Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

27-1

Wykład 27

27. Optyka geometryczna i falowa

27.1 Wstęp

27.1.1 Odbicie i załamanie

Przypomnienie kilku podstawowych wiadomości:

•

współczynnik załamania; bezwzględny i względny

n = c/v, n

2,1

= v

1

/v

2

(27.1)

•

prawo odbicia i załamania: promień odbity i załamany leżą w jednej płaszczyźnie

utworzonej przez promień padający i prostopadłą do powierzchni odbijającej w punkcie
padania (normalna padania) tzn. W płaszczyźnie rysunku poniżej.

•

dla odbicia

θ

1

=

θ

1

’

•

dla załamania

1

,

2

2

1

sin

sin

n

=

θ

θ

Prawa te można wyprowadzić z równań Maxwella, ale jest to matematycznie zbyt trud-
ne. Jednak te prawa optyki można wyprowadzić w oparciu o prostą (ale ważną) zasadę
odkrytą w 1650 r przez Pierre Fermata.

27.1.2 Zasada Fermata

Zasadę tę formułujemy w następujący sposób:

Promień świetlny biegnący z jednego punktu do drugiego przebywa drogę, na której
przebycie trzeba zużyć w porównaniu z innymi, sąsiednimi drogami, minimum albo
maksimum czasu

.

normalna

promie

ń odbity

promie

ń załamany

promie

ń padający

θ

1

θ

1

’

θ

2

czo

ło fali płaskiej

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

27-2

Np. najkrótszy czas między dwoma punktami w próżni - linia prosta.
Z tej zasady można wyprowadzić prawa odbicia i załamania.
Na rysunku są przedstawione dwa punkty A i B oraz łączący je promień APB.

Całkowita długość drogi promienia wynosi

2

2

2

2

)

(

x

d

b

x

a

l

−

+

+

+

=

gdzie x jest zmienną zależną od położenia punktu P (punkt odbicia promienia).
Zgodnie z zasadą Fermata punkt P (zmienną x) wybieramy tak, żeby czas przebycia
drogi APB był minimalny (lub maksymalny, lub niezmieniony). Matematycznie oznacza
to warunek

0

d

d

=

x

l

czyli

0

)

1

)(

(

2

]

)

(

[

2

1

2

)

(

2

1

d

d

2

/

1

2

2

2

/

1

2

2

=

−

−

−

+

+

+

=

−

−

x

d

x

d

b

x

x

a

x

l

lub przekształcając

2

2

2

2

)

(

x

d

b

x

d

x

a

x

−

+

−

=

+

Porównując z rysunkiem widzimy, że jest to równoważne zapisowi

sin

θ = sinθ’

czyli

θ = θ’

co jest prawem odbicia.

Podobnie postępujemy w celu wyprowadzenia prawa załamania. Rozpatrzmy sytuację
przedstawioną na rysunku poniżej.

A

B

d-x

x

P

d

a

b

θ

1

’

θ

1

’

θ

1

θ

1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

27-3

Czas t, przelotu światła, z A do B dany jest wzorem

2

2

1

1

v

v

l

l

t

+

=

Uwzględniając n = c/v możemy przepisać to równanie w postaci

c

l

c

l

n

l

n

t

=

+

=

2

2

1

1

Wielkość l = n

1

l

1

+ n

2

l

2

nazywamy

drogą optyczną promienia

(nie mylić z drogą geome-

tryczną równą l

1

+ l

2

). Ponownie dobieramy x (punkt P), aby droga l była minimalna

czyli, aby dl/dx = 0. Ponieważ droga optyczna wynosi

2

2

2

2

2

1

2

2

1

1

)

(

x

d

b

n

x

a

n

l

n

l

n

l

−

+

+

+

=

+

=

otrzymujemy

0

)

1

)(

(

2

]

)

(

[

2

1

2

)

(

2

1

d

d

2

/

1

2

2

2

2

/

1

2

2

1

=

−

−

−

+

+

+

=

−

−

x

d

x

d

b

n

x

x

a

n

x

l

lub po przekształceniu

2

2

2

2

2

1

)

(

x

d

b

x

d

n

x

a

x

n

−

+

−

=

+

Porównując to z rysunkiem otrzymujemy

n

1

sin

θ

1

= n

2

sin

θ

2

A

B

P

d

v

2

v

1

n

2

n

1

x

d-x

l

1

l

2

θ

1

θ

1

θ

2

θ

2

a

b

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

27-4

co jest prawem załamania.
W omawianych obu przypadkach czas (i droga) był minimalny.

