
spełnione równania obiektywu i okularu.

1

1

1

x

y

f

ob

++++ ====

1

1

1

l

y

d

f

ok

−−−−

−−−− ====

p

y

x

d

l

y

==== ⋅⋅⋅⋅

−−−−

Rozwiązując powyższy układ równań można określić powiększenie mikroskopu w
zależności od

f

ob

, f

ok

, l

i

d

. Zwykle jednak stosuje się rozwiązanie przybliżone,

wykorzystując zależności:

x

≈≈≈≈

f

ob

y

≈≈≈≈

l - f

ok

p

l

f

f

d

f

ok

ob

ok

≈≈≈≈

−−−−

⋅⋅⋅⋅

f

ok

<<<<<<<<

l ⇒

⇒

⇒

⇒

p

ld

f

f

ob

ok

====

⋅⋅⋅⋅

LUNETA ASTRONOMICZNA (Keplera )

Lunetę stanowi układ dwóch soczewek - obiektywu i okularu, umieszczonych na
wspólnej osi optycznej. Obiektywem jest soczewka skupiająca o możliwie dużej
ś

rednicy i długiej ogniskowej. Okular jest soczewką o krótkiej ogniskowej i pełni

funkcję lupy.
Promienie światła dobiegające z bardzo odległego obiektu trafiają do obiektywu

f

ok

l

d

y

f

ob

x

αααα

α

α

α

α

d

β

β

β

β

h

f

ob

f

ok

38

lunety pod niewielkim kątem

αααα

i tworzą obraz obiektu praktycznie w ognisku

obiektywu . Okular daje ostateczny obraz pozorny w odległości dobrego widzenia,
widoczny pod kątem

ββββ.

Powiększenie kątowe lunety wynosi:

p

h

f

h

f

ok

ob

====

====

ββββ

αααα

p

f

f

ob

ok

====

Oprócz powiększenia kątowego luneta zapewnia większą jasność obrazu , ponieważ
do obiektywu lunety trafia dużo więcej promieni świetlnych niż mogło by trafić
bezpośrednio do źrenicy oka. Dlatego właśnie przez lunetę widać gwiazdy
niewidoczne gołym okiem.

Układ optyczny lunety astronomicznej
jest stosowany w lornetce . Układ
pryzmatów służy w niej do odwrócenia
obrazu, a jednocześnie pozwala na
skrócenie układu optycznego.

LUNETA ZIEMSKA ( Galileusza )

W tej lunecie okularem jest soczewka rozpraszająca.

Aby uzyskać ostateczny obraz pozorny i powiększony, obraz pośredni, który
powstaje niemal w ognisku obiektywu, musi wypaść za okularem, w odległości nieco
większej od wartości ogniskowej okularu. Układ optyczny lunety Galileusza ma
długość w przybliżeniu równą różnicy ogniskowych obiektywu i okularu i jest
stosowany w lornetce teatralnej.

SPEKTROSKOP

Urządzenie to służy do
otrzymywania

widma

ś

wiatła. Przed szczeliną

d

ϕϕϕϕ

39

kolimatora ustawia się źródło światła , którego skład widmowy trzeba ustalić.
Szczelina kolimatora jest w ognisku soczewki skupiającej, dzięki czemu na

pryzmat

pada wiązka równoległa. W wyniku rozszczepienia, wiązka ta dzieli się na tyle
wiązek równoległych ile barw zawiera analizowane światło. Wiązki te trafiają do
obiektywu lunetki obserwacyjnej, gdzie w płaszczyźnie ogniskowej obiektywu
powstaje tyle obrazów szczeliny spektroskopu, ile jest barw w badanym świetle.
Widmo światła stanowi seria barwnych prążków, z których każdy jest obrazem
wąskiej szczeliny kolimatora.