Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 27

27. Optyka geometryczna i falowa

27.1 Wstęp

27.1.1 Odbicie i załamanie

Przypomnienie kilku podstawowych wiadomości:
• współczynnik załamania; bezwzględny i względny

n = c/

v

, n

2,1

=

v

1

/

v

2

(27.1)

• prawo odbicia i załamania: promień odbity i załamany leżą w jednej płaszczyźnie
utworzonej przez promień padający i prostopadłą do powierzchni odbijającej w punkcie
padania (normalna padania) tzn. w płaszczyźnie rysunku poniżej.

normalna

Promień odbity

Promień załamany

Promień padający

θ

1

θ

1

’

θ

2

Czoło fali płaskiej

• dla odbicia

θ

1

=

θ

1

’

• dla załamania

1

,

2

2

1

sin

sin

n

=

θ

θ

Prawa te można wyprowadzić z równań Maxwella, ale jest to matematycznie zbyt trud-
ne. Jednak te prawa optyki można wyprowadzić w oparciu o prostą (ale ważną) zasadę
odkrytą w 1650 r przez Pierre Fermata.

27.1.2 Zasada Fermata

Zasadę tę formułujemy w następujący sposób:

Promień świetlny biegnący z jednego punktu do drugiego przebywa drogę, na której
przebycie trzeba zużyć w porównaniu z innymi, sąsiednimi drogami, minimum albo
maksimum czasu

.

Np. najkrótszy czas między dwoma punktami w próżni - linia prosta.

27-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Z tej zasady można wyprowadzić prawa odbicia i załamania.
Na rysunku są przedstawione dwa punkty A i B oraz łączący je promień APB.

A

B

d-x

x

P

d

a

b

θ

1

’

θ

1

’

θ

1

θ

1

Całkowita długość drogi promienia wynosi

2

2

2

2

)

(

x

d

b

x

a

l

−

+

+

+

=

gdzie x jest zmienną zależną od położenia punktu P (punkt odbicia promienia).
Zgodnie z zasadą Fermata punkt P (zmienną x) wybieramy tak, żeby czas przebycia
drogi APB był minimalny (lub maksymalny, lub niezmieniony). Matematycznie ozna-
cza to warunek

0

d

d =

x

l

czyli

0

)

1

)(

(

2

]

)

(

[

2

1

2

)

(

2

1

d

d

2

/

1

2

2

2

/

1

2

2

=

−

−

−

+

+

+

=

−

−

x

d

x

d

b

x

x

a

x

l

lub przekształcając

2

2

2

2

)

(

x

d

b

x

d

x

a

x

−

+

−

=

+

Porównując z rysunkiem widzimy, że jest to równoważne zapisowi

sin

θ = sinθ’

czyli

θ = θ’

co jest prawem odbicia.

Podobnie postępujemy w celu wyprowadzenia prawa załamania. Rozpatrzmy sytuację
przedstawioną na rysunku poniżej.

27-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

A

B

P

d

v

2

v

1

n

2

n

1

x

d-x

l

1

l

2

θ

1

θ

1

θ

2

θ

2

a

b

Czas t, przelotu światła, z A do B dany jest wzorem

2

2

1

1

v

v

l

l

t

+

=

Uwzględniając n = c/

v

możemy przepisać to równanie w postaci

c

l

c

l

n

l

n

t

=

+

=

2

2

1

1

Wielkość l = n

1

l

1

+ n

2

l

2

nazywamy

drogą optyczną promienia

(nie mylić z drogą geo-

metryczną równą l

1

+ l

2

). Ponownie dobieramy x (punkt P), aby droga l była minimalna

czyli, aby dl/dx = 0. Ponieważ droga optyczna wynosi

2

2

2

2

2

1

2

2

1

1

)

(

x

d

b

n

x

a

n

l

n

l

n

l

−

+

+

+

=

+

=

otrzymujemy

0

)

1

)(

(

2

]

)

(

[

2

1

2

)

(

2

1

d

d

2

/

1

2

2

2

2

/

1

2

2

1

=

−

−

−

+

+

+

=

−

−

x

d

x

d

b

n

x

x

a

n

x

l

lub po przekształceniu

2

2

2

2

2

1

)

(

x

d

b

x

d

n

x

a

x

n

−

+

−

=

+

Porównując to z rysunkiem otrzymujemy

n

1

sin

θ

1

= n

2

sin

θ

2

co jest prawem załamania.
W omawianych obu przypadkach czas (i droga) był minimalny.

