Optyka geometryczna i
falowa
Wykład 4 / semestr II
1
Optyka geometryczna i
falowa
Wykład 4 / semestr II
1
2
Prof. J. Zieliński
Terminy zaliczeń poprawkowych w semestrze letnim
2010/11
o 28 marzec
o 18 kwiecień
o 16 maj
o 13 czerwiec
Przypominam, że
Przypominam, że
na wszystkie kolejne terminy poprawkowe
obowiązują karty zie-lone.
Do zaliczenia można podejść po zaliczeniu ćwiczeń
rachunko-wych
zaliczona w terminie zerowym teoria a nie wpisana
zaliczona w terminie zerowym teoria a nie wpisana
do indeksu została skreślona
do indeksu została skreślona
Zaliczenia zaczynają się o
godz. 15
sala 2 bud 5
Podstawowe prawa optyki geometrycznej
Obrazy w zwierciadłach
Załamanie światła w pryzmacie.
Soczewki sferyczne
Wady odwzorowania soczewek
Zasada Huyghensa
Interferencja
Dyfrakcja
Siatki dyfrakcyjne
Polaryzacja
3
15.1 Wstęp
Optyka stanowi dział fizyki, który zajmuje się światłem.
W mowie potocznej przez termin „światło” rozumiemy
zarówno wrażenia wzrokowe, jak i zjawiska, które je
wywołują.
Z dzisiejszego punktu widzenia fale świetlne
stanowią
pewien
wycinek
widma
fal
elektromagnetycznych,
obejmujący
fale
o
długościach zawartych w granicach od 380 nm do
780 nm (1 nm = 10
-9
m). Najkrótsze z nich widzimy jako
światło fioletowe, najdłuższe jako czerwone.
Optyka, w szerszym słowa tego znaczeniu, zajmuje się
również promieniowaniem niewidzialnym dla oka
ludzkiego o długościach fal większych niż 780 nm do
100 m zwanym podczerwienią, oraz mniejszych od 380
nm do 1 nm nazywanym nadfioletem.
Pełny zakres widma fal elektromagnetycznych oraz
„miejsce wśród nich” fal nazywanych „światłem”
przedstawia rys. 10.1.
4
1 0
7
1 0
6
1 0
5
1 0
4
1 0
3
1 0
2
1 0
1
1
1 0
- 1
1 0
- 2
1 0
- 3
1 0
- 4
1 0
- 5
1 0
- 6
1 0
- 7
1 0
- 8
1 0
- 9
1 0
- 1 0
1 0
- 1 1
1 0
2 1
1 0
2 2
1 0
2 0
1 0
1 9
1 0
1 8
1 0
1 7
1 0
1 6
1 0
1 5
1 0
1 4
1 0
1 3
1 0
1 2
1 0
1 1
1 0
1 0
1 0
9
1 0
8
1 0
7
1 0
6
1 0
5
1 0
4
1 0
3
1 0
- 1 3
1 0
- 1 2
1 0
- 1 1
1 0
- 1 0
1 0
- 9
1 0
- 8
1 0
- 7
1 0
- 6
1 0
- 5
1 0
- 4
1 0
- 3
1 0
- 2
1 0
- 1
1
1 0
1
1 0
2
1 0
3
1 0
4
1 0
5
E n e r g i a
f o t o n ó w w e V
N a z w a
p r o m i e n i o w a n i a
C z ę s t o t l i w o ś ć
w H z
D ł u g o ś ć
f a l i w m
P r o m i e n i e
P r o m i e n i e X
T w a r d e
M i ę k k i e
N a d fi o l e t
P o d c z e r w o n e
Ś w i a tł o w i d z i a l n e
M i k r o f a l e
T e l e w i z j a
R a d i o f o n i a
F a l e d ł u g i e
1 k i l o m e tr [ k m ]
1 m e t r [ m ]
1 c e n t y m e tr [ c m ]
1 m i k r o m e t r [ m ]
1 n a n o m e tr [ n m ]
1 a n g s t r e m [ A ]
widzialne
5
Poglądy na naturę światła począwszy od XVII wieku
uległy dużym zmianom. Jeden z twórców optyki I.Newton
(opierając się na tym, że podstawową właściwością jaką
wykazuje światło jest rozchodzenie się po liniach
prostych) uważał, że światło polega na ruchu bardzo
drobnych
cząsteczek,
korpuskuł
świetlnych,
poruszających się z określonymi prędkościami i mających
określony pęd. Teoria ta bardzo dobrze tłumaczyła
zjawiska załamania i odbicia.
W wieku XIX zapanowała (zapoczątkowana pod
koniec XVII wieku przez Ch. Huyghensa) teoria falowa –
która zakładała, że światło ma naturę falową. Teoria ta
bardzo dobrze tłumaczyła zjawiska ugięcia i interferencji
oraz prawa załamania i odbicia światła.
6
Obecnie obowiązuje zwarta fotonowa teoria światła.
Według tej teorii światło (promieniowanie
elektromagnetyczne) rozchodzi się w przestrzeni w
postaci paczek energii – fotonów. Foton odpowiadający
promieniowaniu o częstości drgań ma energię
i pęd
(gdzie h – stała Plancka, c – prędkość światła w próżni).
Tak więc teoria fotonowa jest swoistym połączeniem
teorii korpuskularnej i falowej.
h
E
c
/
h
p
7
15.2 Optyka geometryczna
15.2.1. Podstawowe prawa optyki geometrycznej
Codzienne doświadczenie uczy nas, że światło
rozchodzi się po liniach prostych. Jeśli na drodze
promieni ustawimy przeszkodę, to za nią powstanie
cień.
W przypadku źródła punktowego (czyli o
rozmiarach
tak
małych,
że
w
porównaniu
z
odległościami, z których to źródło obserwujemy możemy
je pominąć) cień jest geometryczny (rys.10.2a).
Najczęściej jednak źródła są rozciągłe – wówczas
przedmioty nieprzezroczyste dają cień i półcień
(rys.10.2b). Obszar cienia obejmuje punkty, do których
światło w ogóle nie dochodzi, obszar półcienia
oświetlony jest jedynie przez część źródła rozciągłego,
przy czym nie ma ostrej granicy pomiędzy cieniem a
półcieniem.
8
Powstawanie cienia i półcienia przy oświetleniu
nieprzezroczystego przedmiotu z a) punktowego, b)
rozciągłego źródła światła
9
Prócz prostoliniowości rozchodzenia się promieni
świetlnych w optyce geometrycznej przyjmujemy, że
promienie świetlne biegną w przestrzeni całkowicie od
siebie niezależnie.
Kolejną cechą jest odwracalność biegu promieni
świetlnych. Oznacza to, że jeśli światło biegnie po
określonej drodze w pewnym kierunku, to również po
tej samej drodze może biec w kierunku przeciwnym.
