ALGEBRA Z GEOMETRIA I SEMESTR i Nieznany

Algebra z geometrią I semestr MEiL

rozkład materiału w kolejnych tygodniach semestru (zajęcia w modułach 3 godzinnych)

l. Liczby zespolone - definicja, własności, postać kartezjańska i trygonometryczna, wzory (de) Moivre'a.
2. Przestrzeń liniowa (wektorowa) – podprzestrzeń; generowanie przestrzeni, liniowa niezależność wektorów,
baza i wymiar, rozkład wektora w bazie (współrzędne wektora w bazie); iloczyn skalarny.
3. Przestrzeń liniowa cd. - przekształcenia liniowe i ich własności.
4. Wielomiany - podstawowe twierdzenie algebry, rozkład wielomianu na czynniki liniowe, wielomiany o
współczynnikach rzeczywistych.
5. Algebra macierzy. Wyznacznik- definicja i własności. Macierz odwrotna – sposoby obliczania.
6. Układy równań liniowych: a) ogólne (metoda eliminacji Gaussa) oraz b) w szczególności o macierzy
kwadratowej (metoda eliminacji Gaussa, wzory Cramera, metoda macierzowa).
7. Układ jednorodny. Wartości własne i wektory własne macierzy / odwzorowania liniowego.
8. Rząd macierzy. Układy równań liniowych - przypadek ogólny, twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego.
9. Kolokwium z algebry (materiał pierwszych ośmiu wykładów), wraz z omówieniem zadań.
10. Geometria analityczna w R

- iloczyn wektorowy i mieszany, prosta i płaszczyzna.

11. Powierzchnie drugiego stopnia w R

- sposoby opisu, informacja o klasyfikacji, równania kanoniczne.

12. Powierzchnie obrotowe, powierzchnie prostokreślne (=prostoliniowe), przekroje powierzchni
płaszczyznami (informacja o krzywych stożkowych).
13. Płaszczyzna styczna i prosta normalna do powierzchni. Funkcja wektorowa - pochodna i jej
interpretacja. Krzywe w R

- sposoby opisu.

14. Wektor styczny do powierzchni. Parametryzacja krzywej, parametr naturalny. Wektor styczny do krzywej,
wektor normalny główny i wektor binormalny. Trójścian Freneta.
15. Trójścian Freneta – cd (płaszcz. normalna, ściśle styczna, prostująca). Krzywizna i skręcenie krzywej.
Wzory Freneta. Wektor Darboux.

Liczby zespolone

- liczba zespolona ;

x Re

- część rzeczywista liczby z ;

y Im

- część urojona

liczby z

−

- liczba sprzężona do liczby z;

- moduł liczby zespolonej z.

• Jeżeli liczbę

interpretujemy jako punkt na płaszczyźnie o współrzędnych (x,y), to |z| jest

odległością tego punktu od punktu (0,0). Uwaga:

| z

(iloczyn liczb zespolonych - zobacz niżej)

• Argumentem liczby zespolonej

≠

nazywamy kąt

ϕ (określony z dokładnością do

wielokrotności 2

π), jaki tworzy promień wodzący punktu z=(x,y) z dodatnim kierunkiem osi Ox. Jeśli ϕ

jest argumentem liczby z, to liczba

ϕ + 2kπ ( k = 0, ±1, ±2, ...) także jest argumentem liczby z

(oznaczamy arg z - przez małe a). Liczbie z = 0 nie przypisujemy żadnego argumentu. Jeżeli założyć,
że 0

≤ ϕ < 2π, to ϕ nazywamy argumentem głównym liczby z (oznaczamy. ϕ = Arg z - [duże A]).

•

(

cos

sin

)

- postać trygonometryczna liczby zespolonej, r = |z| , cos

ϕ=x/r, sin ϕ = y/r (te

warunki wyznaczają kąt

ϕ=arg z z dokładnością do wielokrotności 2π). [Uwaga: Przytaczany niekiedy

wzór

ϕ = arc tg

y
x

(dla x

≠0) nie jest prawdziwy ogólnie – dlaczego?]

Niech z

= x

+ i y

oraz z

= x

+ i y

• Suma (różnica) liczb zespolonych: z

± z

= (x

± x

) + i(y

± y

) .

• Iloczyn liczb zespolonych: Liczby zespolone mnożymy tak jak wielomiany, pamiętając, że i

= –1. Tak

więc z

=(x

–y

)+i(x

) (w istocie - nie ma potrzeby zapamiętywania tego wzoru).

• Dzielenie liczb zespolonych:

−

⋅

Po wymnożeniu licznika

i podzieleniu przez mianownik, który jest liczba rzeczywistą otrzymujemy wynik dzielenia.

• Jeżeli liczby dane są w postaci trygonometrycznej, tzn. z

= r

(cos

+ i sin

) , k=1,2,

Str. 1 z 46

to wtedy z

= r

(cos(

) + i sin(

)) oraz

(cos(

–

) + i sin(

–

))

{Tak więc przy mnożeniu (dzieleniu) liczb zespolonych, ich moduły się mnożą (dzielą), a argumenty
dodają (odejmują)}. W szczególności,

• Wzór Moivre’a: Jeśli z = r(cos ϕ

+ i sin

ϕ) , to z

= r

(cos n

ϕ + i sin nϕ) (n=1,2,... ).

• Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby w nazywamy każdą liczbę z

, spełniającą równanie

Jeżeli

)

sin

(cos

, to

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

sin

cos

, k = 0, 1, ..., n–1.

1) Policzyć z

, 2z

+3z

, z

, gdzie z

=2–3i, z

= –1–2i.

2) Przedst. w post. trygonometr:. a) 1 + i

b) –1 + i

c) 2i + 2

– i e) 1 – i

f) –i g) –1 h) i

i) sin

ϕ+i cosϕ

j) (cos

ϕ – 1)+i sin ϕ (Wsk: wyrazić poprzez funkcje kąta ϕ/2)

3) Policzyć a) (1 – i

)

, (1 – i

)

, b)

)

(

−

, c)

)

(

)

(

)

(

)

(

−

; d)

−

(ogólnie, por.

zad. 7); e)

)

(

)

(

−

; f)

)

(

)

(

−

; g)

)

(

)

(

−

4) Rozwiązać równania: a) (1+i)z

– (6+2i)z + 14–2i = 0; b) (1+i)z

– (4+2i)z + 7+i = 0; c) z

– 2z +2 = 0;

d) z

+ z

+ 1 = 0 ;e) z

+ z – i + 1 = 0; f) z

– (1 + i)z – 2 – i = 0; g) z

+ (3i – 1)z – (i + 2) = 0

5) Obl.

symetrię)

połówkowe

wzory

(zastosowa

−

6) Wyrazić cos 5

ϕ oraz sin 5ϕ za pomocą sinϕ i cos ϕ. (Wskazówka: skorzystać ze wzoru Moivre’a)

7) Wykazać met. algebr. lub trygonometr., że dwa zespol. pierw.kwadr. z liczby zespolonej w = a + bi, czyli

rozw. równania z

= w, wyrażają się wzorem

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

, gdzie r=|w|= a

, zaś

ε =+1,

gdy b

≥0; ε = –1, gdy b<0. Uwaga. Przy obliczaniu pierwiastków kwadratowych z liczb zespolonych niekiedy

są przydatne tożsamości

−

gdzie

8) Korzystając ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego, znaleźć wzory na
C

= cos x + cos 2x + ... + cos nx oraz S

= sin x + sin 2x + ... + sin nx (wsk.: z=cos x + i sin x; obliczyć

+iS

= z + z

+ ... + z

i wyodrębnić część rzeczywistą i część urojoną tego wyrażenia).

Uwaga. Dla ułatwienia rachunków można doprowadzić z

n+1

–z oraz z–1 do postaci zbliżonej do

trygonometrycznej). Odp.:

9*a) Rozkładając wielomian x

2n+1

–1 na czynniki rzeczywiste, obliczyć iloczyn

∏

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

cos

b) Rozkładając wielomian x

+1 na czynniki rzeczywiste, obliczyć iloczyn

∏

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

)

(

cos

10) Podać interpretację geometryczną zbiorów liczb zespolonych:
a) {z: |z-i|

≤ 4, 0 ≤ arg z ≤π/2}; b) {z: |2z + 3| > 4}; c) {z: |z +1 – i| < 2}; d) {z: |z – 4| > |z|};

}

{

≤

−

∈

; f)

)}

(Re

)

arg

(

{

∧

≤

∈

;

}

{

−

∈

11) Wykazać prawdziwość tożsamości (dla dowolnych liczb zespolonych z

, z

a) |z

+ z

+|z

– z

= 2(|z

+ |z

)

Str. 2 z 46

(jest to szczególny - w przypadku liczb zespolonych - przypadek tzw. reguły równoległoboku, prawdziwej dla
normy zdefiniowanej jako pierwiastek kwadratowy z iloczynu skalarnego wektora przez siebie);
b)

)

)(

(

−

)

)(

(

−

d)*

)

(

)

(

)

(

−

(dosyć żmudne);

we wszystkich przypadkach korzystać intensywnie z tego, że

12) Obliczyć wszystkie wartości

1 i

(wsk.: wykorzystać wzory połówkowe, tożsamości z zadania 7 oraz

fakt, że 17/12

π=18/12 π – 1/12 π = 3/2 π – 1/12 π .

13) Znaleźć wszystkie zespolone rozwiązania równania

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

14)* a) Znaleźć wszystkie zespolone pierwiastki stopnia 5 z jedynki, rozwiązując równanie

, po podzieleniu przez z

, za pomocą podstawienia

. Znaleźć także

pierwiastki piątego stopnia z liczb –1, i oraz –i.
b) To samo, korzystając z tego, że 3*72=360 – 2*72, sin 3x = 3 sin x – 4 sin

Inne zadania dotyczące liczb zespolonych

1. Wyrazić Re z i Im z za pomocą

z i

2. Niech

. Wyznaczyć: a) część rzeczywistą i urojoną odwrotności liczby

; b) iloraz

z /

;

3. Obliczyć wartości wyrażeń: (2–3i)(–1+2i), 1/(1–2i), (2+i)/(3–2i), (1+2i)

,((3–i)/(2+3i))

4. Dla jakich wartości rzeczywistych a i b spełnione są relacje:

a) a(2+3i)+b(4–5i)=6–2i
b)

)

(

)

(

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

5. Rozwiązać równania: a) (1–i)

z+1+i=2–i; b) z

–2z+3=0; c) z

–4z+5=0; d) iz

+(1+i)z–1/2=0;

e) (1–i)z

–iz–1+i=0 f)iz

+2z+i=0

6. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki:

7. Korzystając z wzorów de Moivre'a na potęgowanie wyprowadzić wzory na sin 4a i cos 4a.

8. Korzystając z wzorów de Moivre'a na pierwiastkowanie wyznaczyć wartości

sin

cos

9. Rozwiązać równania: a)

; b)

; c)

−

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

Niech K = (K,+,

⋅) będzie pewnym ciałem - zwanym w dalszym ciągu ciałem skalarów. (Wystarczy

wiedzieć, że zarówno R (zbiór liczb rzeczywistych) jak i C (zbiór liczb zespolonych) wraz z czterema
działaniami: dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem przez liczbę różną od zera - są ciałami.
Uwaga: także W (zbiór liczb wymiernych) z tymi działaniami jest ciałem. )

Definicja: Przestrzenią wektorową nad ciałem K nazywamy czwórkę V=(V,+,

•,K), gdzie

Str. 3 z 46

0) V - pewien zbiór niepusty (zwany zbiorem wektorów);

Str. 4 z 46

+:V

×V→V - działanie dwuargumentowe na zbiorze V, tzn. funkcja, przyporządkowująca każdym

dwóm wektorom u, v

∈V wektor u + v, zwany sumą tych wektorów;

•:K×V→V - funkcja, przyporządkowująca każdej parze (α,v), gdzie α jest skalarem (α∈K), zaś v jest

wektorem (v

∈V) - pewien wektor, zwany iloczynem wektora v przez skalar α i oznaczany przez α•v (lub też

krócej - po prostu przez

αv) -

- przy czym spełnione są następujące aksjomaty 1) i 2):

1) (V,+) jest grupą (zob. a, b, c poniżej) i to przemienną, czyli abelową (d), tzn.:

a) dla dowolnych wektorów u, v, w zachodzi

(u + v) + w = u + (v + w) (łączność dodawania wektorów);

b) istnieje element 0

∈V taki, że

0 + v = v = v + 0 dla dowolnego wektora v

∈V;

0 nazywamy wektorem zerowym, jest on elementem neutralnym względem

dodawania

wektorów;

c) dla każdego wektora v

∈V istnieje wektor oznaczany przez –v taki, że

v + (–v) = 0 = (–v) + v;

d) dla dowolnych wektorów u, v zachodzi

u + v = v + u

(przemienność dodawania wektorów).

2) Dla dowolnych wektorów i skalarów występujących poniżej zachodzą równości:
a)

α•(u + v) = α•u + α•v ;

(

α+β)•v = α•v + β•v ;

α•(β•v) = (αβ)•v ;

•v = v.

powyższych aksjomatów można z łatwością wyprowadzić następujące własności:

a) 0

•v=0;

α•0=0;

c) (–

α)•v = –(α•v) = α•(–v), w szczególności (–1)•v = –v;

α•v = 0 ⇔ (α = 0 lub v = 0).

Od tej pory rezygnujemy z rozróżniania + i +, – i –,

⋅ i • oraz 0 i 0.

Przykłady.

1.1) K - dowolne ciało, V = K

, tzn. V jest zbiorem wszystkich ciągów n-elementowych

, x

, ... , x

), gdzie x

∈K dla i=1,2,...,n. Definiujemy działania w V jak następuje:

, x

, ..., x

) + (x

, x

, ..., x

) = (x

+ y

, x

+ y

, ...x

+ y

)

α(x

, x

, ..., x

) = (

αx

, ...,

αx

(Najczęściej rozważamy takie przestrzenie nad K = R bądź też K = C, tzn. mamy do czynienia z R

bądź C

1.1') K jak wyżej, V = K

[x], tzn. V jest zbiorem wszystkich wielomianów stopnia

≤ n o współczynnikach z K.

Dodawanie wielomianów i mnożenie wielomianu przez stałą (skalar z K) są określone w zwykły sposób.
Ponieważ wielomian możemy uważać za ciąg jego współczynników, tzn. współczynników przy kolejnych
potęgach 1, x, x

..., x

, rozważana przestrzeń z punktu widzenia teorii przestrzeni wektorowych w zasadzie

niczym się nie różni od przestrzeni z przykładu 1 z n zastąpionym przez n+1 (w algebrze mówimy, że
przestrzenie K

[x] i K

n+1

są izomorficzne: istnieje wzajemnie jednoznaczne przekształcenie jednej z nich na

drugą, zachowujące działania przestrzeni wektorowej, tzn. liniowe - zob. dalej).

1.1'') K jak wyżej, V = M

×n

(K), tzn. V jest zbiorem wszystkich macierzy o m wierszach i n kolumnach, o

elementach z K. Dodawanie macierzy i mnożenie macierzy przez liczbę (element ciała K) określamy w zwykły

Str. 5 z 46

sposób. Okazuje się, że przestrzeń ta jest izomorficzna z K

. W szczególności, zarówno przestrzeń M

×n

(K)

(macierze jednowierszowe, jak i M

×1

(K) (macierze jednokolumnowe) możemy utożsamiać z K

PODPRZESTRZENIE PRZESTRZENI WEKTOROWEJ

Definicja. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech W będzie pewnym niepustym

podzbiorem zbioru V (W

⊆V). Mówimy, że W jest podprzestrzenią przestrzeni V, jeżeli spełnione są

następujące dwa warunki:
a) dla dowolnych wektorów w

, w

∈W, ich suma w

+ w

również należy do W;

b) dla dowolnego skalara

α i dla dowolnego wektora w∈W, iloczyn αw również należy do W.

Oba te warunki wyrażamy krótko mówiąc, że podzbiór W jest zamknięty ze względu na dodawanie

wektorów i ze względu na mnożenie przez dowolny skalar z K. Łatwo zauważyć, że każda podprzestrzeń
przestrzeni wektorowej sama jest przestrzenią wektorową ze względu na odpowiednio ograniczone działania.
Powyższe warunki a) i b) wyrażamy niekiedy łącznie poprzez jeden warunek:

c) dla dowolnych w

∈W i α

∈K, zachodzi α

∈W.

Występujące powyżej wyrażenie

jest kombinacją liniową (zdefiniowaną w następnym paragrafie)

dwóch wektorów w

, w

. Okaże się, że w istocie podprzestrzeń wektorowa jest zamknięta na branie kombinacji

liniowej dowolnego układu wektorów do niej należących.