27.2 Warunki stosowalności optyki geometrycznej

Omawiając odbicie i załamanie fal (płaskich) posługiwaliśmy się pojęciem

pro-

mienia

. Ta wygodna konstrukcja myślowa przydatna do opisu tych zjawisk nie jest po-

mocna przy opisie

ugięcia światła

(fal) gdyż niemożliwe jest wydzielenie pojedynczego

promienia z padającej fali płaskiej. Żeby to sprawdzić prześledźmy zachowanie fali pła-
skiej padającej na szczeliny o różnej szerokości. To zachowanie jest przedstawione
schematycznie na rysunku poniżej dla szczelin o szerokości a = 5

λ, a = 3λ oraz a = λ.

Widzimy, że ugięcie staje się coraz bardziej wyraźne gdy a/

λ

→

0.

To ugięcie jest charakterystyczne dla

wszystkich rodzajów fal

. Dzięki temu możemy np.

słyszeć fale głosowe znajdując się za załomem muru.
Ugięcie fal na szczelinie (albo przeszkodzie) wynika z zasady Huyghensa.

a=5

λ

a=3

λ

a=

λ

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

27-5

27.2.1 Zasada Huyghensa

W tej teorii światła podanej przez Christiana Huyghensa w 1678 r. zakłada się,

że światło jest falą ( a nie strumieniem cząstek). Nie wspomina ona o elektromagne-
tycznym charakterze światła ani nie wyjaśnia, że światło jest falą poprzeczną. Teoria
Huyghensa oparta jest na konstrukcji geometrycznej (zwanej zasadą Huyghensa), która
pozwala przewidzieć gdzie znajdzie się czoło fali w dowolnej chwili w przyszłości, je-
żeli znamy jej obecne położenie. Zasada ta głosi, że

wszystkie punkty czoła fali można

uważać za źródła nowych fal kulistych. Położenie czoła fali po czasie t będzie dane
przez powierzchnię styczną do tych fal kulistych

. Poniżej przedstawiony jest na rysunku

elementarny przykład obrazujący, za pomocą elementarnych fal Huyghensa, rozchodze-
nie się fali płaskiej w próżni.

Dane jest czoło fali płaskiej w próżni. Zgodnie z zasadą Huyghensa kilka dowolnie wy-
branych punktów na tej powierzchni traktujemy jako źródła fal kulistych. Po czasie t
promienie tych kul będą równe ct, gdzie c jest prędkością światła. Powierzchnia styczna
do tych kul po czasie t jest nową powierzchnią falową. Oczywiście powierzchnia falowa
fali płaskiej jest płaszczyzną rozchodzącą się z prędkością c.
Uwaga: Można by oczekiwać ( w oparciu o tę zasadę), że wbrew obserwacji fala Huy-
ghensa może się rozchodzić zarówno do tyłu jak i do przodu. Tę „trudność” w modelu
eliminuje się poprzez założenie, że natężenie tych fal kulistych (Huyghensa) zmienia się
w sposób ciągły od maksimum dla kierunku „w przód” do zera dla kierunku „w tył”.
Metoda Huyghensa daje się zastosować jakościowo do

wszelkich zjawisk falowych

.

Można przedstawić za pomocą fal elementarnych Huyghensa zarówno odbicie fal jak
i ich załamanie.
My zastosujemy je do wyjaśnienia ugięcia fal na szczelinie (przeszkodzie).

ct

czo

ło fali

w chwili
t = 0

nowe po

łożenie

czo

ła fali

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

27-6

Rozpatrzmy czoło fali dochodzącej do szczeliny. Każdy jej punkt możemy potraktować
jako źródło fal kulistych Huyghensa. Jednak przez szczelinę przechodzi tylko część fal.
Fale leżące poza brzegami szczeliny zostają wyeliminowane i z tym jest związane zagi-
nanie wiązki w obszar tzw. cienia geometrycznego. Szczegóły dotyczące fal ugiętych
zostaną przedstawione dokładnie w dalszych wykładach. Tutaj zwróćmy jedynie uwagę
na to, że gdy szerokość szczeliny staje się duża (w stosunku do długości fali) a >>

λ to

ugięcie można zaniedbać. Wydaje się, że światło rozchodzi się po liniach prostych co
można przedstawić w postaci promieni podlegających prawom odbicia i załamania.
Mówimy, że mamy do czynienia z

optyką geometryczną

.

Warunkiem stosowalności optyki geometrycznej jest więc aby wymiary liniowe wszyst-
kich obiektów (soczewek, pryzmatów, szczelin itp.) były o wiele większe od długości
fali.
Jeżeli tak nie jest to nie możemy przy opisie światła posługiwać się promieniami, lecz
trzeba wziąć pod uwagę

falowy charakter światła

. Widać jak znaczące jest ugięcie fali

gdy szczelina ma rozmiar porównywalny z długością fali.
Mamy wtedy do czynienia z

optyką falową

.

Optyka geometryczna jest więc szczególnym (granicznym) przypadkiem optyki falowej.
Zajmiemy się teraz właśnie optyką falową.