Gdy wiązka świetlna trafia na swej drodze na inny
ośrodek, to na powierzchni granicznej (granicy dwóch
ośrodków) część promieniowania zostaje odbita, a
reszta przechodzi do drugiego ośrodka ulegając
załamaniu (rys.10.3).
10
Rys.10.3. Odbicie i załamanie
światła na granicy dwóch
ośrodków
Optyka geometryczna
opiera
się
na
dwóch
podstawowych
prawach
charakteryzujących
zachowanie
się
promieni
świetlnych na granicy dwóch
ośrodków. Są to prawa
odbicia i załamania.
Prawa odbicia są następujące:
1. promień padający, odbity i normalna do
powierzchni granicznej leżą w jednej płaszczyźnie;
2. kąt padania jest równy kątowi odbicia.
11
Prawa załamania
zostały sformułowane przez
W.Snelliusa i brzmią następująco:
1. promień padający, załamany i normalna do
powierzchni granicznej leżą w jednej płaszczyźnie;
2. stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta
załamania jest wielkością stałą:
(10.1)
gdzie n
21
nazywamy współczynnikiem załamania ośrodka,
do którego promień wchodzi (ośrodek 2), względem
ośrodka z którego wychodzi (ośrodek 1).
21
n
sin
sin
Prawa odbicia i załamania możemy wyprowadzić z
równań Maxwella, co oznacza, że obowiązują one dla
wszystkich obszarów widma elektromagnetycznego
12
Teraz rozważymy pewien ciekawy przypadek
szczególny, który znajduje znaczące zastosowanie w
naszym współczesnym życiu – zwłaszcza w systemach
łączności ...
Rozpatrzmy promień świetlny biegnący w ośrodku
optycznie gęstszym (np. szkle), który pada na
powierzchnię ograniczającą ten ośrodek od ośrodka o
mniejszej gęstości optycznej (np. powietrze) – rys.10.6.
13
Jeżeli kąt padania wzrasta, dochodzimy do
sytuacji, w której promień załamany biegnie równolegle
do powierzchni oddzielającej oba ośrodki (powierzchni
łamiącej) – czyli kąt załamania równa się 90
o
. Wtedy
spełniona jest równość:
sin 90
o
= 1 czyli
(10.3)
Dla promieni padających pod kątem większym
od kąta granicznego
g
nie otrzymujemy już
promieni załamanych – obserwujemy zjawisko
zwane całkowitym wewnętrznym odbiciem.
o
2
g
1
90
sin
n
sin
n
1
2
g
n
n
sin
14
A
B
Zjawisko to jest powszechnie wykorzystywane
m.in. w światłowodzie, które jest cienkim „włóknem”
szklanym, a wiązka światła jest w nim prowadzona
przez całkowite wewnętrzne odbicie na granicy szkło-
powietrze (rys.10.7).
15
15.3 Obrazy w
zwierciadłach
16
17
18
15.3 Załamanie światła w pryzmacie.
Pryzmatem nazywamy ciało przezroczyste (np.
szkło)
ograniczone
dwiema
płaszczyznami
przecinającymi się wzdłuż prostej zwanej krawędzią
pryzmatu i tworzącymi kąt - zwany kątem łamiącym
pryzmatu.
Załamanie promienia w
pryzmacie.
19
Jeżeli n jest współczynnikiem załamania pryzmatu, a n’
współczynnikiem
załamania
ośrodka
otaczającego
pryzmat (przy założeniu, że n’< n) to dla kątów padania i
załamania zachodzą związki:
Ponieważ kąty i są kątami zewnętrznymi trójkątów
ACB i ACD, więc możemy zapisać:
(10.3)
Dla małych kątów możemy przyjąć, że:
czyli
2
2
1
1
sin
'
n
sin
n
sin
n
sin
'
n
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
n
'
n
1
2
'
n
n
1
1
'
n
n
2
2
'
n
n
wówczas
równanie
(10.3)
na
kąt
odchylenia
pryzmatu
przyjmie postać:
20
wówczas równanie (10.3) na kąt odchylenia pryzmatu
przyjmie postać:
(10.4)
Jeżeli ośrodkiem otaczającym pryzmat jest powietrze, dla
którego wtedy otrzymujemy:
(10.5)
1
'
n
n
'
n
n
1
n
21
W tym miejscu należy podkreślić, że pryzmat ma
właściwości rozszczepiające światło. Ponieważ światło
białe (np. słoneczne) jest mieszaniną „różnobarwnych”
promieni, z których każdy rozchodzi się z inną prędkością
, a jak wiemy współczynnik załamania zgodnie z
zależnością (10.2) zależy od prędkości rozchodzenia się
fali, więc po przejściu światła białego przez pryzmat na
ekranie uzyskujemy widmo o kolejności barw jak to
przedstawia rys. 10.9.
c z e r w o n e
p o m a r a ń c z o w e
ż ó ł t e
z i e l o n e
n i e b i e s k i e
fi o l e t o w e
p r y z m a t
ś w i a t ł o
b i a ł e
e k r a n
22
15.5. Soczewki sferyczne
Soczewką nazywamy przezroczystą bryłę
ograniczoną dwiema powierzchniami sferycznymi
o jednakowych lub różnych promieniach krzywizny.
W przypadku gdy soczewka jest typu płasko-wypukła lub płasko-
wklęsła (patrz rys.10.11) jedną powierzchnią ograniczającą jest
płaszczyzna (czyli sfera o nieskończenie wielkim promieniu
krzywizny).
Rys.10.11.
Soczewki
sferyczne:
a)
płasko-
wypukła,
b)
obustronnie
wypukła,
c)
obustronnie
wklęsła, d) płasko-wklęsła, e)
wklęsło-wypukła o grubych
krawędziach
f)
wklęsło-
wypukła
o
cienkich
krawędziach
23
Dalsze rozważania przeprowadzimy dla soczewek
cienkich – czyli takich, których grubość jest znacznie
mniejsza
od
promienia
krzywizny
powierzchni
ograniczających soczewkę. W tym przypadku promień
przechodzący przez środek soczewki ulega tylko
nieznacznemu przesunięciu (rys.10.12) od kierunku
pierwotnego.
o ś g ł ó w n a
s o c z e w k i
r z e c z y w i s t y
b i e g p r o m i e n i a
t e o r e ty c z n y ( p r z y j m o w a n y d o
w y p r o w a d z e ń w z o r ó w ) b i e g p r o m i e n i a
Rys.10.12. Bieg
promienia
przechodzącego przez
środek cienkiej
soczewki sferycznej
24
Soczewki mogą być skupiające lub rozpraszające.