Przykłady.

2.1) W przestrzeni z przykładu 1.1, rozważmy podzbiór, do którego należą wszystkie te punkty (x

,...,x

które spełniają ustalony jednorodny układ równań liniowych:

+ a

+...+ a

+ a

+...+ a

..........................................

+ a

+...+ a

lub, w równoważnym zapisie, zbiór macierzy jednokolumnowych X (tzn. n

×1) spełniających równanie

macierzowe AX=0, gdzie A=[a

] jest ustaloną macierzą m

×n. Łatwo przekonać się, że podzbiór ten stanowi

podprzestrzeń rozważanej przestrzeni.

2.1') Przestrzeń K

[x] jest podprzestrzenią przestrzeni K

[x] dla m

≤n. Wszystkie przestrzenie K

[x] są

oczywiście podprzestrzeniami przestrzeni K[x]. Innym przykładem podprzestrzeni przestrzeni K

[x] jest zbiór,

składający się ze wszystkich wielomianów, których pierwsza pochodna jest równa 0. (Ogólnie, dla dowolnego
przekształcenia liniowego, jego jądro, tzn. zbiór wektorów pierwszej przestrzeni, które przechodzą przy tym
przekształceniu na zero drugiej przestrzeni, jest podprzestrzenią pierwszej przestrzeni.)

2.1'') Zbiory macierzy a) symetrycznych (A

= A); b) antysymetrycznych (A

= –A); c) diagonalnych (a

=0 dla

≠j) - są podprzestrzeniami przestrzeni M

×n

(K).

2.4) Zbiory funkcji a) ciągłych b) różniczkowalnych - są podprzestrzeniami przestrzeni wszystkich funkcji
rzeczywistych określonych na danym przedziale. Podobnie: zbiór funkcji zerujących się na ustalonym
podprzedziale tego przedziału; zbiór funkcji parzystych na przedziale <–a,a>; zbiór funkcji nieparzystych na
przedziale <–a,a>.

Można wykazać, że:

Str. 6 z 46

(i) przecięcie (część wspólna) dwóch, i ogólnie - dowolnej rodziny podprzestrzeni danej przestrzeni jest
również podprzestrzenią tej przestrzeni; w szczególności, istnieje najmniejsza podprzestrzeń zawierająca dany
podzbiór A tej przestrzeni;

(ii) suma (algebraiczna, nie teoriomnogościowa) dwóch podprzestrzeni W

i W

danej przestrzeni V, tzn. zbiór

tych wektorów v

∈V, które dadzą się przedstawić w postaci

v = w

+ w

, gdzie w

∈W i w

∈W

– jest również podprzestrzenią tej przestrzeni.

KOMBINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW.

PODPRZESTRZEŃ GENEROWANA PRZEZ DANY UKŁAD WEKTORÓW.

Definicja. Niech będą dane wektory v

, v

, ..., v

danej przestrzeni wektorowej. Mówimy, że wektor

∈V jest kombinacją liniową wektorów v

, v

, ..., v

, jeżeli istnieją skalary

, ...,

, takie że

v =

+ ... +

Mówimy wtedy też, że wektor v daje się przedstawić w postaci kombinacji liniowej danego układu wektorów.
Skalary

, ...,

nazywamy współczynnikami tej kombinacji liniowej. Kombinacją liniową możemy też

nazywać każde wyrażenie postaci

+ ... +

jak wyżej, gdzie v

są wektorami danego układu, zaś

- dowolnymi skalarami. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów ze zbioru A oznaczamy prze

L(A) lub Span A (lub Lin A) – jest to najmniejsza podprzestrzeń rozważanej przestrzeni, zawierająca zbiór A,
czyli podprzestrzeń generowana przez A lub podprzestrzeń rozpięta na A.

Mówimy,

że zbiór A generuje daną przestrzeń wektorową V, jeżeli L(A)=V, tzn. każdy wektor z

przestrzeni V daje się przedstawić jako pewna kombinacja liniowa wektorów zbioru A. W naszym wykładzie
najczęściej będziemy korzystali z tego pojęcia w przypadku skończonego układu wektorów - powtórzmy
zatem, że:

zbiór (układ) wektorów {v

, v

, ..., v

} generuje przestrzeń V, jeżeli każdy wektor v

∈V posiada przedstawienie

w postaci pewnej kombinacji liniowej tego układu (tzn.

+ ... +

dla odpowiednio dobranych skalarów

∈K).

Przedstawienie takie na ogół nie jest jednoznaczne - z wyjątkiem pewnych szczególnych przypadków, o
których będzie mowa przy omawianiu pojęcia bazy przestrzeni wektorowej.

LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ WEKTORÓW. GENEROWANIE PRZESTRZENI.

Definicja. Niech V będzie przestrzenią wektorową (nad K), niech v

, v

, ... v

∈V. Mówimy, że zbiór

(układ) wektorów {v

, v

, ..., v

} jest:

a) liniowo zależny, jeżeli istnieją

, ...,

∈K nie wszystkie równe zeru, takie że

+ ... +

= 0

(tzn. istnieje nietrywialna kombinacja liniowa tego zbioru, która się zeruje; aby stwierdzić, że badane wektory
są liniowo zależne, wystarczy więc podać przynajmniej jedną taką nietrywialną kombinację);

b) liniowo niezależny - w przeciwnym przypadku, tzn. gdy

warunek

+ ... +

= 0 pociąga za sobą

= ... =

= 0;

(inaczej mówiąc, gdy jedyną kombinacją liniową tego zbioru, która się zeruje, jest kombinacja trywialna, ze
wszystkimi współczynnikami równymi zeru). Jak widać, warunek liniowej niezależności układu wektorów ma
postać implikacji - której prawdziwość trzeba sprawdzać w konkretnych przypadkach badania liniowej
niezależności danych wektorów.

Str. 7 z 46

Przykłady. Zbiór złożony z jednego wektora - powiedzmy {v} jest liniowo niezależny wtedy i tylko
wtedy, gdy wektor ten jest niezerowy. Zbiór złożony z dwu wektorów - {v

, v

}, gdzie dla uproszczenia

zakładamy że v

≠0 - jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy v

αv

dla pewnego

α, tzn. gdy wektor v

jest równoległy do v

(leży na prostej, wyznaczonej przez kierunek wektora v

). Zbiór {v

, v

}, gdzie dla

uproszczenia zakładamy, że pierwsze dwa wektory są liniowo niezależne - jest liniowo zależny wtedy i tylko
wtedy, gdy v

jest kombinacją liniową pierwszych dwóch wektorów, tzn., geometrycznie, leży na płaszczyźnie

rozpiętej na wektorach v

i v

. Można ogólnie udowodnić, że:

Wektory

,...,v

są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy v

=0 lub też jeden z wektorów jest

kombinacją liniową wektorów poprzedzających go w tym ciągu. (Warunek v

=0 można w powyższym

sformułowaniu opuścić, jeżeli przyjąć umowę, że wektor zerowy uważamy za kombinację liniową pustego
zbioru wektorów; wtedy fakt, że v

=0 jest równoznaczny ze stwierdzeniem, że v

jest kombinacją liniową

wektorów go poprzedzających, tzn. zbioru pustego !)

Można również stwierdzić, że: zbiór A jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje v

∈A taki,

że v jest kombinacją liniową wektorów pozostałych, tzn. zbioru A \ {v}. (W odróżnieniu od poprzedniego
twierdzenia, zbiór A może tu być nieskończony i jego elementy nie muszą być ustawione w jakimś zadanym z
góry porządku; dlatego nie możemy mówić o elementach poprzedzających jakiś element, ale zawsze mamy
prawo mówić o pozostałych elementach zbioru, czyli o zbiorze A \ {v}.)

W wielu przypadkach badanie liniowej zależności bądź też niezależności danego układu wektorów

można sprowadzić do badania istnienia niezerowych (nietrywialnych) rozwiązań pewnego jednorodnego
układu równań liniowych, co z kolei w niektórych przypadkach wiąże się z zerowaniem się (lub nie) pewnych
wyznaczników.

Tak

więc, jeżeli badamy układ n wektorów v

, v

, ... v

w przestrzeni K

, to każdy z wektorów v

jest, z

definicji K

, pewnym m - elementowym ciągiem: v

=(a

, a

, ..., a

), i = 1,2,...,n. Warunek x

+ x

+ ...+

= 0, występujący zarówno w definicji liniowej zależności, jak i niezależności można zapisać jako

+ a

+...+ a

= 0

+ a

+...+ a

= 0

.............................................

+ a

+...+ a

= 0

czyli w postaci układu m równań liniowych jednorodnych z k niewiadomymi x

, x

, ..., x

. W myśl podanych

definicji, wektory te są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy układ ten posiada rozwiązanie niezerowe, zaś
liniowo niezależne - wtedy i tylko wtedy, gdy układ ten posiada jedynie rozwiązanie zerowe. W szczególności
jeżeli m = n, to ma zastosowanie twierdzenie Cramera i wystarczy zbadać odpowiedni wyznacznik n

×n,

utworzony ze współrzędnych badanych wektorów (wektory są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
wyznacznik ten jest różny od zera). (Natomiast jeżeli m

≠ n, to trzeba wiedzieć coś więcej o układach równań -

np. znać twierdzenie Kroneckera – Capelli’ego i pojęcie rzędu macierzy, choć nie jest to bezwzględnie
konieczne. Badane wektory są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy utworzonej z ich
współrzędnych w pewnej bazie jest równy ilości tych wektorów.)

Zwróćmy wreszcie uwagę na pewną konsekwencję liniowej niezależności układu wektorów, dotyczącą
przedstawienia wektora w postaci kombinacji liniowej tego układu:

Jeżeli układ (v

, v

, ..., v

) jest liniowo niezależny, to przedstawienie danego wektora v w postaci

kombinacji liniowej tego układu, o ile istnieje - jest jednoznaczne:

jeżeli v =

+ ... +

, to

dla i=1,2,...,k

(wynika to natychmiast z liniowej niezależności po przeniesieniu wszystkich składników na jedną stronę
równości i zgrupowaniu współczynników przy poszczególnych wektorach). Fakt ten można natychmiast

Str. 8 z 46

uogólnić także na nieskończony układ wektorów i stanowi on podstawę możliwości jednoznacznego
zdefiniowania współrzędnych wektora względem bazy, o czym będzie mowa dalej.

BAZA PRZESTRZENI WEKTOROWEJ.

WSPÓŁRZĘDNE WEKTORA WZGLĘDEM BAZY.

WYMIAR PRZESTRZENI WEKTOROWEJ.

Niech V będzie przestrzenią wektorową. Zbiór B

⊆V nazywamy bazą tej przestrzeni, jeżeli generuje V i

jest liniowo niezależny.

Przykłady.

5.1) W przestrzeni K

układ (e

, e

, ..., e

), gdzie e

= (1,0,0,...,0), e

= (0,1,0,...,0), ..., e

= (0,0,0,...,1) - jest

bazą. Istotnie, każdy wektor x=(x

, x

, ..., x

) ma przedstawienie

x = x

+ x

+ ... + x

zaś liniowa niezależność tego zbioru wynika wprost z definicji liniowej niezależności.

5.1') W przestrzeni K

[x] wielomianów stopnia

≤ n bazą jest np. układ 1; x; x

; ...; x

. W przestrzeni K[x]

nieskończony układ 1; x; x

; x

; ... jest bazą. Podobnie w przestrzeni K

∞

bazą jest np. nieskończony ciąg e

, e

, ... , gdzie e

= (0,0,...,0,1,0,...), tzn. e

ma jedynkę na i-tym miejscu, a 0 na pozostałych. W przestrzeni K

∞

istnieje niewątpliwie jakaś baza (można udowodnić, że każda przestrzeń wektorowa posiada bazę - zobacz
dalej), ale ciąg e

, e

, ... nie jest bazą (bo np. element (1,1,1,...) nie przedstawia się jako kombinacja liniowa

tego ciągu - taka kombinacja liniowa musiałaby mieć współczynniki przy wszystkich e

równe jeden, a zatem

musiałoby być nieskończenie wiele współczynników różnych od zera - czego definicja kombinacji liniowej nie
dopuszcza).

Zadanie. Podać przykład bazy dla przestrzeni macierzy n

×n i dla jej dwóch podprzestrzeni - podprzestrzeni

macierzy symetrycznych (A

= A, tzn. a

= a

dla i,j=1,2,...,n) i podprzestrzeni macierzy antysymetrycznych

= –A, tzn. a

= –a

dla i,j=1,2,...,n).

To,

że B generuje V - oznacza, że każdy wektor v

∈V ma przedstawienie w postaci kombinacji liniowej

wektorów zbioru B. Na mocy liniowej niezależności zbioru B, w myśl uwagi z poprzedniego paragrafu, to
przedstawienie jest jednoznaczne (z dokładnością do porządku składników i ew. składników z zerowymi
współczynnikami). Tak więc:

Jeżeli B jest bazą przestrzeni V, to każdy wektor przestrzeni V

ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji liniowej wektorów zbioru B.

Na odwrót, jeżeli każdy wektor przestrzeni V ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji

liniowej zbioru B, to B jest bazą przestrzeni V. W istocie, aby udowodnić liniową niezależność zbioru B,
załóżmy, że (dla uproszczenia przyjmujemy, że zbiór B jest skończony)

+ ... +

= 0 = 0v

+ 0v

+ ... + 0v

;

ponieważ w szczególności przedstawienie wektora zerowego w postaci kombinacji liniowej zbioru B jest
jednoznaczne, musi być

= 0,

= 0, ...,

= 0,

cnd.
Jeżeli B jest zbiorem skończonym, to na ogół przyjmujemy, że elementy zbioru B są ponumerowane w
pewnej kolejności - czyli mamy wtedy właściwie do czynienia z bazą uporządkowaną, tzn. ciągiem B=(v

, v

..., v

). Fakt, że B jest bazą oznacza więc wtedy, że każdy wektor v

∈V ma przedstawienie w postaci

v =

+ ... +

przy czym współczynniki tego przedstawienia są wyznaczone jednoznacznie. Współczynniki te nazywamy
współrzędnymi wektora v w bazie B. Zwykle współrzędne wektora v w bazie B zapisujemy w postaci macierzy
kolumnowej (tzn. [

, ...

]

) i oznaczamy przez M

(v).

Twierdzenie. Niech V będzie przestrzenią wektorową, B

⊆V. Wtedy następujące warunki są sobie równoważne:

B jest bazą przestrzeni V

B jest liniowo niezależny i B generuje V

B jest maksymalnym liniowo B jest minimalnym podzbiorem
niezależnym podzbiorem zbioru V, generującym V, tzn. B generu-
tzn. B jest liniowo je V i dla dowolnego v∈B, zbiór
niezależny i dla dowolnego v∈V\B, B\{v} nie generuje prz. V
zbiór B∪{v} jest liniowo zależny.

Ponadto, gdy dim V = n < ∞ (zob. dalej),
dochodzą nowe równoważne warunki,
a mianowicie:

B jest liniowo niezależny B generuje V i ma n=dim V elementów
i ma n=dim V elementów

Warunki

powyższe wiążą się z możliwością uzupełniania danego liniowo niezależnego podzbioru

przestrzeni do jej bazy oraz wybierania bazy z danego zbioru generującego przestrzeń. Mianowicie:

Niech

A-liniowo niezależny podzbiór przestrzeni V,

C-zbiór generujący (rozpinający) przestrzeń V,

przy czym A

⊆ C.

Wtedy istnieje baza B przestrzeni V taka, że A

⊆B⊆C.

Wnioski:

Każdy liniowo niezależny podzbiór A przestrzeni V

można uzupełnić do bazy tej przestrzeni (wystarczy wziąć C=V !).

(W praktyce, mając A dopisujemy do niego dowolny (skończony) układ generatorów, np. znaną już
jakąkolwiek bazę, i stosujemy procedurę wykreślania tych wektorów, które są kombinacjami liniowymi
wektorów je poprzedzających. Ponieważ sam zbiór A jest liniowo niezależny, żaden z jego elementów nie
ulegnie wykreśleniu.)

Z każdego zbioru generującego przestrzeń V

można wybrać bazę tej przestrzeni (wystarczy wziąć A =

∅ (zbiór pusty)).

Str. 9 z 46

Str. 10 z 46

(W praktyce, mając do czynienia ze (skończonym) zbiorem generującym przestrzeń V, wystarczy kolejno
wykreślić z niego te wektory, które są kombinacją liniową wektorów je poprzedzających.)

W szczególności,

każda przestrzeń wektorowa ma bazę.