27-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

27.2 Warunki stosowalności optyki geometrycznej

Omawiając odbicie i załamanie fal (płaskich) posługiwaliśmy się pojęciem

promie-

nia

. Ta wygodna konstrukcja myślowa przydatna do opisu tych zjawisk nie jest pomoc-

na przy opisie

ugięcia światła

(fal) gdyż niemożliwe jest wydzielenie pojedynczego

promienia z padającej fali płaskiej. Żeby to sprawdzić prześledźmy zachowanie fali pła-
skiej padającej na szczeliny o różnej szerokości. To zachowanie jest przedstawione
schematycznie na rysunku poniżej dla szczelin o szerokości a = 5

λ, a = 3λ oraz a = λ.

a=5

λ

a=3

λ

a=

λ

Widzimy, że ugięcie staje się coraz bardziej wyraźne gdy a/

λ → 0.

To ugięcie jest charakterystyczne dla

wszystkich rodzajów fal

. Dzięki temu możemy np.

słyszeć fale głosowe znajdując się za załomem muru.
Ugięcie fal na szczelinie (albo przeszkodzie) wynika z zasady Huyghensa.

27.2.1 Zasada Huyghensa

W tej teorii światła podanej przez Christiana Huyghensa w 1678 r. zakłada się, że
światło jest falą ( a nie strumieniem cząstek). Nie wspomina ona o elektromagnetycz-
nym charakterze światła ani nie wyjaśnia, że światło jest falą poprzeczną. Teoria Huy-
ghensa oparta jest na konstrukcji geometrycznej (zwanej zasadą Huyghensa), która po-
zwala przewidzieć gdzie znajdzie się czoło fali w dowolnej chwili w przyszłości, jeżeli
znamy jej obecne położenie. Zasada ta głosi, że

wszystkie punkty czoła fali można uwa-

27-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

żać za źródła nowych fal kulistych. Położenie czoła fali po czasie t będzie dane przez
powierzchnię styczną do tych fal kulistych

. Poniżej przedstawiony jest na rysunku ele-

mentarny przykład obrazujący, za pomocą elementarnych fal Huyghensa, rozchodzenie
się fali płaskiej w próżni.

ct

czoło fali

w chwili

t = 0

nowe położenie

czoła fali

Dane jest czoło fali płaskiej w próżni. Zgodnie z zasadą Huyghensa kilka dowolnie wy-
branych punktów na tej powierzchni traktujemy jako źródła fal kulistych. Po czasie t
promienie tych kul będą równe ct, gdzie c jest prędkością światła. Powierzchnia styczna
do tych kul po czasie t jest nową powierzchnią falową. Oczywiście powierzchnia falo-
wa fali płaskiej jest płaszczyzną rozchodzącą się z prędkością c.
Uwaga: Można by oczekiwać ( w oparciu o tę zasadę), że wbrew obserwacji fala Huy-
ghensa może się rozchodzić zarówno do tyłu jak i do przodu. Tę „trudność” w modelu
eliminuje się poprzez założenie, że natężenie tych fal kulistych (Huyghensa) zmienia się
w sposób ciągły od maksimum dla kierunku „w przód” do zera dla kierunku „w tył”.
Metoda Huyghensa daje się zastosować jakościowo do

wszelkich zjawisk falowych

.

Można przedstawić za pomocą fal elementarnych Huyghensa zarówno odbicie fal jak
i ich załamanie.
My zastosujemy je do wyjaśnienia ugięcia fal na szczelinie (przeszkodzie).
Rozpatrzmy czoło fali dochodzącej do szczeliny. Każdy jej punkt możemy potraktować
jako źródło fal kulistych Huyghensa. Jednak przez szczelinę przechodzi tylko część fal.
Fale leżące poza brzegami szczeliny zostają wyeliminowane i z tym jest związane zagi-
nanie wiązki w obszar tzw. cienia geometrycznego. Szczegóły dotyczące fal ugiętych
zostaną przedstawione dokładnie w dalszych wykładach. Tutaj zwróćmy jedynie uwagę
na to, że gdy szerokość szczeliny staje się duża (w stosunku do długości fali) a >>

λ to

ugięcie można zaniedbać. Wydaje się, że światło rozchodzi się po liniach prostych co

27-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

można przedstawić w postaci promieni podlegających prawom odbicia i załamania.
Mówimy, że mamy do czynienia z

optyką geometryczną

.

Warunkiem stosowalności optyki geometrycznej jest więc aby wymiary liniowe
wszystkich obiektów (soczewek, pryzmatów, szczelin itp.) były o wiele większe od dłu-
gości fali.
Jeżeli tak nie jest to nie możemy przy opisie światła posługiwać się promieniami, lecz
trzeba wziąć pod uwagę

falowy charakter światła

. Widać jak znaczące jest ugięcie fali

gdy szczelina ma rozmiar porównywalny z długością fali.
Mamy wtedy do czynienia z

optyką falową

.

Optyka geometryczna jest więc szczególnym (granicznym) przypadkiem optyki falo-
wej.
Zajmiemy się teraz właśnie optyką falową.

27-6