Soczewkę nazywamy skupiającą, gdy promień biegnący
równolegle do osi głównej po przejściu przez soczewkę
zostaje odchylony w kierunku osi głównej. Soczewkę
nazywamy
rozpraszającą,
gdy
promień
zostaje
odchylony w kierunku od osi głównej (rys.10.13).
Rys.10.13. Bieg promienia
przechodzącego przez
soczewkę: a) skupiającą,
b) rozpraszającą.
W tym miejscu dla pełnej jasności należy
podkreślić, ze właściwości soczewek zależą nie tylko od
ich kształtu, oraz współczynników załamania materiału,
z którego zostały one wykonane lecz także zależą od
współczynnika załamania otaczającego je ośrodka
(rys.10.14).
25
Rys.10.14. Soczewka skupiająca w powietrzu staje się
rozpraszająca po umieszczeniu jej w ośrodku o współczynniku
załamania większym od współczynnika załamania soczewki.
26
Aby
wyprowadzić
zależności
określające
powstawanie
obrazów po przejściu pro-mieni
przez
soczewkę
rozważmy
promie-niowanie
biegnące
równolegle do osi optycznej.
Promienie te po załamaniu w
soczewce skupiają się w punkcie
F
1
(lub F
2
) zwanym ogniskiem.
Każda soczewka ma dwa ogniska
leżące po przeciwnych stronach
(rys.10.15). Ogniska soczewek
bardzo cienkich są równe.
Na rys.10.16 przedstawiono schemat powstawania
obrazu w cienkich soczewkach wypukłych,. Dla
wykreślenia obrazu (N’P’) wybierzemy dla każdego
punktu szczególnego przedmiotu dwa promienie:
a) promień przechodzący przez środek geometryczny
soczewki, który nie ulega załamaniu;
b) promień równoległy do głównej osi soczewki, który
po załamaniu przechodzi przez ognisko F.
27
P F N ’
C F P ’
D
f
y
x
N
C F P ’
N
N ’
P F
C P ’
N
C
N
N ’
2 f
2 f
P
N ’
y
x
F P ’ P
a )
b )
c )
d )
F
F
F
Rys.10.16. Obrazy tworzone przez cienką soczewkę
skupiającą:
a) x>2f; b) x=2f; c) f<x<2f; d) x<f
28
Jak widać z rys.10.16 położenie, wielkość i
ustawienie obrazu względem głównej osi soczewki zależą
dla danej soczewki od położenia przedmiotu względem
środka optycznego C soczewki. Stosunek wielkości
obrazu
do
wielkości
przedmiotu
nazywamy
powiększeniem i oznaczamy W.
Jeżeli oznaczymy: x=PC – odległość przedmiotu od
soczewki; y=P’C – odległość obrazu od soczewki; f=FC –
ogniskowa soczewki, to z rysunku 10.16a,b,c widać, że
powiększenie obrazu możemy zapisać:
NP
'
P
'
N
W
(10.10)
Z rys.10.16 widać, że trójkąty NPC i N’P’C są podobne
(ponieważ mają takie same kąty), czyli
x
y
NP
'
P
'
N
Z podobieństwa trójkątów DCF i
N’PF wynika, że:
f
f
y
CD
'
P
'
N
29
Wiedząc, że CD=NP. otrzymujemy:
stąd otrzymujemy równanie soczewkowe:
(10.11)
Równanie soczewkowe (10.11) możemy też zapisać w
innej postaci nazywanej równaniem Newtona jako:
(10.12)
f
f
y
x
y
f
1
y
1
x
1
2
f
f
y
f
x
30
Za pomocą soczewek możemy – w zależności od
miejsca umieszczenia przedmiotu względem soczewki
otrzymać następujące obrazy:
– rzeczywiste – czyli takie, które powstają w
punktach przecięcia się odpowiednich promieni
świetlnych – obrazy takie mogą być obserwowane na
ekranie – odwrócone, powiększone lub pomniejszone;
– urojone – czyli takie, które powstają na siatkówce
oka obserwatora w miejscu przecięcia przedłużeń
promieni – proste (nie odwrócone) – powiększone lub
pomniejszone.
31
15.6. Wady odwzorowania soczewek
Pamiętamy, ze wzory wyprowadzone dla soczewek
są słuszne tylko przy następujących założeniach (przy
których były one wyprowadzone):
- krzywizny soczewek są dokładnie kuliste,
- soczewki są bardzo cienkie,
- kąty, jakie tworzą promienie padające z osią
soczewki, są bardzo małe,
- światło jest monochromatyczne.
W układach rzeczywistych warunki te rzadko są
spełnione, W związku z czym występują zniekształcenia
odwzorowania obrazu. Do najczęściej obserwowanych
wad soczewek należą:
aberracja sferyczna i aberracja
chromatyczna.
32
Aberracja sferyczna
– schematycznie przedstawiona
jest na rysunku 10.17.
Rys.10.17. Aberracja
sferyczna
Polega ona na tym, że zamiast ogniska punktowego
obserwujemy ognisko rozmyte wzdłuż głównej osi
optycznej soczewki. Zjawisko to występuje gdy
promienie świetlne tworzą z osią soczewki duże kąty,
oraz gdy wiązka padająca na soczewkę jest „szeroka”.
Aberracja sferyczna spowodowana jest silnym
załamaniem „promieni skrajnych”, bardziej oddalonych
od głównej osi optycznej niż „promieni środkowych”,
wskutek czego następuje przesunięcie ogniska promieni
skrajnych w stosunku do promieni środkowych i wtedy
obraz staje się nieostry.
33
Wadę
tę
ograniczamy
stosując:
przesłony
ograniczające
wiązkę
do
promieni
środkowych
(przyosiowych) oraz stosując soczewki o dużych
ogniskowych.
Ogniskową f układu N soczewek cienkich o
ogniskowych
obliczamy ze wzoru:
(10.13)
N
2
1
f
,
,...
f
,
f
N
2
1
f
1
...
f
1
f
1
f
1
34
Aberracja chromatyczna
– występuje wówczas, gdy
światło
padające
na
soczewkę
nie
jest
monochromatyczne.
Polega ona na rozszczepieniu światła białego na
soczewce analogicznie jak to zostało przedstawione na
rys.10.9. dla pryzmatu (soczewka wypukła to dwa
złożone
podstawami
pryzmaty).
W
wyniku
rozszczepienia po przejściu przez soczewkę promienie
czerwone przecinają się w punkcie dalej leżącym od
soczewki niż promienie fioletowe. Skutkiem tego
obrazem na ekranie E punktu P wysyłającego światło
białe nie jest jasny punkt, lecz kolorowa plamka o
średnicy AB (rys.10.18).
Przedstawiony
na
rys. 10.18 odcinek
AB prosto-padły do
osi soczewki) nazywa
się aberracją po-
przeczną,
zaś
odcinek
F
f
F
c
(równoległy do osi
socze-wki) aberracją
chro-matyczną
podłużną.