Dowodzi się, że każde dwie bazy przestrzeni W składają się z tej samej liczby wektorów. Wymiarem

przestrzeni W nazywamy ilość wektorów jej bazy. Przestrzeń jest skończenie wymiarowa, jeżeli ma skończoną
bazę, w przeciwnym przypadku mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa.

DALSZE WŁASNOŚCI WSPÓŁRZĘDNYCH WEKTORA W BAZIE.

Jeżeli baza B rozpatrywanej przestrzeni jest zbiorem skończonym, to na ogół przyjmujemy, że elementy
zbioru B są ponumerowane w pewnej kolejności - czyli mamy właściwie do czynienia z bazą uporządkowaną,
tzn. ciągiem B=(v

, v

, ..., v

). Fakt, że B jest bazą oznacza więc wtedy, że każdy wektor v

∈V ma

przedstawienie w postaci

v =

+ ... +

, ...

]

i oznaczamy przez M

(v) lub [v]

Odwzorowanie

ma oczywiście następujące własności:

+ v

) = M

) + M

);

(

αv)=αM

(v);

ogólniej,

(

+ ... +

) =

) +

) + ... +

w szczególności

(0)=0;

wszystkie te fakty możemy skwitować stwierdzeniem, że M

jest odwzorowaniem liniowym - zobacz dalej.

możemy w sposób naturalny uogólnić na układy wektorów:

jeżeli U=(u

, u

, ..., u

), to przez M

(U) będziemy rozumieć macierz n

×k, powstałą przez ustawienie obok

siebie jednokolumnowych macierzy M

), M

), ..., M

) - co zapisujemy jako

)|M

)|...|M

)]. Inaczej mówiąc, M

(U) jest macierzą, której poszczególne kolumny są kolumnami

współrzędnych wektorów układu U w bazie B.

Niech B będzie ustaloną bazą przestrzeni V, n=dim V, U będzie dowolnym układem k wektorów.

Wtedy:

podprzestrzeń W przestrzeni V generowana przez U ma wymiar rz M

(U);

w szczególności:

układ U jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy rz M

(U)=k;

układ U generuje całą przestrzeń V wtedy i tylko wtedy, gdy rz M

(U) = n = dim V;

w jeszcze bardziej szczególnym przypadku, gdy układ U składa się z n = dim V wektorów:

U jest bazą przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy rz M

(U)=n,

co z kolei zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy det M

(U)

≠ 0.

Jeżeli C jest również bazą przestrzeni V, to macierz M

(zmiany bazy B na bazę C) lub macierzą przejścia od bazy B do bazy C. (B nazywamy często umownie "starą"
bazą, zaś C - "nową".) Mamy w szczególności C=BM

(C). Ponieważ dla dowolnego wektora v mamy

(v) = v = CM

(v)=BM

(C)M

(v),

zaś równość tę można interpretować w ten sposób, że macierzą współrzędnych wektora v w bazie B jest
zarówno M

(v), jak i M

(C)M

(v) (a współrzędne wektora są wyznaczone jednoznacznie), więc

(v) = M

(C)M

(v).

Równość tę można z kolei uogólnić na dowolne układy wektorów:

(U) = M

(C)M

(U) .

W szczególności podstawiając tu U=B, otrzymujemy

I = M

(B) = M

(C)M

(B) ,

czyli macierze M

(B) są wzajemnie odwrotne. Wobec tego otrzymujemy także związek odwrotny

pomiędzy współrzędnymi tego samego wektora w dwóch bazach, a mianowicie

(v) = M

(B)M

(v) = [M

(C)]

–1

(v) .

1. Zbadać, czy wektory v

= (1,2,3), v

= (4,5,6), v

= (7,8,9) w R

są liniowo zależne. Odp.: Tak, np.

– 2v

+ v

= 0 jest nietrywialną zależnością liniową między tymi wektorami.

2. Zbadać liniową niezależność / zależność wektorów:
a) (1,1,1),(–1,2,1); b) (1,3,1,2),(2,3,2,1),(4,1,0,1),(1,–5,–3,–2); c) (1,3,1),(1,0,3),(2,2,2); d) (5,1,–1),(–3,0,2),
(–1,1,3); e) (1,2,1,0),(2,2,1,1),(3,2,4,1),(3,1,3,1),(1,–1,–1,3). Odp. a),c) są lin. niezal; b), d), e) są lin. zależne.
3. Znaleźć wszystkie wartości parametru

λ, przy których wektor b wyraża się jako kombinacja liniowa

wektorów a

, a

,..., a

. Znaleźć taką kombinację. Czy jest ona wyznaczona jednoznacznie? Zinterpretować

otrzymany wynik geometrycznie.
a) a

=(2,3,5), a

=(3,7,8), a

=(1,–6,1), b=(7,–2,

λ). Odp.: λ=15 (niejednoznacznie).

b) a

=(4,4,3), a

=(7,2,1), a

=(4,1,6), b=(5,9,

λ). Odp.: λ - dowolne (jednoznacznie).

c) a

=(3,4,2), a

=(6,8,7), b=(9,12,

λ) Odp.: λ - dowolne (wszystko dzieje się na płaszczyźnie 4x

–3x

=0).

d) a

=(3,2,5), a

=(2,4,7), a

=(5,6,

λ), b=(1,3,5). Odp. λ≠12 (jednoznacznie).

r) a

=(3,2,6), a

=(7,3,9), a

=(5,1,3), b=(

λ,2,5). Odp. Nigdy (płaszczyzna 3x

–x

=0).

4. Wykazać, że funkcje 1, cos x, sin x (rozważane np. jako elementy przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na
prostej) są liniowo niezależne.
5. Rozważmy zbiór R

z następująco wprowadzonymi działaniami:

, x

) + (y

, y

) = (x

+ y

, x

+ y

);

α(x

, x

) = (

αx

, 0) dla

α∈R.

Czy przy takich definicjach działań R

jest przestrzenią wektorową? Które z aksjomatów przestrzeni

wektorowej są spełnione, a które ewentualnie nie? [Pytanie na później: Jeżeli tak, tzn. jeżeli jest przestrzenią
wektorową, to podać przykład jakiejkolwiek bazy tej przestrzeni.]
6. Wykazać, że funkcje

, gdzie

są parami różne - tworzą układ liniowo niezależny.

Wskazówka. Założyć, że pewna kombinacja liniowa się zeruje - zróżniczkować ją 0, 1, 2 razy, podstawić x=0,
otrzymując pewien jednorodny układ równań liniowych względem współczynników kombinacji liniowej - o
wyznaczniku różnym od zera (jest to szczególny przypadek tzw. wyznacznika Vandermonda; dla większej
ilości parametrów liczy się go przez indukcję).

Str. 11 z 46

7. Wykazać, że funkcje cos

x, sin

x, cos

x, sin

x są liniowo zależne. Wsk.: Rozważyć cos

x–sin

8. W przestrzeni R

rozważamy podzbiór W={(x

): 2x

+3x

+5x

=0}.

a) Zbadać, czy W jest podprzestrzenią.
Jeżeli tak, to:
b) podać przykład bazy tej przestrzeni (tzn. W);
c) czy wektor (5,–5,1) należy do W? Jeżeli tak, to
ca) czy wektor ten da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów znalezionej bazy - jeżeli tak, to
znaleźć taką kombinację liniową i
cb) zbadać, czy takie przedstawienie (tzn. w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy) jest jednoznaczne.
Odp. a) tak; b) np. {(–3/2,1,0),(–5/2,0,1)} - znajdujemy rozwiązując “jednorównaniowy” układ równań
liniowych; c) tak; ca) tak - oczywiście, z definicji bazy; konkretnie - współczynniki (3,5), tak że [3,5]

jest

kolumną współrzędnych danego wektora w tej bazie; cb) - tak, oczywiście, z wyznaczenia jedynego
rozwiązania lub z własności bazy.

9. Rozstrzygnąć pytanie w a) z powyższego zadania także dla W={(x

): x

=1}, W={(x

): x

jest liczbą wymierną}.

10. Rozważamy zbiór wszystkich macierzy antysymetrycznych n na n (tzn. takich, że A

= –A) - wykazać, że

zbiór ten jest podprzestrzenią przestrzeni wszystkich macierzy n na n; podać (skonstruować) przykład bazy -
najpierw w szczególnym przypadku n=3, a następnie ogólnie - jaki jest wymiar tej przestrzeni? Odp.: n(n–1)/2 .

11. Niech A będzie daną macierzą n na n, i niech W={X: AX=XA}, tzn. W jest zbiorem wszystkich macierzy
kwadratowych n na n przemiennych z macierzą A. Wykazać, że W jest podprzestrzenią przestrzeni wszystkich

macierzy kwadratowych n na n. W przypadku n=2 i gdy A jest konkretną macierzą 2 na 2, np.

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

podać przykład bazy przestrzeni W (to ostatnie znowu sprowadza się do rozwiązania układu czterech równań
liniowych z czterema niewiadomymi).

12. Podobnie, niech X będzie ustalonym wektorem kolumnowym i rozważamy zbiór W wszystkich macierzy
kwadratowych X takich, że AX=0. Wykazać, że jest to podprzestrzeń przestrzeni wszystkich macierzy
kwadratowych n na n. W szczególnym przypadku gdy n=2 i X=[1,2]

, znaleźć (podać przykład) bazę

przestrzeni W.

13. Czy wektory e

=(2,2,–1), e

=(2,–1,2), e

=(–1,2,2) tworzą bazę przestrzeni R

? Jeśli tak, to znaleźć

współrzędne wektora v=(1,1,1) w tej bazie.
14. Jak wiadomo, przestrzeń wielomianów stopnia

≤n posiada za bazę np. układ wektorów 1;x;x

,...,x

, tak że

jej wymiar wynosi n+1. Wykazać, że inny układ n+1 wektorów, a mianowicie

1; x; x(x–1); x(x–1)(x–2); ... ; x(x–1)(x–2)...(x–n+1)

jest również bazą tej przestrzeni.
Wsk. Wystarczy zbadać liniową niezależność. Podstawiać kolejno szczególne punkty x=0, x=1, x=2 itd., co
pozwoli otrzymać kolejno, że współczynniki kombinacji liniowej przy 1; x; x

itd. muszą być równe zeru.

15. B=(e

) - baza V. Niech B’=(e

’, e

’), gdzie e

’=2e

+3e

, e

’=2e

–e

. (Czyli e

’ ma jako kolumnę

współrzędnych macierz [2,3]

, zaś e

’ - macierz [2,–1]

.) a) Sprawdzić, że B’ jest również bazą przestrzeni V.)

b) Wektor v ma w bazie B’ współrzędne [2,3]

. Jakie współrzędne ma ten wektor w bazie B? c) Wektor v ma

w bazie B współrzędne [14,5]

. Jakie współrzędne ma ten wektor w bazie B’?

Odp. a) wynika np. z faktu, że wyznacznik utworzony ze wspomnianych kolumn (lub wierszy) jest różny od
zera; b) [10,3]

; c) [3,4]

16. Ogólnie, niech N=[a

] będzie macierzą n na n, det N

≠0, B=(v

, v

, ..., v

), - ustalona baza przestrzeni V,

B’=(v

’, v

’, ..., v

’), gdzie

(Tak więc kolumnami współrzędnych wektorów v

∑

,...,

bazie B są kolejne kolumny macierzy N. Macierz N jest tzw. macierzą przejścia od bazy B do bazy B’.)

Str. 12 z 46

a) Sprawdzić, że B’ jest bazą dzięki temu, że B jest bazą i det N

≠0.

b) Zauważyć,

że w tej sytuacji mamy także (częściowo symboliczną) równość

)

,...,

(

)

,...,

(

czyli

c) Sprawdzić, że dany wektor v, który w bazie B’ ma kolumnę współrzędnych X’=[x

’,...,x

’]

, w bazie B ma

kolumnę współrzędnych X=[x

,...,x

]

, gdzie

, tzn. X=NX’. (Uwaga - wtedy

oczywiście X’=N

∑

,...,

–1

X .)

17. Niech wektor v będzie kombinacją liniową wektorów u

, u

, ..., u

, w, przy czym wektor v nie jest

kombinacją liniową wektorów u

, u

, ..., u

. Wykazać, że wtedy wektor w jest kombinacją liniową

wektorów u

, u

, ..., u

, v . (Jest to tzw. twierdzenie o wymianie.)

18. Wykazać, że jeżeli wektory v

, v

, ... v

są liniowo zależne, to v

=0 lub też jeden z wektorów jest

kombinacją liniową poprzednich (warunek v

=0 można opuścić, jeżeli umówić się, że 0 uważamy za

kombinację liniową pustego zbioru wektorów); inne wysłowienie: jeden z wektorów należy do podprzestrzeni
generowanej przez wektory go poprzedzające w tym ciągu.

PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE PRZESTRZENI WEKTOROWYCH.

MACIERZ PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWEGO.

ZMIANA BAZY W PRZESTRZENI WEKTOROWEJ.

Niech V i W będą przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciałem K. Odwzorowanie F:V

→W

nazywamy odwzorowaniem liniowym (przestrzeni V w przestrzeń W), jeżeli spełnione są następujące warunki:

(i)

F(v

+ v

) = Fv

+ Fv

(ii)

αv) = α(Fv)

dla dowolnych wektorów v

, v

∈V i dla dowolnego skalara α. Te dwa warunki możemy też wyrazić

równoważnie jako

) =

dla dowolnych wektorów v

i skalarów

. Konsekwencją tych warunków jest z kolei zachowywanie

dowolnej kombinacji liniowej wektorów z przestrzeni V:

+ ... +

) =

+ ... +

co możemy również zapisać jako

F(UC)=F(U)C,

jeżeli umówimy się, że przez dla układu U=(u

, ..., u

) przez F(U) rozumiemy układ (Fu

, ..., Fu

); C jest tu

dowolną macierzą kolumnową [

, ...,

]

, a w konsekwencji także dowolną macierzą o k wierszach.

W szczególnym przypadku, gdy V=W, przekształcenie liniowe F:V

→V, tzn. przekształcenie liniowe

prowadzące z danej przestrzeni w nią samą, nazywamy operatorem liniowym.

Przykłady.

7.1) Niech V = R

, W = R

, przy czym elementy przestrzeni V i W utożsamiamy z ich jednokolumnowymi

macierzami współrzędnych w bazie “kanonicznej”, tzn. zero-jedynkowej (inaczej mówiąc, ciągi (x

, x

, ...,

)

∈R

utożsamiamy z macierzami kolumnowymi X=[x

, x

, ..., x

]

). Niech A będzie ustaloną macierzą m

×n.

Str. 13 z 46

Str. 14 z 46

Można z łatwością sprawdzić, że odwzorowanie F: V

→W dane wzorem: F(X)=AX dla X∈V - jest liniowe.

Zobaczymy później, że przy ustalonych bazach (skończonych) w obu przestrzeniach, każde odwzorowanie
liniowe przekształca współrzędne wektorów właśnie w ten sposób.
7.2) W przestrzeni wielomianów, zarówno różniczkowanie (branie pochodnej), jak i mnożenie przez ustalony
wielomian - są odwzorowaniami liniowymi. W konsekwencji np. odwzorowanie, dane wzorem
F(w(x))=d

/dx

[(x

+ 1)w(x)] , jest odwzorowaniem liniowym.

Łatwo przekonać się, że:

(i) suma dwóch odwzorowań liniowych z V w W jest odwzorowaniem liniowym;

(ii) iloczyn danego odwzorowania liniowego przez dowolną liczbę (skalar z K) jest odwzorowaniem liniowym;

(iii) jeżeli F jest odwzorowaniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W, zaś G jest odwzorowaniem
liniowym przestrzeni W w przestrzeń U, to złożenie GF = G

°F (rozumiane jako: (GF)v = G(Fv), v∈V) jest

odwzorowaniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń U.

(iv) jeżeli F jest przekształceniem liniowym F:V

→V

, oraz W

, W

są podprzestrzeniami odpowiednio

przestrzeni V

i V

, to:

obraz podprzestrzeni W

przy odwzorowaniu F, tzn. zbiór F(W

) = {Fw: w

∈W

} jest podprzestrzenią

przestrzeni V

; w szczególności obraz przekształcenia F, tzn. podzbiór

im F = F(V

) = {Fv: v

∈V

}

przestrzeni V

jest podprzestrzenią przestrzeni V

;

przeciwobraz podprzestrzeni W

przy przekształceniu F, tzn. zbiór

–1

(W) = {v

∈V: Fv∈W

}

jest podprzestrzenią przestrzeni V

; w szczególności jądro przekształcenia F, tzn. zbiór ker F = {v

∈V

:Fv=0}=F

–1

({0}) jest podprzestrzenią przestrzeni V (zauważmy, że przeciwobraz F

–1

(W) zawsze istnieje, nawet

gdy nie istnieje przekształcenie odwrotne do F, które - o ile istnieje - jest również oznaczane symbolem F

–1

, a

jego wartości - symbolem F

–1

) z małym v

W szczególności obraz całej przestrzeni V

przy odwzorowaniu liniowym F jest podprzestrzenią przestrzeni V

– oznaczaną przez Im F (Im = image = obraz) - obraz F, zaś przeciwobraz zerowej podprzestrzeni przestrzeni
V

, czyli Ker F={v

∈V

:Fv=0

}=F

–1

({0}) – tzw. jądro (Ker=kernel=jądro) odwzorowania F – jest

podprzestrzenią przestrzeni V

, przy czym ker F={0} wtedy i tylko wtedy, gdy F jest różnowartościowe.