35
Aberrację chromatyczną można skompensować
przez
złożenie
dwóch
soczewek:
skupiającej
i
rozpraszającej.
Wyżej wymienione (i inne) wady odwzorowania,
które powodują nieostrości otrzymywanego obrazu, mogą
być usunięte (lub znacznie zmniejszone) przez: dokładne
szlifowanie soczewki do idealnych powierzchni kulistych,
odpowiedni dobór krzywizny soczewki, zestawienie kilku
soczewek (zamiast jednej), stosowanie odpowiednich
przesłon.
36
15.7. Przyrządy optyczne
Na zasadach optyki geometrycznej oparta jest
konstrukcja
szeregu
przyrządów
optycznych
odgrywających ważną rolę w praktyce i nauce. Ogólnie
patrząc, przyrządy optyczne możemy podzielić na dwie
grupy:
przyrządy, które dają obrazy rzeczywiste – takie jak
oko, aparat projekcyjny, aparat fotograficzny;
przyrządy, które dają obrazy pozorne – takie jak
lupa, luneta czy mikroskop.
37
OPTYKA FALOWA
Interferencja, dyfrakcja i
polaryzacja światła
38
16.1
Zasada Huyghensa
W tej teorii światła podanej przez Christiana
Huyghensa w 1678 r. zakłada się, że światło jest falą ( a
nie strumieniem cząstek). Nie wspo-mina ona o
elektromagnetycznym charakterze światła ani nie
wyjaśnia, że światło jest falą poprzeczną.
Teoria Huyghensa oparta jest na konstrukcji
geometrycznej (zwanej zasadą Huyghensa), która
pozwala przewidzieć gdzie znajdzie się czoło fali w
dowolnej chwili w przyszłości, jeżeli znamy jej obecne
położenie. Zasada ta głosi, że
wszystkie punkty czoła fali
można uważać za źródła nowych fal kulistych. Położenie
czoła fali po czasie t będzie dane przez powierzchnię
styczną do tych fal kulistych
. Poniżej przedstawiony jest
na rysunku elementarny przykład obrazujący, za pomocą
elementarnych fal Huyghensa, rozchodzenie się fali
płaskiej w próżni.
39
Dane jest czoło fali płaskiej w
próżni. Zgodnie z zasadą
Huyghensa kilka dowolnie
wybranych punktów na tej
powierzchni traktujemy jako
źródła fal kulistych. Po czasie
t promienie tych kul będą
równe ct, gdzie c jest
prędkością
światła.
Powierzchnia styczna do tych
kul po czasie t jest nową
powierzchnią falową. Oczy-
wiście powierzchnia falowa
fali płaskiej jest płaszczyzną
rozchodzącą się z prędkością
c.
Uwaga: Można by oczekiwać ( w oparciu o tę zasadę), że
wbrew obserwacji fala Huyghensa może się rozchodzić zarówno do
tyłu jak i do przodu. Tę „trudność” w modelu eliminuje się poprzez
założenie, że natężenie tych fal kulistych (Huyghen-sa) zmienia się
w sposób ciągły od maksimum dla kierunku „w przód” do zera dla
kierunku „w tył”.
40
Metoda Huyghensa daje się zastosować jakościowo do
wszelkich zja-wisk falowych
. Można przedstawić za
pomocą fal elementarnych Huyghensa zarówno odbicie
fal jak i ich załamanie.
My zastosujemy je do wyjaśnienia ugięcia fal na
szczelinie (przeszkodzie).
Rozpatrzmy czoło fali dochodzącej do szczeliny.
Każdy jej punkt możemy potraktować jako źródło fal
kulistych Huyghensa. Jednak przez szczelinę przechodzi
tylko część fal. Fale leżące poza brzegami szczeliny
zostają wyeliminowane i z tym jest związane zaginanie
wiązki w obszar tzw. cienia geometrycznego. Szczegóły
dotyczące fal ugiętych zostaną przedstawione dokładnie
przy omawianiu dyfrakcji (ugięcia fal). Tutaj zwróćmy
jedynie uwagę na to, że gdy szerokość szczeliny
staje się duża (w stosunku do długości fali)
a >>
to ugięcie można zaniedbać. Wydaje się, że światło
rozchodzi się po liniach prostych co można przedstawić
w postaci promieni podlegających prawom odbicia i
załamania. Mówimy, że mamy do czynienia z optyką
geometryczną.
41
Warunkiem stosowalności optyki geometrycznej
Warunkiem stosowalności optyki geometrycznej
jest więc aby wymiary liniowe wszystkich obiektów
jest więc aby wymiary liniowe wszystkich obiektów
(soczewek, pryzmatów, szczelin itp.) były o wiele
(soczewek, pryzmatów, szczelin itp.) były o wiele
większe od długości fali.
większe od długości fali.
Jeżeli tak nie jest to nie możemy przy opisie
światła posługiwać się promieniami, lecz trzeba wziąć
pod uwagę
falowy charakter światła
.
Mamy wtedy do czynienia z
optyką falową
.
Optyka
geometryczna
jest
więc
szczególnym
(granicznym) przypa-dkiem optyki falowej.
42
16.2
Interferencja
16.2.1 Doświadczenie Younga
Na wykładzie dotyczącym fal w ośrodkach sprężystych
omawiane było nakładanie się fal. Wykazanie, przez
Thomasa
Younga
(w 1801
r.)
istnienia
takiej
interferencji
dla
światła
było
pierwszym
eksperymentem wskazującym na falowy charakter
światła
.
S
0
S
2
S
1
Young oświetlił światłem słonecznym
ekran, w którym był zrobiony mały
otwór S
0
. Przechodzące światło padało
następnie na drugi ekran z dwoma
otworami S
1
i S
2
i rozchodzą się dalej
dwie, nakładające się fale kuliste tak
jak
na
rysunku.
Warunki
stosowalności optyki geometrycznej
nie są spełnione i na szczelinach
następuje ugięcie fal.
Mamy do
czynienia z optyką falową
. Jeżeli
umieścimy ekran w jakimkolwiek
miejscu,
tak
aby
przecinał
on
nakładające się na siebie fale to
możemy oczekiwać pojawienia się na
nim
ciemnych
i
jasnych
plam
następujących po sobie kolejno.
43
S
1
S
2
d
D
y
P
r
1
r
2
O
b
Przeanalizujmy teraz doświadczenie Younga
ilościowo.
Zakładamy, że światło
padające zawiera tylko
jedną długość fali (jest
monochromatyczne). Na
rysunku punkt P jest
dowolnym punktem na
ekranie, odległym o r
1
i r
2
od
wąskich szczelin S
1
i S
2
.
Linia S
2
b została poprowadzona tak, aby PS
2
= Pb.