Jeżeli B jest ustaloną bazą przestrzeni V, to odwzorowanie liniowe F: V

→W jest w zupełności

wyznaczone przez swoje wartości przyjmowane na elementach bazy B, czyli układ F(B). Istotnie, dla każdego
wektora v

∈V mamy przecież v = BM

(v), więc Fv=F(BM

(v))=(na mocy powyższej równości związanej z

liniowością) = F(B)M

(v).

Niech teraz C będzie dowolną bazą przestrzeni W. Biorąc M

po obu stronach i korzystając ze

wspomnianej już liniowości odwzorowania M , dostajemy

(Fv) = M

(F(B)M

(v)) = M

(F(B))M

(v),

czyli

(Fv) = M

(F(B))M

(v);

inaczej mówiąc,

jeżeli X = M

(v), Y = M

(Fv),

Y = AX,

gdzie A = M

(F(B)).

Inaczej

mówiąc, kolumnę współrzędnych Y obrazu Fv dowolnego wektora v

∈V w ustalonej bazie C

przestrzeni W otrzymujemy mnożąc kolumnę współrzędnych X tego wektora w bazie B przez ustaloną macierz
A = M

(F(B)).

Z kolei, stosując powyższe stwierdzenie kolejno do poszczególnych wektorów v

bazy B = (v

, v

, ...,

) otrzymujemy, że kolejnymi kolumnami macierzy A są kolumny współrzędnych kolejnych wektorów Fv

bazie C, gdzie B=(v

, ..., v

)) (własność tę możemy stosować do wyznaczania tej macierzy). Macierz A =

(F(B)) nazywamy macierzą odwzorowania liniowego F przy ustalonej bazie B pierwszej przestrzeni

(przestrzeni, na której odwzorowanie jest określone, dom F) i bazie C drugiej przestrzeni (w którą przekształca
to przekształcenie, codom F) i oznaczamy przez M

(F).

W szczególnym przypadku, gdy V = W, możemy (choć wcale nie musimy) wybrać C = B i mówić o

macierzy operatora liniowego w bazie B, czyli M

(F). Zauważmy także, że jeżeli V = W i F jest

identycznością na V, to M

(id

) = M

(B), czyli jest to omówiona już wcześniej macierz zmiany bazy.

Łatwo pokazać, że jeżeli przestrzenie wektorowe V

, V

są skończenie wymiarowe, B

jest bazą V

(i=1,2,3),zaś F:V

→V

i G:V

→V

są odwzorowaniami liniowymi, to ich złożenie G

°F=GF:V

→V

(które, jak

już wspomniano, jest również odwzorowaniem liniowym) w odpowiednich bazach ma macierz

(GF) = M

(G) M

(F)

(gdzie - dla oszczędności czasu przy wpisywaniu tego tekstu - zamiast oznaczeń baz B

, B

użyto samych

wskaźników 1,2,3).

Z

powyższego wynika w szczególności, że odwzorowanie liniowe F: V

→W posiada odwzorowanie

odwrotne G=F

–1

→V wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz M

(F) jest macierzą odwracalną, i wtedy

–1

) = [M

(F)]

–1

Pozostaje

wyjaśnić, jak zmienia się macierz M

(F) przy zmianie bazy (w jednej lub w obu

przestrzeniach), a w szczególności jak zmienia się macierz M

(F) przy zmianie bazy B. Oto odpowiednie

wzory (F:V

→V

, B

’-bazy w V

, i=1,2):

)

(

)

(

)]

(

[

)

(

)

(

)

(

)

(

'
'

⋅

−

w szczególności gdy V

, B

= B

= B, B

' = B

' = B' mamy

)

(

)

(

)]

(

[

)

(

)

(

)

(

)

(

⋅

−

czyli

⋅

−

)

(

)

(

gdzie N = M

(B') - macierz przejścia.

STRESZCZENIE (NIECO UPROSZCZONE)

• Niech V i W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K. Przekształcenie F : V → W

nazywamy przekształceniem liniowym, jeżeli dla dowolnych v

, v

∈ V i dla dowolnych a

i a

∈ K

zachodzi równość F(a

+ a

) = a

F(v

) + a

F(v

)

Str. 15 z 46

• Dane jest przekształcenie F: R

→ R

. Macierzą przekształcenia F ( w bazach kanonicznych)

nazywamy macierz, w której k-tą kolumnę stanowią współrzędne obrazu k-tego wektora bazy
kanonicznej przestrzeni R

, czyli F(e

), w bazie kanonicznej R

• Niech F: V → W będzie przekształceniem liniowym. Jeśli w przestrzeni V mamy bazę B = (v

, v

, ...,

), a w przestrzeni W – bazę C = (w

, w

, ..., w

) i

, to

nazywa się macierzą przekształcenia F w bazach B i C.

⎪

⎪
⎩

⎪⎪

⎨

⎧

)

(

.......

..........

)

(

)

(

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

...

)

(

Tak więc kolumny macierzy A są kolumnami współrzędnych obrazów (przy odwzorowaniu F) kolejnych
wektorów bazy B w bazie C.
Zachodzi związek: Y=AX, gdzie A – macierz odwzorowania w ustalonych bazach B i C pierwszej i drugiej
przestrzeni odpowiednio, X – kolumna współrzędnych wektora v w bazie B (bazie przestrzeni, na której działa
dane odwzorowanie liniowe), Y – kolumna współrzędnych wektora Fv w bazie C (bazie przestrzeni, w którą
przekształca dane odwzorowanie liniowe)

• Niech F: V → V będzie operatorem liniowym, a B = { v

, v

, ..., v

} i B’ = { v

’, v

’, ..., v

’} niech

będą dwiema bazami przestrzeni V. Wtedy macierz operatora identycznościowego na V w bazach B i B’
(

) nazywa się macierzą zmiany bazy. ( Macierze

są względem

siebie wzajemnie odwrotne).

)

(

′

)

(

′

)

(

′

Jeżeli

- współrzędne wektora v w bazie B, to w bazie B’ jego współrzędne policzymy

korzystając ze wzoru:

)

B′

)

(

′

)

• Niech F: V → W będzie przekształceniem liniowym.
Zbiór wektorów v

∈ V, dla których F(v) = 0 nazywamy jądrem przekształcenia F i oznaczamy Ker F.

Zbiór wektorów w

∈ W, dla których istnieje v∈V takie, że F(v) = w nazywamy obrazem

przekształcenia F i oznaczamy Im F .. Ker F jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni V, a Im F jest
podprzestrzenią wektorową przestrzeni W. Zachodzi tzw. twierdzenie o wymiarze:

dim ker F+dim im F = dim dom F,

gdzie dim dom F jest to wymiar przestrzeni, na której jest określone przekształcenie liniowe F.

1) Które z następujących przekształceń są liniowe?
a) F: R

→ R

, F(x

)=(x

); b) F: R

→ R, F(x

)=x

; c)

F: R

→ R

, F(x

)=(2x

);

d) F: R

→ R

, F(x

)=(x

2) Znaleźć macierz przekształcenia liniowego F w bazach kanonicznych. Dla każdego z tych przekształceń
znaleźć jądro KerF i obraz ImF. Podać bazy tych podprzestrzeni.
a) F: R

→ R

, F(x

)=(x

); b) F: R

→ R

, F(x

)=(2x

, 2x

–x

+2x

); c) F: R

→ R

, F(x

)=(x

); d) F: R

→ R

, F(x

) =(x

–x

,2x

);

e) F: R

→ R

, F(x

)=(x

–x

,3x

–x

); f) F: R

→ R

, F(x

)=(x

–x

);

3) Dane jest przekształcenie liniowe, takie że F(1,1,0)=(1,0,1), F(0,1,0)=(0,1,1), F(0,1,1)=(1,1,0).
Znaleźć macierz tego przekształcenia w bazie standardowej. Znaleźć macierz przekształcenia odwrotnego do F.

4) Dane jest przekształcenie F(x,y)=(2x+y,y) i dwie bazy R

: B

=((1,0),(0,1)) i B

=((1,2),(3,1)). Znaleźć

macierz tego przekształcenia w bazach B

i B

( )

Str. 16 z 46

5) Dane jest przekształcenie F: R

→ R

, dane wzorem F(x

)=(x

).. W R

mamy bazę kanoniczną B, a w R

bazę C = ((1,0,0,0,0),(0,2,0,0,0),(0,0,3,0,0),(0,0,0,4,0),(0,0,0,0,5)). Znaleźć

macierz przekształcenia F w bazach B i C :

( )

6) Dane jest przekształcenie F: R

→ R

, F(x

)=(x

–x

). W R

mamy bazę kanoniczną B, a w R

rozpatrujemy bazę C=((1,1,0),(0,0,1),(1,0,1)). Znaleźć macierz przekształcenia F w bazach B i C :

( )

7) Dane są dwie bazy przestrzeni R

. B=((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)) i C=((2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)) Znaleźć macierze

zmiany bazy

(

)

( )

. Jakie współrzędne będzie miał wektor v w bazie C, jeżeli w bazie B ma

współrzędne [3,4,5]

8) Przekształcenie F: R

→ R

ma w bazie kanonicznej B macierz

. Jaką macierz ma to

przekształcenie w bazie C=((1,1,0),(0,0,1),(1,0,1)) ?

3 0 1
1 1 0

2 2 0

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

9) Przekształcenie F: R

→ R

ma w bazie B = (v

, v

) macierz

. Jaką macierz ma to

przekształcenie w bazie C = (2v

−
−

⎡
⎣

⎢

⎤
⎦

⎥

+ 7v

, v

+ 4v

10a) Wykazać, że wektory (1,–1,0,0),(1,0,–1,0),(1,0,0,–1) stanowią bazę podprzestrzeni

W={(x

∈R

: x

+ x

=0}.

b) Operator F:W

→W ma w tej bazie macierz

. Obliczyć F(x

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

,–x

–x

11a) W przestrzeni rozpiętej na wektorach 1, cos x, sin x, tzn. funkcji postaci

a + b cos x + c sin x,

rozważamy operator różniczkowania D. Pokazać, że D rzeczywiście nie wyprowadza poza tę przestrzeń, i
znaleźć jego macierz w bazie {1, cos x, sin x}.
b) To samo dla podprzestrzeni rozpiętej na 1, x, cos x, x cos x, sin x, x sin x.
c) To samo dla podprzestrzeni rozpiętej na 1, x, e

, xe

12. W przestrzeni V=R

[x] wielomianów stopnia

≤ 2 o współczynnikach rzeczywistych rozważamy układ

wektorów C=(x+1; x

–x; x

–1).

a) Wykazać, że C jest bazą przestrzeni V.
b) Niech F:V

→V będzie dany wzorem (Fw)(x)=(xw(x))'. Sprawdzić, że F jest operatorem liniowym.

c) Napisać M

(F), gdzie B jest bazą “standardową” (1;x;x

d) Obliczyć M

(F). Odp. do d)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

13. W przestrzeni V=R

[x] wielomianów stopnia

≤ 2 o współczynnikach rzeczywistych rozważamy układ

wektorów C={x, x

–1, x

–x}.

a) Wykazać, że C jest bazą tej przestrzeni.
b) Operator F:V

→V dany jest wzorem (Fw)(x)=w(1)+[x

w(x)]’’. Wykazać, że F jest liniowy.

c) Znaleźć macierz tego operatora w „standardowej” bazie B=(1;x;x

d)* Znaleźć macierz tego operatora w bazie C (ew. wypisać tylko wyrażenie pozwalające tę macierz otrzymać).

14. Macierz operatora liniowego w bazie (e

) (przestrzeń nad R) ma postać

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

. Wykazać, że

, e

–e

) jest również bazą tej przestrzeni i znaleźć macierz tego operatora w tej bazie.

Str. 17 z 46

Przestrzenie wektorowe z iloczynem skalarnym i normą

Normą w przestrzeni wektorowej V nazywamy funkcję || ||:V

→R, spełniającą następujące aksjomaty:

1) ||u||

≥0; ||u||=0 ⇔ u=0;

2) ||

αu|| = |α|||u||;

3) ||u+v||

≤ ||u||+||v|| (nierówność trójkąta).

Niech V będzie przestrzenią wektorową nad K = R lub C. Iloczynem skalarnym nazywamy dowolną

funkcję
< , >: V

×V→K, czyli przyporządkowującą dwóm wektorom u,v liczbę <u,v>∈K, spełniającą następujące

aksjomaty:

ć)

określonoś

(dodatnia

się

redukuje

warunek t

przypadku

symetria);

(skośna

;

)

;

)

⇔

>≥

>=<

u,v

v,u

Z warunków 1), 2) i 3) wynika, że

>=<

)

Z tego względu iloczyn skalarny jest, w szczególności, tzw. formą półtoraliniową (oczywiście w przypadku
K=R jest on formą dwuliniową).
Jedną z najważniejszych własności iloczynu skalarnego jest spełnianie przezeń tzw. nierówności
Buniakowskiego - Schwarza:

⋅

≤

(Wiktor Buniakowski (1804-1889) - matematyk ros., prof. uniw. w Petersburgu, czł. Petersb. AN; autor ponad 100 prac nauk. z
różnych dziedzin matematyki; Herman Amandus Schwarz (1843-1921) - matem. niem.; prof. uniw. w Halle, Getyndze, Berlinie i
politechn. w Zurychu; czł. niem. Akad. Nauk; autor prac z rachunku wariacyjnego, przekształceń konforemnych, równań
różniczkowych i funkcji rzeczywistych.
Uwaga: Laurent Schwartz (1915-....) - matematyk fr.; prof. École Polytechnique; rozwinął teorię dystrybucji jako nowy dział
matematyki; prace z zakresu analizy funkcjonalnej i fizyki matematycznej)

W przestrzeni z iloczynem skalarnym możemy wprowadzić normę wzorem

(Spełnione są wtedy wszystkie aksjomaty normy.) Nierówność Buniakowskiego - Schwarza przybiera wtedy
postać

≤

W rzeczywistej przestrzeni z iloczynem skalarnym możemy wprowadzić pojęcie kąta, przyjmując że

kosinus kąta między dwoma niezerowymi wektorami u i v jest równy:

cos

(ze względu na nierówność Schwarza liczba po prawej stronie jest zawarta między –1 a +1).

Wektory u i v nazywamy ortogonalnymi, jeżeli <u,v>=0 (także w przestrzeni nad C).

Układ wektorów u

, u

, ..., u

nazywamy

a) ortogonalnym, jeżeli <u

>=0 dla i

≠j; b) ortonormalnym, jeżeli jest ortogonalny i unormowany, tzn. ||u

||=1

dla i=1,2,...,k. Inaczej mówiąc, <u

=1 dla i=j, 0 dla i

≠j.

Dowolny

układ ortogonalny złożony z niezerowych wektorów, a w szczególności - układ ortonormalny

- jest liniowo niezależny.

Str. 18 z 46

Jeżeli wektor v ma przedstawienie w postaci kombinacji liniowej ortogonalnego układu wektorów u

, ..., u

, tzn. v =

+ ... +

, to współczynniki

, ...,

tej kombinacji liniowej wyznaczone są

jednoznacznie jako tzw. współczynniki Fouriera wektora v względem układu ortogonalnego u

, u

, ..., u

mianowicie

= <v,u

>/<u

Jeżeli obliczamy macierz operatora liniowego F czyli M

(F)=[a

] w bazie ortonormalnej B=(e

, e

, ...,

), to a

= <Fe

, e

>. Rzeczywiście, Fe

+...+a

(z definicji macierzy operatora) - wystarczy

pomnożyć skalarnie obie strony tej równości przez e

Ortogonalizacja Grama-Schmidta.

każdego układu wektorów v

, v

, ..., v

możemy otrzymać układ ortogonalny, generujący tę samą

podprzestrzeń: mianowicie, tworzymy rekurencyjnie wektory

−

itd. (ewentualnie powstające wektory zerowe odrzucamy - a powstają one wtedy, gdy pewne wektory są
kombinacjami liniowymi wektorów je poprzedzających, czyli gdy dany układ jest liniowo zależny). Sens
geometryczny powyższych operacji polega na tym, że od każdego wektora v

odejmujemy jego rzuty

ortogonalne na poprzednio skonstruowane wektory u

, u

, ..., u

i–1

. Jeżeli chcemy otrzymać układ ortonormalny,

wystarczy jeszcze podzielić (dla ułatwienia obliczeń - na samym końcu) każdy z wektorów przez jego normę.