Trzeba zwrócić uwagę, że stosunek d/D przedstawiony
na rysunku jest dla większej jasności przesadnie duży.
Naprawdę d << D i wtedy kąt S
1
S
2
b jest równy
z dużą
dokładnością.
44
Oba promienie wychodzące ze szczelin S
1
i S
2
są
zgodne w fazie, gdyż pochodzą z tego samego czoła fali
płaskiej. Jednak drogi, po których docierają do punktu P
są różne więc i ich fazy mogą być różne.
Odcinki Pb i PS
2
są identyczne (tak to
skonstruowaliśmy) więc o różnicy faz decyduje różnica
dróg optycznych tj. odcinek S
1
b.
Aby w punkcie
P było
maksimum
to odcinek S
1
b musi zawierać
całkowitą liczbę długości fal. Jest tak dlatego, że po
przebyciu odcinka równego
faza fali powtarza się więc
dla drogi m
fala ma fazę taką jak na początku tej drogi;
odcinek S
1
b nie wpływa na różnicę faz a ponieważ fale
były zgodne w źródle (szczeliny S
1
i S
2
) więc będą
zgodne w fazie w punkcie P. Warunek ten możemy
zapisać w postaci
S
1
b = m
, m = 0, 1, 2, ......,
Lub
dsin
= m
, m = 0, 1, 2, ......,
(maksima)
(28.1)
Zauważmy, że każdemu maksimum powyżej punktu O
odpowiada położone symetrycznie maksimum poniżej
punktu O. Istnieje też centralne maksimum opisywane
przez m = 0.
45
Dla uzyskania
minimum
w punkcie P, odcinek S
1
b
musi zawierać połówkową liczbę długości fal, to jest:
S
1
b = (m+1/2)
, m = 0,1,2,....,
lub
dsin
= (m+1/2)
, m = 0, 1, 2, ......, (minima)
inaczej
dsin
= (2m+1)
/2, m = 0, 1, 2, ......,
(minima)
(28.2)
46
16.2.2
Koherencja
Podstawowym warunkiem powstania dobrze
określonego obrazu interferencyjnego jest, aby
fale świetlne które przybywają z punktów S
1
i S
2
miały
dokładnie określoną różnicę faz
stałą w
czasie
.
(Przypomnienie: faza jako określony stan fali w danym
miejscu i czasie, patrz równanie opisujące falę
E = E
m
sin(kx-
t)). Np. jest miejsce na ekranie, dla
którego różnica faz wynosi
co oznacza fizycznie, że
fale docierające tam wygaszają się (przy założeniu tej
samej amplitudy); mamy ciemny prążek. I tak jest
zawsze o ile różnica faz się nie zmieni. Gdyby taka
zmiana nastąpiła to w tym miejscu natężenie światła nie
będzie już równe zeru.
Warunkiem stabilności obrazu jest więc stałość w
czasie różnicy faz fal wychodzących ze źródeł S
1
i
S
2
.
Mówimy wówczas , że te źródła są
koherentne
czyli spójne
.
47
Jeżeli szczeliny S
1
i S
2
zastąpimy przez dwa
niezależne źródła fal (np. żarówki) to nie otrzymamy
prążków interferencyjnych, ekran będzie oświetlony
prawie równomiernie. Interpretujemy to w ten sposób,
że różnica faz dla fal pochodzących z niezależnych
źródeł
zmienia
się
w
czasie
w
sposób
nieuporządkowany.
W krótkim czasie są spełnione warunki dla
maksimum, a za chwile (b. krótką np. 10
-8
s) dla
minimum, a jeszcze za chwilę warunki pośrednie. I tak
dla każdego punktu na ekranie. Natężenie (w danym
punkcie) jest więc sumą natężeń od poszczególnych
źródeł. Mówimy, że te źródła są
niespójne
,
niekoherentne
.
48
Podsumujmy więc podstawową różnicę w opisie,
podyktowaną oczywi-ście przez fakty doświadczalne:
dla fal spójnych najpierw dodajemy amplitudy
(uwzględniając stała różnicę faz), a potem celem
obliczenia natężenia podnosimy otrzy-maną amplitudę
wypadkową do kwadratu (przypomnienie dla ruchu
harmonicznego: Energia A
2
).
dla fal niespójnych najpierw podnosimy do
kwadratu
amplitudy,
żeby
otrzymać
natężenia
poszczególnych fal a potem dopiero sumuje-my te
natężenia.
Pozostaje jedynie pytanie jak wytworzyć światło spójne.
Na tym etapie zapamiętajmy tylko, że zwykłe źródła
światła takie jak żarówki (żarzące się włókno) dają
światło niespójne dlatego, że emitujące atomy działają
zupełnie niezależnie. Natomiast współcześnie szeroko
stosowanymi źródłami światła spójnego są
lasery
.
49
16.3
Dyfrakcja
Zjawisko dyfrakcji (ugięcia) odkrył Grimaldi (XVII w).
Polega ono na uginaniu się promieni świetlnych
przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg
szczeliny).
Fala ze źródła S pada na
szczelinę B i przechodzące
przez otwór pada na ekran
C. Natężenie w punkcie P
można obliczyć dodając do
siebie wszystkie zaburzenia
falowe (tj. wektory E). Te
zaburzenia
falowe
mają
różne amplitudy i fazy
ponieważ:
elementarne źródła Huyghensa (punkty w
szczelinie) są w różnych odległościach od punktu P.
światło opuszcza te punkty pod różnymi kątami.
50
Taka sytuacja gdy fale opuszczające otwór nie są płaskie
(promienie nie są równoległe) pojawia się gdy źródło fal
S i ekran (C), na którym po-wstaje obraz znajdują się w
skończonej odległości od ekranu ze szczeliną (B). Taki
przypadek nosi nazwę
dyfrakcji Fresnela
. Obliczenia
natężeń światła są w tej sytuacji trudne.
Całość upraszcza się, gdy źródło S i ekran C odsuniemy
na bardzo duże odległości od otworu uginającego. Ten
graniczny przypadek nazywamy
dyfrakcją Fraunhofera
.
Czoła fal padających jak i ugiętych są płaszczyznami
(promienie są równoległe) tak jak to widać na rysunku
do bardzo
odległego
ekranu
z bardzo
odległego
źródła
b)
B
51
Warunki do wystąpienia dyfrakcji Fraunhofera można
zrealizować w laboratorium za pomocą dwu soczewek
Pierwsza
soczewka
zmienia
falę
rozbieżną
w
równoległą, a druga sku-pia w punkcie P fale płaskie
opuszczające otwór. Wszystkie promienie oświetlające
punkt P opuszczają otwór równolegle do linii
przerywanej (przechodzącej przez środek soczewki).
Warunki dyfrakcji Fraunhofera były z założenia
spełnione w doświadczeniu Younga.
W dalszej części
wykładu będziemy
zajmować się tylko
dyfrakcją
Fraunhofera.
52
16.3.1
Pojedyncza szczelina
Rysunek
pokazuje
falę
płaską
padającą prostopadle na szczelinę o
szerokości a. Rozpatrzmy punkt
środkowy P
0
ekranu. Równoległe
promienie przebywają do tego
punktu te same drogi optyczne
(różne geometryczne) tzn. promienie
zawierają tę samą ilość długości fal
(soczewki cienkie). Ponieważ w
szczelinie promienie są zgodne w
fazie to po przebyciu takich samych
dróg optycznych nadal pozostają
zgodne
w
fazie.
Dlatego
w środkowym punkcie P
0
będzie
maksimum.
53
Rozpatrzmy teraz inny
punkt P
1
na ekranie.
Promienie docierające do
P
1
wychodzą ze szczeliny
pod kątem . Jeden
promień ma początek u
góry szczeliny a drugi w
jej środku. (Promień xP
1
przechodzi przez środek
soczewki więc nie jest
odchylany).
Jeżeli wybierzemy punkt P
1
tak, żeby różnica dróg bb’
wynosiła
/2 to promienie zgodne w fazie w szczelinie będą
miały w punkcie P
1
fazy przeciwne i wygaszą się. Podobnie
każdy inny promień wychodzący z górnej połowy szczeliny
będzie się wygaszał z odpowiednim promieniem z dolnej
połówki leżącym w odległości a/2 poniżej. Punkt P
1
będzie
miał natężenie zerowe (pierwsze minimum dyfrakcyjne).
Warunek opisujący to minimum ma następującą postać
Czyli
asin
=
2
1
sin
2
1
a
54
Uwaga: Gdyby szerokość szczeliny była równa
wtedy pier-wsze minimum pojawiłoby się dla
= 90
czyli środkowe maksimum wypełniłoby cały ekran. W
miarę rozszerzania szczeliny środkowe maksimum staje
się węższe. (Podobnie było dla interferencji Younga w
miarę
zmiany
odległości
między
szczelinami
punktowymi). Podobne rozważania możemy powtórzyć
dla wielu punktów szczeliny i otrzymamy ogólne
wyrażenie dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci
asin
= m
, m = 1, 2, 3,...... (minimum)
(29.1)
Mniej więcej w połowie między każdą parą sąsiednich
minimów występują oczywiście maksima natężenia.
55
16.4
Równoczesna interferencja i dyfrakcja na
dwóch szczelinach
W doświadczeniu Younga szczeliny były wąskie ( a <<
) tak,
że każda ze szczelin oświetlała równomiernie ekran. Jeżeli
takie fale (spójne) interferowały to otrzymywaliśmy prążki o
jednakowym natężeniu.
Dla realnych szczelin trudno jest zrealizować warunek a <<
.
Oznacza to, że pojedyncza szczelina będzie dawała obraz
dyfrakcyjny i interferencja fal da teraz obraz, w którym
natężenia prążków nie będą stałe (jak w doświadczeniu
Younga) ale zależne od tego obrazu dyfrakcyjnego.
Odejście od założenia a <<
powoduje głównie zmianę
natężenia prążków (ich położenia pozostają prawie nie
zmienione).
Przypomnijmy, że obraz interferencyjny dla dwóch szczelin
dany jest równaniem
gdzie
przy czym d jest odległością między szczelinami.
2
int
,
int
,
cos
m
I
I
sin
d
56
Natomiast natężenie fali ugiętej na szczelinie jest dane
równaniem
gdzie
przy czym a jest szerokością szczeliny.
Teraz chcemy otrzymać łączny efekt. Dlatego w
równaniu dla interferencji stałą amplitudę (dla wąskich
szczelin) zastępujemy realnym natężeniem dyfrakcyjnym.
Otrzymujemy
(29.6)
Ten wynik opisuje następujące fakty. W pewnym punkcie
ekranu natężenie światła, z każdej szczeliny osobno, jest dane
przez obraz dyfrakcyjny tej szczeliny. Obrazy dyfrakcyjne
dwóch szczelin rozpatrywanych oddzielnie nakładają się (fale
interferują).
2
,
,
sin
dyf
m
dyf
I
I
sin
a
2
2
sin
)
(cos
m
I
I
57
Rysunek poniżej jest wykresem powyższego równania dla
d = 50
i trzech wartości stosunku a/
.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a =
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a = 5
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a = 10
10
10
5
5
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
(deg)
Obwiednie prążków
interferencyjnych pokrywają się
dokładnie z obrazem dyfrakcyjnym.
Obraz jest więc
iloczynem czynnika
interferencyjnego i dyfrakcyjnego
(rysunek poniżej).
Czynnik
interferencyjny (cos
2
)
jest
pokazany na górnym wykresie,
czynnik dyfrakcyjny (sin
/
)
2
na
środkowym, a ich iloczyn na
dolnym.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
10
10
5
5
(deg)
a = 5
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
58
16.5
Siatki dyfrakcyjne
Siatki dyfrakcyjne
Rozpatrzymy teraz przypadki gdy liczba centrów
rozpraszania jest większa. Tzn. rozpatrzmy naturalne
rozszerzenie
doświadczenia
Younga
poprzez
zwiększenie liczby szczelin od dwu do większej liczby N.
Układ zawierający zespół N równoległych szczelin
nazywamy
siatką dyfrakcyjną
(szczelin może być b.
dużo np. 10
4
/cm).
Na rysunku obok
pokazany jest rozkład
natężeń dla N = 5
szczelin.
59
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Z tych rysunków widać, że zwiększenie liczby szczelin
nie zmienia odległości pomiędzy głównymi
maksimami (przy stałych d i
)
nastąpiło natomiast ich zwężenie (wyostrzenie)
pojawiły się wtórne maksima pomiędzy
maksimami bocznymi
Dla przypomnienia obok
pokazano wynik w
doświadczeniu Younga.
60
Maksima główne wystąpią gdy spełniony jest znany
warunek
dsin
= m
, m = 0, 1, 2, (maksima)
(30.1)
gdzie m nazywamy rzędem widma, a d jest odległością
między szczelinami (stała siatki dyfrakcyjnej).
Uwaga: Położenia maksimów głównych nie zależą od
N.
Pochodzenia maksimów wtórnych można wyjaśnić za pomocą
metody strzałek fazowych (wskazów).
Siatki dyfrakcyjne są często stosowane do
pomiarów
długości fali i do badań struktury i natężenia linii
widmowych
.
Ponieważ stałą siatki dyfrakcyjnej można zmierzyć
dokładnie pod mikroskopem to z warunku na
występowanie głównych maksimów możemy wyznaczyć
.
Z tego samego warunku widać, że fale o różnych
uginają się pod różnymi kątami jest więc szansa na ich
rozseparowanie.