1. Wykazać (przeliczyć), że norma w przestrzeni z iloczynem skalarnym spełnia tzw. warunek równoległoboku

−

2. Wykazać (przeliczyć), że iloczyn skalarny wyraża się poprzez normę związaną z tym iloczynem skalarnym
w sposób następujący:

−

(||

−

Są to tzw. wzory (formuły) polaryzacyjne.
3*. (Uogólnienie warunku równoległoboku) Niech a, b, c, d będą długościami boków czworokąta, e, f -
długościami jego przekątnych, m - długością odcinka łączącego środki przekątnych czworokąta, powiedzmy M'
i M". Udowodnić, że wtedy

(W przypadku równoległoboku m=0 i otrzymujemy znany już warunek równoległoboku.)
Wsk. Niech wektor a = AB, b = BC, c=CD, d=DA, u=M'A, v=M"B, w=M'M". Obliczyć a

, b

, c

, d

i dodać.

4. Znaleźć ortogonalną i ortonormalną bazę podprzestrzeni przestrzeni R

(ze zwykłym iloczynem skalarnym),

generowanej przez wektory (1,1,0,0), (1,–1,1,1), (–1,0,2,1), (0,1,2,1).

5. Zortogonalizować wielomiany 1; x; x

, x

względem iloczynu skalarnego

∫

−

)

(

)

(

(wariant:

∫

)

(

)

(

Str. 19 z 46

6*. Znaleźć rzut ortogonalny wektora (2, 2, 1, 1) na podprzestrzeń, rozpiętą na wektorach v

=(3, 4,–4,–1) i

=(0, 1,–1, 2). Odp.v

/6+v

/3=(1/2, 1, –1, 1/2) (składowa ortogonalna: (3/2, 1, 2, 1/2).

Wielomiany

Niech P - pierścień przemienny z jedynką bez dzielników zera, np. ciało, np. R lub C.
Wielomianem nazywamy ciąg nieskończony (a

, a

, ...) o wyrazach z P, taki że istnieje m takie, że a

dla i>m. Z definicji, dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie wyrazy ciągów są sobie
równe. W zbiorze wielomianów nad danym P wprowadzamy działanie dodawania w sposób naturalny (po
wyrazach), natomiast mnożenie wprowadzamy wzorem

(a

, a

, ...)

⋅ (b

, b

, ...) = (c

, c

, ...), gdzie c

, c

, ...,

ogólnie

. Jeżeli dowolny element a

∑

−

...

pierścienia P utożsamić z

ciągiem postaci (a

, 0, 0, 0, ...) oraz przez x oznaczyć wielomian (0,1,0,0,...), to każdy wielomian

w=(a

, a

, ...) przedstawia się w postaci w=a

x+a

+...+a

dla pewnego (dostatecznie dużego) m.

Piszemy też wtedy w(x)= a

x+a

+...+a

. Dla wielomianu niezerowego, jego stopniem nazywamy

najmniejsze takie m, że jest możliwe takie przedstawienie (tzn. w postaci a

x+a

+...+a

). Przyjmujemy,

że wielomian zerowy ma stopień –

∞, z naturalną umową że –∞<m dla dowolnej liczby m∈{0,1,2,...} oraz

–

∞+k=–∞ dla dowolnej liczby całkowitej k. Z każdym wielomianem w nad pierścieniem P związana jest

pewna funkcja wielomianowa dana wzorem w(x)= a

x+a

+...+a

dla x

∈P. Jeżeli pierścień P jest

skończony, to funkcje wielomianowe nie odpowiadają jednoznacznie wielomianom, tzn. dwa różne
wielomiany mogą określać tę samą funkcję wielomianową, np. wielomian 0 oraz (x–x

)(x–x

)...(x–x

s–1

), gdzie

=0, x

=1, x

, x

,...,x

s–1

są wszystkimi elementami pierścienia - oba określają funkcję tożsamościowo równą

zeru, chociaż pierwszy jest stopnia –

∞, zaś drugi - stopnia s. W przypadku pierścienia (lub, w szczególności,

ciała) nieskończonego, odpowiedniość między wielomianami i funkcjami wielomianowymi jest jednoznaczna,
tzn. jak uczono w szkole, funkcje wielomianowe są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany z
których one powstały są sobie równe, tzn. współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej są sobie
równe. Wynika to twierdzenia o ilości pierwiastków wielomianu n-tego stopnia.

Algorytm dzielenia z resztą – znane.
Szczególny przypadek – dzielenie przez dwumian x–a.
x jest pierwiastkiem wielomianu w(x) wtedy i tylko wtedy, gdy w(x) jest podzielny przez x–a.
Wielomian stopnia n nad ciałem nieskończonym (ogólnie: nieskończonym pierścieniem całkowitym) ma co
najwyżej n pierwiastków.
Funkcje wielomianowe. Odpowiedniość dla nieskończonego pierścienia całkowitego (=przemiennego, bez
dzielników zera) między wielomianami a funkcjami wielomianowymi.
Krotność pierwiastka wielomianu.
Podstawowe twierdzenie algebry: Wielomian o współczynnikach zespolonych stopnia n

≥1 ma co najmniej

jeden pierwiastek zespolony.
Wniosek. Wielomian stopnia n o współczynnikach zespolonych ma dokładnie n pierwiastków zespolonych, w
szczególności rozkłada się na czynniki liniowe.
Jeżeli liczba zespolona z=a+bi jest pierwiastkiem pewnego wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to
liczba do niej sprzężona czyli z*=a–bi jest również pierwiastkiem tego wielomianu.
Wniosek. Wielomian o współczynnikach rzeczywistych rozkłada się (nad ciałem liczb rzeczywistych) na
pewną ilość czynników liniowych i /lub pewną ilość czynników stopnia 2 nierozkładalnych nad R, tzn. o
wyróżniku

∆<0.

1. Podzielić wielomian P przez Q, jeśli
a) P=8x

+3x

+5x–6,

Q=x+1

b) P=x

+27

Q=x

–3x+9

c) P=z

Q=z

–i

Str. 20 z 46

d) P=iz

+2z–1+3i

Q=z–2i

2. Sprawdzić, czy podane liczby są pierwiastkami wielomianu w:
a) w(x)=x

–2x+4, x

=–2, x

=1–i, x

=1+i.

b) w(z)=z

+2iz+2–4i, z

=1+i, z

=–1–3i.

3. Znaleźć krotność pierwiastka x

wielomianu w dla

a) x

=2, w(x)=x

–3x+2

b) x

=0, w=x

+4x

c) x

, w=x

–4x

+4;

d) x

= –i, w=(x

+1)

;

e) x

= –i, w=x

+(2+3i)x

+3x

(2i–1)–x(6+i)–2i.

4. Niech w(x)= –5x

x+a

, gdzie a

, a

są rzeczywiste. Wiedząc, że x

=1–i oraz x

=2+3i są

pierwiastkami wielomianu w, znaleźć w.

5. Wiedząc, że x

jest pierwiastkiem wielomianu w, znaleźć pozostałe pierwiastki tego wielomianu, jeśli:

a) w(x)=x

–(2+

+2(1+

)x–2

, x

=1–i;

b) w(x)=x

–x

+9x–10, x

=1+2i

c) w(x)=x

–7x

+28x+8 (lub: x

+64), x

=2–2i

)

(

−

6. Rozłożyć na czynniki liniowe następujące wielomiany:
a)

; b)

; c)

)

(

−

)

(

)

(

= z

7.Wiedząc, że z

=i jest pierwiastkiem wielomianu

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

−

wyznaczyć pozostałe pierwiastki.

8. Dla jakich wartości parametru zespolonego a wielomian

ma pierwiastek

podwójny

)

(

9. Rozłożyć w R i w C wielomiany, o ile jest to wykonalne:
a) w(x)=x

+1; b) w(x)=x

+3x

+1; c) w(x)=x

+1; d) w(x)=x

+i; e) w(x)=x

+ix

+6; f) w(x)=x

+1;

g) w(x)=x

+16; h) w(x)=x

–1; i) w(x)=x

–2x

+5x+8; j) w(x)=x

–5x+3; k) w(x)=4x

+5x

+9x+2; l) x

–1;

m) x

+1.

10* Rozłożyć na wielomiany o współczynnikach całkowitych, jeżeli jest to możliwe, wielomian x

–5x

+4.

PROSTE DZIAŁANIA NA MACIERZACH

Definicje i własności działań na macierzach:

Dla macierzy m

× n:

Jeżeli A=[a

], B=[b

], to A+B=[a

]+[b

]=[a

] (definicja dodawania macierzy)

Własności dodawania macierzy:
(A+B)+C=A+(B+C) (łączność dodawania macierzy)
O+A=A=A+O (macierz zerowa O (odpowiednich wymiarów) jest elementem neutralnym dodawania
macierzy)
A+(–A)=0=(–A)+A (macierz –A jest elementem przeciwnym do A ze względu na dodawanie)

Jeżeli A=[a

] jest macierzą m

× n, zaś B=[b

] jest macierzą n

× p (tzn. B ma tyle wierszy, ile A ma kolumn), to

definiujemy iloczyn macierzy A i B jako macierz AB=C=[c

], gdzie

∑

Str. 21 z 46

Macierz jednostkowa n

× n: I=I

], gdzie

=1 gdy i=j, zaś

=0 w przeciwnym przypadku.

Własności mnożenia macierzy:
A(B+C)=AB+AC

(rozdzielność mnożenia względem dodawania)

(A+B)C=AB+BC

(jw)

AI=A=IA

(ściślej, AI

=A=I

A, o ile A jest macierzą m

× n);

OA=AO=O

(AB)C=A(BC) (mnożenie macierzy jest łączne;

tutaj oczywiście A - m

× n; B - n × p; C - p × r).

UWAGA: mnożenie macierzy nie jest na ogół przemienne (z dwóch iloczynów AB i BA, nie zawsze oba są
określone; nawet jeżeli oba są określone, to wynik może być różnych rozmiarów – tak jest, gdy A jest macierzą
m

× n, zaś B – macierzą n × m. Wreszcie nawet jeśli A i B są macierzami n × n, to AB i BA nie muszą być

równe).
Macierzą transponowaną do macierzy A=[a

] m

×n nazywamy macierz B=[b

] n

×m taką, że b

. Macierz

transponowaną do A oznaczamy przez A

. Jeżeli wymiary macierzy A i B są takie, że ma sens iloczyn AB, to

(AB)

(zwrócić uwagę na odwrócenie kolejności!). Oczywiście (A+B)

, A

=A, I

=I.

1. Obliczyć

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

2. Znaleźć warunek konieczny i dostateczny na to, aby (A + B)

= A

+ 2AB + B

3. Znaleźć wszystkie macierze przemienne z macierzą

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

4*. Śladem Tr(A) macierzy kwadratowej A n

×n nazywamy sumę jej wyrazów na przekątnej, tzn.

. Wykazać, że dla macierzy kwadratowych A i B tego samego wymiaru zachodzi równość

∑

Tr(AB)=Tr(BA).

5. Niech

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

. Wykonać następujące

działania (o ile są wykonalne): 2A–B

, A

–B, A+2B, D

+2D-2I, C

, CC

, (C

, AB, BA, A

,AD, DA, BD,

DB, CD, DC, AC, CB, (C–2I)

Str. 22 z 46

WYZNACZNIKI

• Załóżmy, że A jest macierzą kwadratową stopnia n , n > 1. Niech 1≤i,j≤n. Wtedy symbolem A

i,j

oznaczamy macierz stopnia n–1, powstałą z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej
kolumny.
Rozwinięcie Laplace’a wyznacznika macierzy A względem i-tego wiersza ( j-tej kolumny):

Jeśli A =

(

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∑

−

det

)

(

det

∑

−

det

)

(

det

Przy ustalonym i, np. i=1, może to służyć jako indukcyjna definicja wyznacznika, wychodząc z równości

Det [a

]=a

Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeśli do danego wiersza (danej kolumny) dodamy inny wiersz
(inną kolumnę) tej macierzy, pomnożony/ą przez dowolny skalar; pomnoży się przez liczbę, gdy
pomnożymy dowolny wiersz (lub kolumnę) przez tę liczbę; zmieni znak na przeciwny, jeżeli
zamienimy miejscami dwa wiersze (lub dwie kolumny) tej macierzy. Dokonując operacji tego typu
można, wychodząc z dowolnej macierzy kwadratowej - dojść do macierzy, która pod główną przekątną
(lub nad główną przekątną) ma same zera, a wyznacznik macierzy tej postaci jest równy iloczynowi
elementów na głównej przekątnej. Alternatywnie, można starać się otrzymać w danej kolumnie (lub
wierszu) wyznacznika jak najwięcej zer, i stosując rozwinięcie Laplace’a względem danej kolumny lub
wiersza, stopniowo sprowadzać obliczenie wyznacznika danej macierzy do obliczania wyznaczników
mniejszego stopnia.

1) Obliczyć wyznaczniki: a)

−

; b)

; c)

; d)

−

2). Obliczyć wyznaczniki:

−

3*. Przyjmijmy

sin

−

)

sin(

)

sin(

)

sin(

−

Sprawdzić następujące tożsamości:

cos

sin

cos

sin

cos

sin

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

cos

sin

cos

sin

cos

sin

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Wsk. a) Od drugiego i trzeciego wiersza odjąć pierwszy, rozwinąć względem pierwszej kolumny, zamienić
różnice na iloczyny, wyłączyć odpowiednie czynniki z wierszy lub kolumn; b) - podobnie.

4*. Rozwijając na różne sposoby wyznacznik W=

cos

sin

cos

sin

cos

sin

wykazać tożsamości

W = – Q = [czyli –sin (x–y) sin (y–z) sin (z–x)]

Str. 23 z 46

= sin x sin x sin (x–y) + sin y sin z sin (y–z) + sin z sin x sin (z–x) =
= cos x cox y sin (x–y) + cos y cos z sin (y–z) + cos z cos x sin (z–x)
Wsk. Dodać trzecią kolumnę do pierwszej, od drugiego i trzeciego wiersza odjąć pierwszy, rozwinąć
względem pierwszej kolumny, zamienić różnice na iloczyny; korzystać z różnych wzorów z tablic, np.

cos

sin

cos

sin

)

sin(

)

cos(

cos

sin

cos

sin

)

cos(

)

sin(

sin

cos

sin

cos

)

cos(

)

(

cos

sin

)

sin(

)

sin(

−

;

wyłączyć odpowiednie czynniki z wierszy lub kolumn.
5) Dla jakich zespolonych wartości z macierz A jest osobliwa (tzn. ma wyznacznik równy zeru – zob. dalej
przy definicji macierzy odwrotnej)

; b)

; c)

;

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

; f)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

. h)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

6) Obliczyć wyznaczniki a)

−

; b)

−

101

−

MACIERZE ODWROTNE

Niech A będzie macierzą kwadratową n

× n. Macierzą odwrotną do A nazywamy dowolną macierz B taką, że

AB=I=BA, gdzie I – macierz jednostkowa n

× n. Jeżeli do danej macierzy A istnieje macierz odwrotna, to

macierz A nazywamy macierzą nieosobliwą (w przeciwnym przypadku A jest osobliwa).
Okazuje się, że:
• Macierz odwrotna do danej macierzy, o ile istnieje, jest wyznaczona jednoznacznie – oznaczamy ją przez

–1

. Tak więc AA

–1

=I=A

–1

Str. 24 z 46

• Dla macierzy o wyrazach z pewnego ciała (najczęściej rozważamy R lub C), macierz odwrotna istnieje

wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik tej macierzy jest różny od zera. Tak więc macierz jest nieosobliwa
wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera.