61
16.6
Dyfrakcja promieni Roentgena (promieni
X)
Promienie X są falami elektromagnetycznymi o
długościach fal rzędu 0.1 nm.
(Dla przypomnienia światło
żółte z ma długość równą 589 nm.)
W 1912 r. Max von Laue
zauważył, że ciała stałe
zawierające regularny układ
atomów mogą stanowić
naturalną, trójwymiarową „siatkę
dyfrakcyjną” dla promieniowania
X. (Standardowe optyczne siatki
dyfrakcyjne są bezużyteczne bo
<< d.).
Rysunek poniżej pokazuje wiązkę
promieni X, o widmie ciągłym,
padającą na kryształ.
62
Wiązki promieni powstałe w wyniku interferencji
fal ugiętych na atomach padają na kliszę tworząc na niej
charakterystyczny układ punktów zwany
obrazem
Lauego
. Analiza położeń i natężeń tych punktów pozwala
na określenie struktury kryształu.
Na pierwszym rysunku pokazana jest komórka
elementarna kryształu NaCl. Małe kule przedstawiają
jony sodu, a duże jony chloru.
Każda komórka elementarna NaCl zawiera 4 jony
sodu i cztery jony chloru czyli cztery cząsteczki NaCl
(poza jonem w środku, pozostałe należą też do komórek
sąsiednich).
Dla NaCl długość boku komórki elementarnej
wynosi 0.562737 nm (długość fali promieniowania X =0,1
nm).
Ogólnie natężenia linii siatki dyfrakcyjnej zależą od
geometrii pojedynczej szczeliny. W idealnym przypadku
zależą od szerokości szczeliny.Tak samo natężenia wiązek
rozproszonych na krysztale zależą od geometrii
pojedynczej rozpraszającej komórki elementarnej.
63
Warunki, w jakich jest możliwa dyfrakcja
promieni Roentgena krysztale podaje prawo Bragga.
Rysunek poniżej pokazuje ugięcie wiązki promieni X na
zespole równoległych płaszczyzn (linie przerywane).
Rysunek (a) pokazuje falę oddziałującą z rodziną
płaszczyzn, z których jedna jest pokazana na rysunku
(b). Ugięcie następuje na elementarnych centrach
rozpraszania (komórki elementarne - odpowiednik
pojedynczej szczeliny).
64
Promienie ugięte będą się sumować gdy różnica dróg będzie
równa całkowitej wielokrotności długości fali.
ab’ – a’b = ab(cos
- cos
) = k
, k = 0, 1, 2,
Dla k = 0 otrzymujemy
=
tzn. płaszczyzna wyznaczona
przez atomy działa jak „zwierciadło” odbijające falę padającą
(kąt padania = kąt odbicia) tzn. w tym kierunku jest
wzmocnienie promieniowania ugiętego.
Jeżeli chcemy otrzymać wzmocnienie promieniowania odbitego
od całej rodziny płaszczyzn dla kierunku określonego przez kąt
to muszą się wzmacniać promienie odbite od poszczególnych
płaszczyzn. Oznacza to, że różnica dróg dla promieni odbitych
od sąsiednich płaszczyzn musi być równa całkowitej
wielokrotności
, tak więc
2dsin
= m
, m = 1, 2, 3,....
Zależność ta została podana przez W. L. Bragga i stąd nazwa
prawo Bragga
.
W równaniu tym d oznacza odległość między sąsiednimi
płaszczyznami.
Stąd widać, że dyfrakcja promieni X jest metodą
doświadczalną w badaniu rozmieszczenia atomów w
kryształach.
65
16.7
Polaryzacja
Teoria przewiduje, że światło podobnie jak każda fala
elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Kierunki drgań
wektorów E i B są prostopadłe do kierunku rozchodzenia
się fali. Na rysunku poniżej przedstawione falę
elektromagnetyczną, która ma jeszcze dodatkowo pewną
charakterystyczną własność:
>
wektory E są do siebie równoległe we wszystkich
punktach fali. > Podobnie wektory B.
Mówimy, że ta fala jest
płasko spolaryzowana
(spolaryzowana liniowo).
B
E
66
Drgający wektor E tworzy z kierunkiem ruchu fali
płaszczyznę zwaną
płaszczyzną drgań
.
W fali spolaryzowanej liniowo wszystkie takie
płaszczyzny są równoległe.
Z dotychczas opisanych doświadczeń z
interferencją i dyfrakcją nie można wydedukować
poprzecznej natury fal świetlnych ponieważ fale podłużne
też interferują i ulegają dyfrakcji.
Podstawy doświadczalne przyniosło następujące
doświadczenie.
W wyniku oświetlenia kryształu kalcytu (CaCO
3
) z
wiązki pada-jącej można uzyskać dwie oddzielne wiązki
(omówione w dalszej części wykładu).
Wiązki te chociaż oczywiście są spójne
nie dają
prążków interfe-rencyjnych
ale równomierne oświetlenie
ekranu.
67
Young wywnioskował z tego faktu, że światło jest
falą poprze-czną i że płaszczyzny drgań w tych falach są
prostopadłe względem siebie.
Zauważmy, że
chcemy dodać dwa zaburzenia
falowe
takie jak w doświadczeniu Younga tj.
ale
prostopadłe do siebie
. Można udowodnić, że fale świetlne
spolaryzowane liniowo o równych amplitudach i prosto-
padłych kierunkach drgań nie interferują ze sobą dając
jednakowe (nie-zależnie od różnicy faz) natężenie światła
na ekranie.
W fali poprzecznej, spolaryzowanej liniowo,
należy określić dwa kierunki:
kierunek drgania (np. wektora E),
kierunek rozchodzenia się fali.
68
Światło rozchodzące się w danym kierunku w
przestrzeni składa się z niezależnych ciągów fal, których
płaszczyzny drgań zorientowane są przypadkowo wokół
kierunku ruchu fali (rysunek poniżej). Takie światło
chociaż jest falą poprzeczną jest niespolaryzowane.
płytka
polaryzująca
69
Rysunek poniżej pokazuje różnicę między falą
poprzeczną spolaryzowaną liniowo (a) i falą poprzeczną
niespolaryzowaną (b). Rysunek (c) przedstawia inny
równoważny opis niespolaryzowanej fali poprzecznej;
tutaj
traktujemy
ją
jako
złożenie
dwóch
spolaryzowanych liniowo fal o przypadkowo zmiennej
różnicy faz. Orientacja kierunków drgań pól E
względem kierunku rozchodzenia się fali jest też
przypadkowa (ale prostopadła).
Dla zbadania fal świetlnych niespolaryzowanych
potrzeba znaleźć metodę, która pozwoliłaby rozdzielić
fale o różnych płaszczyznach drgań.