• W definicji macierzy odwrotnej do A, powiedzmy B, żąda się, aby oba iloczyny AB i BA były równe

macierzy jednostkowej. Okazuje się jednakże, że na to, aby B było macierzą odwrotną do A, wystarczy,
aby był spełniony jeden z warunków AB=I lub BA=I. (Wtedy B=A

–1

Obliczanie macierzy odwrotnej do danej jest zwykle bardzo żmudne rachunkowo. Zasadniczo, istnieją dwie
podstawowe metody obliczania macierzy odwrotnej:

1) Metoda dopełnień algebraicznych. Stosuje wzór

det

−

, gdzie

, gdzie M

]

)

[(

−

jest wyznacznikiem podmacierzy powstałej z A przez skreślenie j-tego wiersza i i-tej kolumny. W praktyce tą
metodą liczymy następująco:
a) Liczymy wyznacznik det A macierzy A – aby macierz odwrotna istniała, musi być oczywiście det A

≠0.

b) Liczymy n

podwyznaczników (n–1)

×(n–1) macierzy A – tworzymy macierz, w której na miejscu ij

wpisujemy wyznacznik M

powstały z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

c) Zmieniamy znak co drugiego elementu powstałej macierzy – zgodnie z tzw. szachownicą znaków, czyli
schematu plusów i minusów jak białe i czarne pola szachownicy, przy czym na głównej przekątnej są same
plusy. Innymi słowy, zastępujemy M

przez (–1)

i+j

d) Transponujemy powstałą macierz i dzielimy ją przez wyznacznik macierzy A.

2. Metoda operacji elementarnych na wierszach (lub eliminacji): do danej macierzy A dopisujemy z prawej
strony macierz jednostkową I. Przeprowadzamy operacje elementarne na wierszach powstałej macierzy [A|I]
(zob. dalej – układy równań liniowych) tak, aby na miejscu macierzy A otrzymać macierz jednostkową (uda się
tego dokonać wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest nieosobliwa, tzn. posiada macierz odwrotną). Jeżeli to
się uda, to w powstała macierz będzie macierzą [I|A

–1

], tzn. szukana macierz odwrotna do A powstanie na

miejscu dopisanej macierzy I. Metoda ta w istocie jest związana z faktem, że obliczenie macierzy X odwrotnej
do A jest równoznaczne z rozwiązaniem (macierzowego) układu równań liniowych AX=I: jeżeli AX=I, to
X=A

–1

1. Wykazać, że (A

)

–1

= (A

–1

)

, (AB)

–1

, (A

–1

)

–1

=A.

2 Wykazać, że macierz odwrotna do macierzy symetrycznej jest również symetryczna (o ile istnieje).
3. Wykazać, że jeżeli AB = BA i istnieje A

–1

, to A

–1

B=BA

–1

4. Wyliczyć X z równania AX=B przy założeniu, że istnieje A

–1

. To samo dla równań: XA=B; AXB=C.

5. Obliczyć macierze odwrotne do następujących macierzy:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

cos

sin

cos

Odp:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

cos

sin

cos

6. Ogólnie: obliczyć macierz odwrotną do macierzy

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

- liczby zespolone).

(Wsk.: Wyznacznik drugiej macierzy to jakobian przejścia do współrzędnych sferycznych, czyli r

cos

θ.)

Str. 25 z 46

Odp.:

≠

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

;

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

sin

)

sin

(sin

)

cos

sin

)

sin

(cos

)

cos

sin

cos

(przy założeniu, że r cos

θ ≠ 0);

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

(|z

+|z

>0, tzn. z

i z

nie są jednocześnie

równe zeru).

7. Dla jakich z macierz A jest odwracalna?. Wyznaczyć A

–1

dla z =i.

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

8. Obliczyć macierz odwrotną do

w M

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

(R). b*) Dla jakich n

≥2 macierz ta, traktowana

jako element M

) posiada macierz odwrotną?

9. Znal. macierz odwr. do macierzy

Odp.:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

Układy równań liniowych.

Rozważamy układ m równań liniowych z n niewiadomymi:

+ ... + a

= b

( U ) a

+ ... + a

= b

czyli AX=B.

......................................
a

+ ... + a

= b

Najwygodniejszą i najbardziej ogólną metodą rozwiązywania układów równań jest metoda operacji

elementarnych na wierszach, zwana też metodą eliminacji (ew. metodą eliminacji Gaussa). Metoda ta
stosuje się do układów równań o dowolnej ilości równań i dowolnej ilości niewiadomych.
Operacjami elementarnymi na wierszach macierzy nazywamy
• mnożenie dowolnego wiersza macierzy przez liczbę różną od zera
• dodawanie do dowolnego wiersza macierzy innego wiersza pomnożonego przez dowolną liczbę
• zamianę dwóch różnych wierszy miejscami

Jeżeli na macierzy rozszerzonej [A,B] układu równań dokonujemy operacji tego typu, to układ

odpowiadający zmienionej przez te operacje macierzy jest równoważny wyjściowemu. Celem tych
operacji jest doprowadzenie macierzy do postaci, w której występuje pewna ilość, powiedzmy r,
kolumn zerojedynkowych (o numerach 1

≤ j

<...<j

≤n), z jedynkami na “r” różnych miejscach (w

1,2,...,r-tym wierszu, choć w dowolnej kolejności), zaś m–r pozostałych, końcowych wierszy albo
jest zerowych, albo wśród nich występuje przynajmniej jeden postaci [0, 0, ..., 0, a], gdzie a

≠ 0.

•W pierwszym z tych przypadków, układ posiada rozwiązania, i wszystkie rozwiązania otrzymuje

się, przyjmując za parametry wszystkie niewiadome, które odpowiadają kolumnom nie wybranym
powyżej jako zerojedynkowe; pozostałe niewiadome wyrażamy w zależności od tych parametrów, co
jest możliwe dzięki temu, że każda z nich występuje tylko w jednym równaniu ze współczynnikiem

Str. 26 z 46

1. W rozważanym przypadku rząd macierzy A, rz A = rz [A,B] = r (oznaczenie rz A zobacz poniżej
– rząd macierzy)

•W drugim z tych przypadków układ jest sprzeczny (rz A=r, zaś rz[A,B]=r+1).
W powyższych rozważaniach rz A oznacza rząd macierzy A, będący wymiarem (stopniem)

największego niezerowego minora macierzy A, gdzie minorem nazywamy każdy wyznacznik
utworzony z macierzy A przez skreślenie pewnej ilości wierszy i kolumn (tak, aby powstała macierz
posiadająca wyznacznik, tzn. macierz kwadratowa). Na wykładach z przestrzeni wektorowych
dowiemy się, że rząd jest również liczbą liniowo niezależnych wierszy macierzy A (wymiarem
przestrzeni generowanej przez wiersze), jak również ilością liniowo niezależnych kolumn macierzy
A (wymiarem przestrzeni generowanej przez kolumny).

Dla niektórych układów równań liniowych n

×n (ilość równań = ilości niewiadomych),

mianowicie tych o niezerowym wyznaczniku, oprócz metody eliminacji Gaussa można zastosować
także:

a) wzory Cramera:

det

, gdzie A-macierz układu, A

– macierz, otrzymana z macierzy A

przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych;

b) metodę macierzową, która polega na obliczeniu macierzy odwrotnej do A, czyli A

–1

, i

wyliczeniu rozwiązania układu AX=B jako X=A

–1

B (ten wzór na rozwiązanie otrzymuje się przez

lewostronne pomnożenie obu stron równania AX=B przez macierz A

–1

). Sposób ten jest opłacalny

zwłaszcza wtedy, gdy mając ustalone A, chcemy rozwiązać układy równań AX=B z różnymi
prawymi stronami B.

1. Rozwiązać układy równań:

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

210

126

⎪

⎪
⎩

⎪

⎪
⎨

⎧

−

⎪

⎪
⎩

⎪

⎪
⎨

⎧

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

−

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

⎪

⎪
⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

⎪

⎪
⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

⎪

⎪
⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

−

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

Odp.: a) (5,4,3,2,1); b) x

= –(9/2) –2t

– t

, x

= t

, x

= t

, x

= (–7/2) + 2t

, x

= (3/2) + 2t

c) x

= t

, x

= t

, x

= –3t

–5t

, x

= 2t

+3t

, x

= 0 ;

d) x

= t

– t

, x

= t

– t

, x

= t

, x

= t

, x

= t

, x

= t

;

k) x

= 2/3, x

= –1, x

= 3/2, x

= 0.

Str. 27 z 46

. Rozwiązać w zależności od parametru (“a” lub

λ):

−

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

⎩

⎨

⎧

−

)

(

)

(

)

(

Wsk. do h): Przekształcać przy pomocy operacji elementarnych, lub też skorzystać ze wzorów Cramera w
przypadku, w którym jest to możliwe.
Odp: a) Gdy a

≠ 5 – układ jest sprzeczny;

gdy a = 5:

x=(4/5) – (1/5)t

– (6/5)t

y=(4/5)

(3/5)t

– (7/5)t

f) Jeżeli

λ=8, to x

, x

= –1, x

= 2 – t

– (3/2)t

;

jeżeli

λ≠8, to x

= t, x

= (4/3) – (2/3)t, x

= –1, x

= 0.

g) Jeżeli

λ≠0, to układ jest sprzeczny. Jeżeli zaś λ=0, to:

= t

, x

, x =(17/2)–(19/2)t

+(13/2)t

, x =(–7/2)+(7/2)t

–(5/2)t

h) Jeżeli

λ = 0, to x

= –t

– t

, x

= t

, x

= t

; jeżeli

λ = –3, to x

=t;

jeżeli

λ ≠ 0,–3, to x

= 2–

, x

= 2

λ – 1, x

+ 2

–

λ – 1.

3. Korzystając m.in. ze wzorów Cramera, rozwiązać następujące układy równań:

; b)

; c)

abz

aby

Odp. a) Jeżeli a

≠b≠c≠a, to

)

)(

(

)

)(

(

−

, y,z - cyklicznie.

Jeżeli np. a=b, to: jeżeli a=b=c

≠d, to układ jest sprzeczny;

jeżeli a=b=c=d, to np. y, z można przyjąć za parametry i x=1–y–z;
jeżeli a=b

≠c=d, to z=1, y – parametr, x = –y;

jeżeli a=b=d

≠c, to z=0, y - parametr, x = 1 – y;

jeżeli a=b

≠c oraz d≠a, c to układ jest sprzeczny.

4. Rozwiązać równanie macierzowe AX=B, gdzie

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

5. Rozwiązać równanie macierzowe XA=B, w którym

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Str. 28 z 46

6. Niech

. Rozwiązać równanie AXB = C.

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

7. Korzystając z metody macierzowej, rozwiązać układ równań

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

8. Rozwiązać równania macierzowe:

; b)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

; c)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

Rząd macierzy. Tw. Kroneckera – Capelli’ego.

• Minorem macierzy A = [ a

]

≤

m, 1

≤

nazywamy każdy wyznacznik macierzy powstałej z

macierzy A przez skreślenie pewnej ilości wierszy i kolumn (tak, aby powstała w ten sposób macierz
była kwadratowa).
• Rzędem macierzy A (ozn. rz(A)) nazywamy taką liczbę r, że:

1) istnieje co najmniej jeden minor stopnia r różny od zera
2) wszystkie minory macierzy A stopnia większego niż r (jeżeli istnieją) są równe zeru.

(Jest to tzw. wyznacznikowa definicja rzędu macierzy. Jej bezpośrednie stosowanie wymaga żmudnych
obliczeń, zwłaszcza jeżeli rząd macierzy okazuje się mniejszy od maksymalnego możliwego przy
danych wymiarach.) Z definicji wyznacznikowej i własności wyznaczników wynika przede wszystkim,
że rz A=rz A

Rząd danej macierzy m

×n jest też wymiarem podprzestrzeni przestrzeni K

generowanej przez

wiersze tej macierzy oraz także wymiarem podprzestrzeni przestrzeni K

generowanej przez kolumny

tej macierzy. W szczególności, wiersze (kolumny) macierzy są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy,
gdy rząd macierzy równa się ilości tych wierszy (tzn. m) względnie kolumn (tzn. n). Oczywiście, rząd
takiej macierzy nie przekracza ani m, ani n, tzn. rz A

≤min (m,n).

Rząd macierzy nie zmienia się w wyniku: 1. dodania do danego wiersza (kolumny) innego wiersza

(innej kolumny) pomnożonego (onej) przez dowolną liczbę; 2. pomnożenia dowolnego wiersza
(dowolnej kolumny) przez liczbę różną od zera; 3. dowolnego przestawiania wierszy (kolumn) macierzy
miejscami. I właśnie zazwyczaj staramy się uprościć macierz przez te operacje, a ewentualne
podwyznaczniki liczymy już w macierzy uproszczonej, co prowadzi do prostszych obliczeń.
• Twierdzenie Kroneckera - Capelli’ego. Dany jest układ (U), czyli AX=B. Przez A oznaczamy
macierz układu, a przez [A,B] macierz rozszerzoną. Niech rz A = r. Wtedy:

albo rz [A,B]=rz A (= r), i wtedy rozwiązanie układu (U) istnieje i zależy od n–r dowolnych para-

metrów (w szczególności, jeżeli r = n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie),

albo też rz [A,B]

≠rz A (wtedy w istocie rz [A,B]=rz A+1=r+1), i wtedy układ (U) jest sprzeczny.

Inaczej mówiąc, układ (U) posiada (przynajmniej jedno) rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

rz A = rz [A,B].

Twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego ma raczej większe znaczenie teoretyczne niż praktyczne.
Zauważmy, że jeżeli już je stosujemy, to należy zacząć raczej od obliczenia rzędu macierzy
rozszerzonej [A,B]; jeżeli rząd ten będziemy liczyć dokonując wyłącznie operacji elementarnych, to –

Str. 29 z 46

po pierwsze – te same operacje elementarne wykonywane bez zwracania uwagi na ostatnią kolumnę (B)
dadzą nam natychmiast rząd macierzy A; po drugie, doprowadzenie macierzy [A,B] do odpowiedniej
postaci pozwoli nam w istocie nie tylko rozstrzygnąć czy istnieje rozwiązanie, ale nawet znaleźć
wszystkie rozwiązania danego układu równań.

Bardzo szczególnym, ale bardzo ważnym przypadkiem, są jednorodne układy równań, tzn. takie, w

których B=0: AX=0. Taki układ jest zawsze niesprzeczny, tzn. ma przynajmniej jedno rozwiązanie,
mianowicie rozwiązanie zerowe, czyli trywialne – w którym wszystkie niewiadome równe zeru. Bardzo
ważne jest więc pytanie, kiedy taki układ jednorodny posiada (przynajmniej jedno) rozwiązanie
niezerowe

. Na podstawie tw. Kroneckera-Capelli’ego, układ jednorodny m

× n (m równań z n

niewiadomymi) posiada rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy r = rz A < n (bo wtedy
rozwiązanie ogólne zależy od n–r>0 parametrów, którym można nadawać dowolne, w szczególności
niezerowe, wartości). W szczególności, jeżeli m<n, tzn. ilość równań jest mniejsza od ilości
niewiadomych, to zawsze istnieje rozwiązanie niezerowe.

Dla układów n

× n warunek istnienia niezerowych rozwiązań sprowadza się do warunku Det A=0.

Fakt ten jest wykorzystany między innymi przy liczeniu wartości własnych macierzy lub operatora,
mianowicie warunkiem na to, aby

λ było wartością własną operatora jest Det(A–λI)=0 (zob. dalej

wartości własne i wektory własne).

1. Obl. rząd macierzy: a)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

2. a) Obliczyć rząd podanej macierzy

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

b) Znaleźć wszystkie zależności liniowe między kolumnami tej macierzy (tzn. ogólną postać takiej zależności).
c) Znaleźć bazę przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego AX=0.
d) Znaleźć maksymalny liniowo niezależny układ kolumn (równoważnie, z kolumn wybrać bazę przestrzeni
generowanej przez kolumny).
e) To samo dla wierszy.
Rozwiązanie. Przekształcając tę macierz operacjami na wierszach, otrzymujemy kolejno

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

Rozw. b) Wszystkie związki liniowe między kolumnami (o współczynnikach (x

,...,x

)) mają postać

Str. 30 z 46

=3t

+5t

, x

=–4t

–9t

, x

= 0, czyli

. Stąd otrzymujemy także

odpowiedź do punktu c). a) Z ostatecznej postaci do której doprowadzono A mamy rz A=3 (otrzymaliśmy trzy
liniowo niezależne wiersze). d) Taki układ składa się np. z kolumn o numerach 1,3,4 (bo w ostatniej macierzy
te właśnie kolumny tworzą w oczywisty sposób maksymalny układ liniowo niezależny, a więc to samo jest
prawdziwe dla A). e) Wiadomo, że trzeba wybrać trzy liniowo niezależne wiersze, bo rząd wierszowy i rząd
kolumnowy są takie same. Z powyższego rachunku łatwo widać, że pierwsze trzy wiersze są liniowo zależne –
drugi wiersz da się wyrazić jako kombinacja liniowa 1 i 3 wiersza, a więc trzeba go odrzucić. Stąd odpowiedź
do e), mianowicie: 1,3 i 4 wiersz.