70
płytka
polaryzująca
16.7.1
Płytki polaryzujące
Na rysunku światło niespolaryzowane pada na
płytkę z materiału polaryzującego, zwanego polaroidem.
W płytce istnieje pewien charakterystyczny kierunek
polaryzacji
zaznaczony
liniami
równoległymi.
Płytka
przepuszcza tylko te fale, dla których kierunki drgań wektora
elektrycznego są równoległe do kierunku polaryzacji, a
pochłania te fale, w których są one prostopadłe.
Kierunek polaryzacji ustala się w procesie produkcji:
cząsteczki o strukturze łańcuchowej osadza się na
elastycznej warstwie
plastycznej,
warstwę rozciąga się co powoduje równoległe ułożenie
cząsteczek
.
71
Żeby zanalizować natężenie światła przechodzącego przez
polaryzator rozpatrzmy ciąg fal padający na polaroid tak, że wektor
E wyznaczający płaszczyznę drgań tworzy kąt
z kierunkiem
polaryzacji płytki (rysunek obok).
Ten ciąg fal jest równoważny ciągom fal o składowych E
x
i E
y
(składowe wektora E).
Składowa równoległa
E
y
= Ecos
jest przepuszczana podczas
gdy składowa prostopadła
E
x
= Esin
jest pochłaniana.
Postawmy teraz na drodze światła
drugą płytkę
polaryzującą
(nazywamy ją analizatorem). Jeżeli analizator
będziemy obracać wokół kierunku padania światła to natężenie
światła przechodzącego przez obie płytki będzie się zmieniać
osiągając minimum dla położeń różniących się o 180° tj. przy
prostopadłych kierunkach polaryzacji obu płytek.
Jeżeli amplituda pola elektrycznego fali padającej na analizator jest
równa E
m
to amplituda fali wychodzącej z analizatora wynosi
E
m
cos
, gdzie
jest kątem pomiędzy kierunkami polaryzacji obu
płytek. Ponieważ natężenie światła jest proporcjonalne do kwadratu
amplitudy więc otrzymujemy
I = I
m
cos
2
(30.1)
Zauważmy, że I ma maksimum dla
= 0° lub
= 180° a
minimum dla
= 90° lub
= 270°. Powyższe równanie zwane jest
prawem Malusa
.
72
16.7.3 Polaryzacja przez odbicie
W 1809 r. Malus odkrył, że światło może być
częściowo lub całkowicie spolaryzowane przez odbicie.
Rysunek przedstawia wiązkę niespolaryzowaną
padającą na powierzchnię szkła. Wektor E można
rozłożyć na dwie składowe:
składową
prostopadłą do płaszczyzny padania
(płaszczyzna rysunku),
składową
leżącą w płaszczyźnie padania.
73
Dla światła całkowicie niespolaryzowanego obie
składowe maja jednakowe amplitudy.
Stwierdzono doświadczalnie, że dla szkła (i
innych materiałów dielektrycznych) istnieje pewien
kąt padania, nazywany
kątem całkowitej polaryzacji
p
, dla którego współczynnik odbicia składowej
jest
równy
zero.
Wtedy
wiązka
odbita
jest
Wtedy
wiązka
odbita
jest
spolaryzowana
liniowo
prostopadle
do
spolaryzowana
liniowo
prostopadle
do
płaszczyzny padania
płaszczyzny padania
. Wiązka przechodząca jest tylko
częściowo spolaryzowana (składowa
jest całkowicie
załamana, a składowa
tylko częściowo). Zwróćmy
uwagę, że wiązka załamana ma większe natężenie od
wiązki odbitej.
Doświadczalnie stwierdzono, że gdy kąt padania jest
równy kątowi całkowitej polaryzacji to wówczas
wiązka odbita i załamana tworzą kąt prosty co oznacza
że
+
= 90°
Natomiast z prawa załamania mamy
sin
sin
2
1
n
n
74
Z obu tych równań otrzymujemy
albo
(30.2)
przy czym promień pada z ośrodka 1 i załamuje się w
ośrodku 2.
To ostatnie równanie jest nazywane
prawem Brewstera
.
Prawo to zostało znalezione doświadczalnie ale
oczywiście można je wyprowadzić ściśle przy pomocy
równań Maxwella.
cos
)
90
sin(
sin
2
2
1
n
n
n
n
n
n
1
2
tg
75
16.7.5
Załamanie podwójne
wiązka
padająca
kryształ
CaCO
3
e
o
Dotychczas
milcząco
zakłada-liśmy, że prędkość
światła, a więc i współczynnik
załamania, nie zależą od
kierunku
rozchodzenia
się
światła w ośrodku ani od jego
polaryzacji. Ciała spełniające
te warunki nazywamy
ciałami
optycznie
izotropowymi
.
Istnieje jednak szereg ciał
anizo-tropowych
(nie
izotropowych).
Na rysunku powyżej niespolaryzowana wiązka
światła pada na kryształ kalcytu prostopadle do jednej z
jego ścian.
Pojedyncza wiązka rozszczepia się na powierzchni
kryształu na dwie.
Mamy do czynienia z
podwójnym załamaniem
.
Możemy zanalizować obie wychodzące wiązki za pomocą
płytki polaryzującej.
76
Okazuje się, że obie wiązki są spolaryzowane
liniowo, przy czym ich płaszczyzny drgań są
wzajemnie prostopadłe. Wiązki te są oznaczone przez
o i e.
Jeżeli zmienimy kąt padania to okaże się, że jedna z
wiązek tzw.
promień zwyczajny o
spełnia prawo
załamania (tak jak dla ośrodka izotropowego) a druga
wiązka tzw.
promień nadzwyczajny
e
nie spełnia
tego prawa.
Różnicę tę można wyjaśnić następująco:
promień o przechodzi przez kryształ z
jednakową prędkością we wszystkich kierunkach tzn.
ma jeden współczynnik załamania n
0
tak jak
izotropowe ciało stałe.
promień e ma prędkość w krysztale zależna od
kierunku tzn. prędkość zmienia się od v
0
do v
e
a
współczynnik załamania od n
o
do n
e
. Dla kalcytu
n
e
= 1.658, n
o
= 1.486.
Wielkości n
e
i n
0
nazywamy
głównymi
współczynnikami załamania kryształu
.
77
Niektóre podwójnie załamujące kryształy mają
interesującą
własność
nazywaną
dichroizmem
,
polegającą na tym, że jedna ze składowych polaryzacji
jest pochłaniana silniej niż druga. Własność ta jest
pokazana na rysunku obok. Na tej zasadzie opiera się
działanie szeroko stosowanych polaroidów.
Zamiast dużej płytki wyciętej z kryształu można
zastosować
wiele
małych
kryształów
o osiach
optycznych ustawionych równolegle do siebie.
78