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

3. Obliczyć rząd w zależności od parametru a: a)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

4. Korz. z tw. Kroneck. - Capell. zbadać war. rozwiązalności: a)

⎩

⎨

⎧

−

)

(

)

(

⎩

⎨

⎧

−

)

(

)

(

)

(

)

(

5. Bez rozwiązywania układów do końca (tylko częściowo) przedyskutować ich rozwiązalność oraz liczbę
rozwiązań (ilość parametrów w rozwiązaniu ogólnym) na podstawie tw. Kroneckera-Capelli’ego:

[

]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

| B

; b)

[

]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

, B

; c)

[

]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

, B

;

[

]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

, B

; e)

[

]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

| B

;

[

]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

| B

Odp.: a), b) sprzeczny; c) dokł. 1 rozw.; d),e) 1 par.; f) 2 par.

Dodatkowe zadania z układów równań

Str. 31 z 46

4. Rozwiązać układy równań:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

⎪

⎪
⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

⎪

⎪
⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

⎪

⎪
⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

−

Wartości własne i wektory własne operatorów i macierzy.

Niech

F:V

→V będzie operatorem liniowym w przestrzeni V nad R lub C. Mówimy, że niezerowy

wektor v

∈V jest wektorem własnym operatora F, jeżeli istnieje skalar λ∈K taki, że Fv = λv (dla wektora

zerowego v=0, dowolna liczba

λ spełniałaby ten warunek, dlatego właśnie musimy założyć, że wektor v jest

niezerowy). Tę liczbę

λ nazywamy wtedy wartością własną operatora F i mówimy, że wektor własny v

odpowiada wartości własnej

λ. Ogólnie, dla dowolnej liczby λ zbiór - jak łatwo zauważyć - podprzestrzeń

(F) = {v

∈V: Fv = λv} = {v∈V: Fv – λv = 0} = {v∈V: (F – λI

)v=0}=(F –

λI

)

–1

({0})

składa się albo z samego wektora zerowego - i wtedy

λ nie jest wartością własną operatora F, albo jest

nietrywialna (niezerowa, tzn. należy do niej przynajmniej jeden wektor niezerowy) i wtedy

λ jest wartością

własną operatora F, zaś wspomniany zbiór V

(F) nazywamy wtedy podprzestrzenią własną operatora F.

Wymiar tej przestrzeni (przestrzeni własnej) jest oczywiście równy co najmniej 1.

Jeżeli V jest przestrzenią skończenie wymiarową (dim V = n<

∞), wybierzmy w niej dowolną bazę B,

niech A = M

(F) będzie macierzą operatora F w bazie B, zaś X = M

(v) będzie macierzą współrzędnych

szukanego wektora własnego v w bazie B. Wtedy równanie (F–

λI

)v=0 przyjmie postać

(A –

λI)X = 0,

czyli

–

λ)x

+ a

+ ... + a

= 0

+ (a

–

λ)x

+ ... + a

= 0

........................................................................

+ a

+ ... + (a

–

λ)x

= 0

(macierzą tego układu jest A, od której wszystkich wyrazów na przekątnej odjęto

λ, tzn. macierz A–λI). Ten

jednorodny układ n równań liniowych o n niewiadomych ma rozwiązania niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy
wyznacznik układu, det(A –

λI) , jest równy zeru: det(A – λI) = 0. Niech f(x) = det(A – xI) [niekiedy przyjmuje

się f(x) = det(xI – A), co różni się tylko współczynnikiem (–1)

]. Okazuje się, że f(x) jest wielomianem n-tego

stopnia, powiedzmy

f(x) = det (A – xI) = (–1)

+ a

n–1

+ ... + a

x + a

Str. 32 z 46

[współczynnik (–1)

przy najwyższej potędze powstaje tu z iloczynu wyrazów na przekątnej, tzn. (a

– x) (a

– x) ... (a

– x)]. Wielomian f(x) nazywamy wielomianem charakterystycznym operatora F.

Tak

więc zagadnienie znajdowania wartości własnych sprowadza się do znalezienia pierwiastków

równania n - tego stopnia (co na ogół jest zadaniem dość trudnym). W ciele liczb zespolonych istnieje zawsze n
pierwiastków tego równania - uwzględniając krotności. Pierwiastki te oznaczamy albo przez

, ...,

wypisując pierwiastki wielokrotne tyle razy, ile wynosi ich krotność, albo też wszystkie k parami różnych
pierwiastków oznaczamy przez

, ...

mówiąc, że ich krotnościami są m

, m

, ..., m

(oczywiście, m

+ m

+ ... +m

= n). Przy pierwszym z tych oznaczeń

)

)...(

)(

(

)

(

)

(

−

przy drugim zaś

)

...(

)

(

)

(

)

(

)

(

−

Mając już wyznaczone wartości własne

, dla każdej z nich rozwiązujemy wypisany już układ równań

liniowych z konkretnym

, co już jest problemem (przynajmniej teoretycznie) znacznie łatwiejszym - możemy

otrzymać kolejno pewne bazy wszystkich podprzestrzeni własnych

. Okazuje się, że wymiar

przestrzeni własnej nie może przekraczać krotności danej wartości własnej : 1

≤ dim

≤ m

,...,

dla i=1,2,...,k

(stosujemy drugi sposób numerowania wartości własnych).

1)

Znaleźć wartości własne i wektory własne następujących macierzy:

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

1 0 0
1 0 1
1 1 0

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

0 1

1 0

0 0

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

1 0

0 0

0 1

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

0 1 1
1 0 1
1 1 0

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

1 0

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

5 2

4 5

6 4

−

−
−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

2. Znaleźć wartości własne i wektory własne macierzy:

1 0 0
3 1 2
0 5 4

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

(odp.

λ=3±i); b)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

(odp.

λ=±4i); c)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

(odp.

=2, m

=2); d)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

(odp.

=1, m

=2, X=

α[–1,1,0]

β[–1,0,1]

;

=3, m

=1, X=

α[1,–5,3]

); e)

(odp.

λ=–1,

m=3, X=

α[1,1,–1]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

); f)

(odp.

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=1, m

=1, X=

α[1,1,1]

;

=2, m

=2, X=

α[1,1,0]+β[0.1.3]

);

Str. 33 z 46

(

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=1, m

= 2, X=

α[1,1,0]; λ

=2, m

=1, X=

α[2,1,1,]); h)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

(odp.

λ=2,

m=4, X=

α[0,0,1,1]

β[1,1,–1,0]

;

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

(odp.

λ=1, m=4, X=α[1,2,0,0]

β[0,1,1,2]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

cos

sin

cos

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

cos

sin

cos

;

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

(wsk.: w A–

λI, w

:=w

; 9,9,27).

3. Niech X będzie wektorem własnym macierzy A, odpowiadającym wartości własnej

λ. Co można powiedzieć

o wektorze X w stosunku do macierzy A

4. Wykazać, że macierz odwrotna do macierzy kwadratowej A istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy 0 nie jest
wartością własną macierzy A. Niech X będzie wektorem własnym macierzy A, odpowiadającym wartości
własnej

λ. Co można powiedzieć o wektorze X w stosunku do macierzy A

–1

Wektory w R

. Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany

Niech w przestrzeni R

, będą dane wektory

[

]

[

]

[

]

Iloczyn skalarny

: u·v = |u|·|v| cos(

∠ (u,v))

⋅

Własności:

⋅(v

)=u

⋅v

+ u

⋅v

;

+ u

)

⋅v = u

v + u

⋅v (addytywność);

(

αu)⋅v=α(u⋅v)=u⋅(αv) (jednorodność);

⋅v = v⋅u; u u≥0, przy czym u u=0 wtedy i tylko wtedy, gdy u=0; u u=|u|

;

⋅v=0 ⇔ u⊥v.

(porównaj właściwości ogólnego iloczynu skalarnego w dowolnej przestrzeni).

Iloczyn wektorowy:

u×v

⊥u,v, |u × v| = |u|·|v|sin(∠(u,v)) (długość iloczynu wektorowego to pole

równoległoboku); wektory u, v i u × v tworzą trójkę o orientacji zgodnej z orientacją wersorów i,j,k osi
współrzędnych.

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

Własności:

Str. 34 z 46

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

⇔

−

Iloczyn mieszany

⋅

[uvw]

(względna objętość równoległościanu rozpiętego

na danych wektorach))
Własności:

itp.

vw]

)vw]

[(u

[uwv]

[wvu]

[vuw]

[wuv]

[vwu]

[uvw]

−

c)b

b)c

c)b

⋅

−

⋅

−

⋅

)

(

(podwójny iloczyn wektorowy); ciekawostki:

d)(b

c)(b

⋅

−

⋅

[abc]d

[abd]c

[bcd]a

[acd]b

−

0) Niech A=(2,–1,4) i niech AB=[2,3,–1]. Obliczyć współrzędne punktu B.
Znaleźć długość wektora [–2, –1,4] i wersor tego wektora.
Znaleźć kąt między wektorami [5,–7,3] i [2,1,–1].
Znaleźć rzut wektora a=[2,1,–1] na kierunek wektora b=[4,5,3].
Znaleźć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach a=[3,1,0] i b=[4,–2,6].
Znaleźć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach a=[1,2,–2], b=[0,3,2], c=[2,3,4].
Czy wektory [2,–3,5] i [4,1,–1] są do siebie prostopadłe?
Czy punkty A(1,0,–1), B(0,–2,3), C(–1,2,5), D(6,7,–11) leżą na jednej płaszczyźnie?
Znaleźć przykład wektora prostopadłego do dwóch danych wektorów a=[1,1,–3] i b=[3,–2,1]
1) Sprawdzić, czy punkty A(–1,1,1), B(2,1,0), C(0,1,0) leżą na jednej prostej.
2) Wykazać, że współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi współrzędnych jego końców.
3) Znaleźć kąty wewnętrzne trójkąta o wierzchołkach A(2,–1,3), B(1,1,1), C(0,0,5)
4) Sprawdzić, czy trójkąt o wierzchołkach A,B,C jest prostokątny:

a) A(0,0), B(3,1), C(1,7)

b) A(1,0), B(–1,3), C(1,10) c) A(3,2,1), B(–1,6,5), C(5,3,2)

5) Obliczyć pole trójkąta ABC, A(0,0,2), B(2,1,1), C(–1,1,0)
6) Znaleźć wektor u, wiedząc że jest on prostopadły do v =[1,2,–3] i w =[–1,4,2] oraz że u·[4,5,1] = –150

W rombie ABCD dane są przekątne

= a

= b

. Wyrazić za pomocą wektorów a i b wektory:

⎯→

⎯

⎯→

⎯

⎯→

⎯

⎯→

⎯

⎯→

⎯

⎯→

⎯

8) Wektor a = [3,–2,1] przedstawić w postaci sumy dwóch wektorów, z których jeden jest prostopadły, a drugi

równoległy do wektora b = [–1,4,5]. Następnie zrobić to dla dwóch dowolnych wektorów a i b (b

≠0).

9) Dane są punkty A(4,–1,2a), B(a,2,4), C(–2,4,2), D(3–a, 1,–3). Dla jakich wartości parametru a iloczyn

skalarny

jest dodatni?

⎯→

⎯

⎯→

⎯

Str. 35 z 46

10) Dane są wektory a = [3,–2,1], b = [1,2,1], c = [–1,4,3]. Obliczyć

a) [(a – 2b) × c]×[(a · c)(b×c)]

b) [(b · c)(2c × a)] [(a – b)×(a + c)]

11) Znaleźć objętość czworościanu o wierzchołkach A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6), D(2,3,8).

Geometria analityczna w R

(część I)

• Płaszczyzna w R

• równ. ogólne: π: A(x – x

) + B(y – y

) + C(z – z

) = 0, gdzie v=[A,B,C]

⊥π, zaś (x

)

∈π .

• przedst. parametr.: π:

, gdzie u=[u

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

]||

π, v=[v

]||

π , (x

)

∈π

• Prosta w R

• przedst. parametr.:

, gdzie p

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=(x

)

∈l , zaś v=[a,b,c] || l; (czyli

)

• równanie krawędziowe:

gdzie [A

⎩

⎨

⎧

]×[A

]

≠ 0, czyli te

dwa wektory nie są do siebie równoległe (nie są proporcjonalne);

• równanie kierunkowe:

−

, gdzie (x

)

∈l , [a,b,c] || l.

• Odległość punktu (x

) od płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0: d =

• Odległość dwóch danych prostych

•

]

[

)

(

)

(

−

⋅

gdy pr. są skośne, tzn. licznik i mianownik we

wzorze są

≠ 0;

•

)

(

−

gdy te proste są równoległe, tzn. ich wektory kierunkowe są równoległe

(

0a. Znaleźć równanie prostej AB, gdzie A(2,–1,3), B(0,1,4).
b) Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt A(4,5,6) i równoległej do prostej x=–1+3t, y=1–2t, z=0.
c) Znaleźć równanie płaszczyzny, przechodzącej przez punkt A(1,–2,5) i prostopadłej do wektora [4,0,–1].
d) Znaleźć równanie prostej, przechodzącej przez punkt A(7,–6,–4) i prostopadłej do płaszczyzny
2x–y+z+7=0
e) Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(1,–2,5) i prostopadłej do prostej

−

(tzn. x = –1+3t, y=0, z=3+4t).

f) Znaleźć równanie płaszczyzny, zawierającej prostą

−

i równoległej do wektora [2,–1,1].

g) Znaleźć postać parametryczną prostej x+y+2z–3=0, 3x–y+5z–1=0.
h) Znaleźć rzut prostokątny punktu A(2,–1,3) na prostą x+y+2z–3=0, 3x–y+5z–1=0. Znaleźć też odległość
punktu A od tej prostej i punkt symetryczny do A względem tej prostej.
i) Znaleźć rzut punktu A(3,2,–4) na płaszczyznę x+2z+1=0. Znaleźć też odległość punktu A od tej płaszczyzny
i punkt symetryczny do A względem tej płaszczyzny.
j) Znaleźć kąt między płaszczyznami x+2y+3z+5=0 i 3x+2y+z+1=0.
k) Zbadać wzajemne położenie prostych

Str. 36 z 46

ka) l

: x=9t, y=5t, z=–3+t; l

: x=27–9t, y=15–5t, z=t. Odp. : identyczne.

kb) l

: 2x+3y=0, z–1=0 i l

: x+y–8=0, 2y+3z–7=0 Odp. skośne. Obliczyć też odległość między tymi prostymi.

kc) l

: x+z–1=0, x–2y+3=0 i l

3x+y–z+13=0. y+2z–8=0 Odp.: przecinają się. Znaleźć punkt przecięcia i

płaszczyznę, na której obie leżą. Odp.:A(–3,0,4),

π: 3x+4y+5z–11=0.

l) Dla jakich parametrów a i b prosta x=5–3t, y=9+4t, z= –2+at jest prostopadła do płaszczyzny
6x+by–10z+9=0

m) Dla jakich A i C płaszczyzna Ax–5y+Cz+6=0 zawiera prostą

−

n) Dla jakich A i B płaszczyzny 2x–y+11=0, x+z+1=0, Ax+By+3z–8=0
na) przecinają się wzdłuż pewnej prostej
nb) nie mają żadnego punktu wspólnego?
nc) przecinają się dokładnie w jednym punkcie?

1)

Znal. równ. płaszcz. H, a) przechodzącej przez P(1,5,1) i równoległej do u

= [–2,1,3] i u

= [1,4,–1];

przechodzącej przez P(2,4,–1) i równoległej do płaszczyzny 2x – y – 3z – 1 = 0;

przechodzącej przez P(3,5,7) i prostopadłej do płaszczyzn H

: x – y + 2z = 1 i H

:3x + y – z = –2;

przech. przez punkty A(2,–1,3), B(1,4,2) i równoległej do wektora u=[3,1,5];

przechodzącej przez punkty A(–1,2,4), B(2,1,3), C(3,–1,5).

Znaleźć równanie (tzn. przedstawienie param., z wyj. ew. p.-tu d) prostej przechodzącej przez P(2,3,1) oraz:

prostopadłej do

π: 5x – 3y + 2z – 1 = 0;b) prostopadłej do

⎩

⎨

⎧

−

i l

: x=

3t, y=–1+t, z= –t;

prostopadłej do prostej

−

i przecinającej prostą x = y = z;

przecinającej proste

−

oraz

−

(odp. można podać w postaci krawędziowej). Wskazówka: Prosta przechodząca przez dany punkt i
przecinająca daną prostą leży na płaszczyźnie wyznaczonej przez ten punkt i tę prostą.

Odp.:

⎩

⎨

⎧

−

Znal. równanie płaszczyzny, zawierającej proste

−

(o ile taka płaszczyzna istnieje).

Czy przez proste

⎩

⎨

⎧

−

⎩

⎨

⎧

−

można poprowadzić płaszczyznę?

Znaleźć rzut prostokątny punktu P(1,2,–2) na płaszczyznę x – 2y + 3z – 1 = 0. 6) Znaleźć punkt

symetryczny do punktu P(1,1,0) względem płaszczyzny x + 2y – z = 0. 7) Znaleźć rzut prostokątny punktu
P(3,5,4) na prostą l: x= –2t + 1, y = t, z = 5. 8) Znaleźć punkt symetryczny do punktu P(1,2,–2) wzgl. prostej l:
x = t, y = 2t – 3, z = –t + 2.

Znaleźć rzut prostokątny a) prostej

−

na płaszczyznę x + y + z = 0.

b) prostej x = 3+t, y = –1+2t, z = 4+4t na płaszczyznę 2x+y+z–7=0.
10)

Znaleźć równanie prostej, przechodzącej przez P(1,1,–2), prostopadłej do wektora [–1, 3, 4] i

przecinającej prostą

−

. (Odp.:

−

POWTÓRZENIE Z PRZESTRZENI LINIOWYCH I RZĘDU MACIERZY ZESTAW 1

Zad.1. a) Obliczyć macierz odwrotną do macierzy

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Str. 37 z 46

b) B=((1/0,0),(0/1/0),(0,0,1)), C=((3,1,3),(2,3,1),(4,2,2))

(C - tak jak kolumny macierzy A).
ba) Wektor v ma w bazie C współrzędne (kolumnę współrzędnych) [1,2,3]

. Jakie współrzędne ma ten wektor

w bazie B (tzn., jaki to po prostu wektor)?
bb) Jakie współrzędne ma wektor (1,0,0) w bazie C ?

Zad.2 a) Znaleźć rząd r macierzy A:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

b) Wskazać r liniowo niezależnych wierszy oraz r liniowo niezależnych kolumn w tej macierzy (to ostatnie jest
równoważne podaniu bazy przestrzeni im F dla operatora F o macierzy A w bazie standardowej).
c) Znaleźć bazę podprzestrzeni rozwiązań układu równań jednorodnych AX=0, (A - macierz z punktu a). Jest
to równoważne znalezieniu bazy ker F dla operatora F jak wyżej.
Zad. 3. W przestrzeni V wielomianów stopnia

≤3 o współczynnikach rzeczywistych rozważamy podzbiór W,

składający się ze wszystkich tych weV, dla których w(2)=0.
a) Wykazać, że W stanowi podprzestrzeń przestrzeni V.
b) Podać jakikolwiek przykład jej bazy (jest to równoważne problemowi znalezienia bazy jądra przekształcenia
liniowego).
Zad. 4. Zbadać liniową zależność wektorów: (1,1,1,2),(0,1,0,1) ,(1,–1,1,0).
Zad. 5. Przekształcenie F:R

——>R

dane jest wzorem F(x

) = (x

, 2x

+1). Zbadać, czy F jest

liniowe.
Zad. 6. Przekształcenie liniowe F:R

———>R

dane jest wzorem:

F (x

) = (x

+8x

+2x

+13x

, -x

+ x

+7x

+ x

a) Napisać macierz tego przekształcenia (w bazach standardowych).
b) Podać przykład bazy w przestrzeniach ker F i im F (jądro i obraz). Upewnić się, że dim ker F + dim im F
wynosi tyle, ile ma wynosić (tzn. ile ?).
c) Zbadać, czy wektor (5,8,4) należy do im F. Jeżeli tak, to znaleźć jego współrzędne w bazie znalezionej w
poprzednim punkcie.

Zad.7. Dana jest macierz

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

a) Znaleźć wartości własne i wektory własne tej macierzy (Wsk: w A–

λI, w

:=w

b)* Czy istnieje macierz nieosobliwa (odwracalna) N taka, że N

–1

AN jest pewną macierzą diagonalną

Λ? (duże

lambda)? Jeżeli tak, to podać przykład takiej macierzy N i podać

Λ. Uwaga: Jeżeli istnieją trzy różne wartości

własne, to obliczyć wektory własne tylko dla dwóch wartości własnych - trzeci traktować jako znany (oznaczyć
go przez [x

]

Zad.8. Obliczyć, w zależności od parametru a, rząd macierzy

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Algebra z geometrią - zadania na egzamin 26.01.2001 r. l) Wyznaczyć pierwiastki wielomianu w(z) oraz ich
krotności.

(I)

)

(

(II)

)

(

2) Rozwiązać układ równań

Str. 38 z 46

(I) metodą eliminacji
(II) metodą macierzową
3) Wyznaczyć wszystkie wartości własne macierzy A oraz wektory własne odpowiadające dowolnie wybranej

wartości własnej.

4) Zbadać rozwiązalność układu równań

ze względu na parametr zespolony a.

5) Wykazać, że proste

są (I) równoległe (II) skośne i obliczyć odległość między nimi.

Str. 39 z 46

Str. 40 z 46

Zestawy – opr. Ewa L.
ZESTAW 1 – LICZBY ZESPOLONE
1. Narysować liczbę zespoloną z i liczbę sprzężoną

, jeśli

a) z=3+4i ; b) z=1–5i ; c) z=–1–3i ; d) z=2i.

2. Wykonać następujące działania:
a) (1+2i)(2–4i); b) (3–5i)

; c) (4+2i)

; d) i

; e) (3–i)/(2+i); f) ((3–i)(3+2i))/((2–5i)i

3. Obliczyć

−

)

)(

(

−

4. Rozwiązać równania: a) z

+(Im z)

=9–6i; b) z

–|z|

=–8–6i; c) z

=–3+4i; d) z

12+9i.

5. Znaleźć moduł i argument następujących liczb zespolonych: 2, 2–2i,

)

(

−

, 3+4i, 3i, –4i.

Podać postać trygonometryczną.

6. Narysować zbiory: a) {z:Rez=2}; b) {z:1<Rez

≤3}, {z:Imz=–1}; {z:Re z=2 i (1≤Im z≤4}, {z:arg z=π/3}, {z:

arg z=

π}, {z:arg z=–π/6}, {z:|z|=2}; {z: |z|>3}, {z:1≤|z|≤3 i π/6<arg z<5π/4}, {z: |z+2–3i|=1}, {z: |z+2–3i|≤1},

{z: |z–1|

=Re z}

(7)

8. Znaleźć postać trygonometryczną liczb z

=–4–4i z

=2i–2

, a następnie obliczyć

, z

9. Rozwiązać równania z

= 2

+2i; z

=(–

+i)(1+i)

; z

=–8; z

=8; z

=–32i.

10. Rozwiązać równania z

+2z+5=0, z

–6z+25=0.

ZESTAW 3. MACIERZE, WYZNACZNIKI, MACIERZ ODWROTNA,

METODA MACIERZOWA ROZWIĄZYWANIA UKŁADU RÓWNAŃ, WZORY CRAMERA

Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układy równań:

; b)

(wskazówka: można oba jednocześnie)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

Znaleźć wszystkie zależności liniowe (tzn. ogólną postać zależności liniowej) dla wektorów [poniżej – zawsze
rozwiązanie odpowiedniego układu równań]:

Str. 41 z 46

a) (1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(0,2,1,1,),(1,2,1,2).

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

;

b) (1,0,–1,0,1),(1,1,0,0,–1),(–1,2,1,–1,3),(2,3,1,0,0),(6,4,–2,0,2),(6,–1,3,5,–8).

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

;

c) (1,–1,2,0,4),(1,0,3,–1,1),(2,0,0,1,3),(0,1,5,3,2),(–5,–1,10,–13,–12),(0,12,40,16,–1).

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

238

Znaleźć bazę jądra i bazę obrazu przekształcenia liniowego o macierzy

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

Str. 42 z 46

Rozw. Obraz jest rozpięty na kolumnach macierzy. Znajdujemy ogólną postać liniowych zależności pomiędzy
kolumnami macierzy. Przekształcając za pomocą operacji elementarnych na wierszach otrzymujemy kolejno:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

Baza jądra – np. (–3,1,–5,–5,0),(2,0,0,4,1); bazę obrazu stanowią np. pierwsza, trzecia i czwarta kolumna
macierzy (po przekształceniach te kolumny są liniowo niezależne, a zależności liniowe między kolumnami nie
zmieniają się przy operacjach elementarnych na wierszach), tzn. (2,2,–1,3,1),(4,–2,1,3,–1),(–4,2,2,0,4).
Z następującego układu wektorów wybrać układ liniowo niezależny, generujący tę samą przestrzeń, oraz
uzupełnić ten otrzymany układ do pewnej bazy przestrzeni R

=(2,0,1,3,–1),v

=(0,–2,1,5,–3),v

=(1,–1,1,4,–2),v

=(3,2,0,–2,2),v

=(4,–1,2,7,–3).

Wsk. W myśl ogólnej teorii wystarczy dopisać do tego układu pewien zbiór generujący przestrzeń, np. bazę
kanoniczną (zero-jedynkową) e

,...e

, i z powstałego układu wykreślać kolejno te wektory, które są kombinacją

liniową wektorów poprzedzających. Systematycznie badać wszystkie zależności liniowe między wektorami
możemy tworząc macierz A kolumnowo zapisanych współrzędnych i rozwiązując układ równań AX=0 za
pomocą operacji elementarnych na wierszach macierzy A:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

≅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

. Odp. Układ (v

) jest maksymalnym liniowo

niezależnym podzbiorem danego układu wektorów, a układ (v

) jest bazą przestrzeni R

Str. 43 z 46

POWIERZCHNIE W PRZESTRZENI

• Jeżeli powierzchnia w przestrzeni jest zadana równaniami parametrycznymi w postaci x=x(u,v),
y=y(u,v), z=z(u,v) – czyli r=r(u,v), gdzie u,v są parametrami przebiegającymi pewien obszar płaski D, to
płaszczyzna styczna do tej powierzchni (w ustalonym punkcie odpowiadającym pewnym wartościom
parametrów (u,v)) jest płaszczyzną rozpiętą na wektorach r

i r

, czyli o wektorze prostopadłym r

× r

W konsekwencji prosta normalna do tej powierzchni ma jako wektor kierunkowy również wektor r

× r

• Dana jest powierzchnia opisana równaniem F(x,y,z) = 0 i punkt A(x

, y

, z

) należący do tej

powierzchni tzn. F(x

, y

, z

) = 0. Wtedy gradient F w punkcie A, czyli wektor

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

)

(

jest wektorem normalnym do tej powierzchni w

punkcie A. W konsekwencji:
a) Płaszczyzna styczna

do tej powierzchni w punkcie A ma równanie:

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

−

∂

b) Prosta normalna

do tej powierzchni w punkcie A ma równanie:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

′

)

(

)

(

)

(

A)
1. Wykazać analitycznie, że wektor normalny do sfery x=r cos

ϕ cos θ, y=r sin ϕ cos θ, z=r sin θ w danym

punkcie jest proporcjonalny do promienia wodzącego tego punktu.
2. Wyprowadzić dwoma sposobami (tzn. traktując to najpierw jako pierwszy przypadek opisu powierzchni, a
potem jako drugi) wzory na wektor normalny do powierzchni z=f(x,y) w punkcie (x,y,f(x,y)).)
3. Napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni x=2u–v, y=u

, z=u

–v

w punkcie o

współrzędnych u=2, v=1. (Odp.: 18x+3y–4z–41=0.)
4. Napisać równanie prostej normalnej do powierzchni x=u+v, y=v–u, z=uv w punkcie (3,1,2). Odp.:x=3+3t,
y=1–t, z=2–2t.
5. Napisać równanie prostej normalnej i płaszczyzny stycznej do powierzchni x=u, y=u

–2v, z=u

–3uv w

punkcie (1,3,4).
6. Napisać równanie płaszczyzny stycznej do pseudosfery x = a sin u cos v, y = a sin u sin v,
z = a (ln tg(u/2)+cos u).
7. Znaleźć punkty torusa x=(a+b cos u) cos v, y=(a+b cos u) sin v, z = b sin u , w których normalna do tego
torusa jest prostopadła do płaszczyzny 3x+4y+5z–1=0
8. Udowodnić, że suma kwadratów długości odcinków wyznaczonych na osiach współrzędnych przez
płaszczyznę styczną do powierzchni x=u

sin

v, y=u

cos

v, z = (a

–u

)

3/2

jest stała.

B)
1)

Napisać równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do powierzchni w podanym punkcie:

a) z = arctg (y/x), w punkcie P

(1, 1,

π/4); b) z = 2x

+ y

, w punkcie P

(1,–1, 3); c) z = (x

–3axy+y

)/a

, w

punkcie (a,a,–a); d)

w punkcie (2,3,6). e) x

–2y

–3z

–4=0 w punkcie (3,1,–1).

Wykazać, że powierzchnie x + 2y – ln z + 4 = 0 i x

– xy – 8x + z + 5 = 0 są styczne do siebie w punkcie

(2,–3,1).

3) Wykazać, że płaszczyzna styczna do powierzchni

odcina na osiach układu

współrzędnych odcinki, których suma długości jest stała.
4) Na sferze x

+ y

+ z

= 676 znaleźć punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa do płaszczyzny

3x – 12y + 4z = 0. Napisać równanie płaszczyzny stycznej w tych punktach.
5a) Znaleźć równ. płaszcz. stycznej do sfery x

–8x–4z=205 i równoległej do płaszcz. 10x–11y-2z+3=0.

5b) Znaleźć równ. płaszczyzny stycznej do powierzchni 2x

+4xy+z

–10=0 i równol. do płaszcz.2x+y+z–10=0.

6) Na powierzchni x

+ 2y

+ 3z

+ 2xy + 2xz + 4yz = 8 znaleźć punkty, w których płaszczyzny styczne są

równoległe do płaszczyzn układu współrzędnych.

Str. 44 z 46

Napisać równanie płaszczyzn stycznych do paraboloidy 4z = x

+ y

w punktach jej przecięcia z prostą

x = y = z.
8)

Wykazać, że płaszczyzny styczne do powierzchni xyz = m

tworzą wraz z płaszczyznami układu

współrzędnych czworościan o stałej objętości.
9) Wykazać, że powierzchnie x

–2x=0, x

–4y=0 przecinają się pod kątem prostym.

10) Wykazać, że powierzchnie z=tg(xy), x

–y

=a przecinają się pod kątem prostym.

11) Wykazać, że powierzchnie 4x+y

=a, y=bz, y

=ce

przecinają się parami pod kątem prostym.

Własności różniczkowania funkcji wektorowej jednego parametru.
Jeżeli

)]

(

[

)

(

= r

r r

, to

)]

(

[

)

(

= r

Przy tym

(

⋅

(

]

[

]

[

]

[

Zadania wykraczające poza przyjęty zakres materiału

MACIERZE ODWROTNE

4*. Rozwiązać układ równań macierzowych: AX+BY=M, CX+DY=N, gdzie macierze A,B,C,D,M i N są dane,
a X i Y niewiadome, przy czym A,B,C,D są macierzami kwadratowymi n

×n odwracalnymi, M i N są

macierzami kwadratowymi n

×n i szukane macierze X i Y są również macierzami kwadratowymi n×n, przy

czym zakładamy dodatkowo, że macierz (A

–1

B–C

–1

D) jest odwracalna.

5*. Niech A, B - macierze rzeczywiste n

×n. Wykazać, że jeżeli istnieją

−

oraz

, to istnieje

i wyraża się wzorem

)

(

−

)

(

−

+ Bi

)

(

)

(

)

(

−

6*. Niech A będzie macierzą kwadratową o elementach z pewnego pierścienia przemiennego z 1. Dowieść, że
macierz odwrotna do A (o elementach z tego pierścienia) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy det A jest
elementem odwracalnym tego pierścienia.

10*. Znaleźć macierz odwrotną do macierzy

Odp.:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

11*. Znal. macierz odwr. do macierzy

. Odp.

(n -

wymiar danej macierzy).

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

...

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

...

)

(

...

)

(

...

)

(

...

Str. 45 z 46

12*. Znaleźć macierz odwrotną do macierzy

, gdzie I

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

, I

- macierze jednostkowe k

×k i l×l

odpowiednio, U - dowolna macierz k

×l, O - macierz zerowa. Odp.:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

13*. Znaleźć macierz odwrotną do macierzy postaci

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

× n, gdzie:

A jest macierzą nieosobliwą (n–1)

× (n–1), której odwrotność jest znana, B jest macierzą (n–1) × 1, C jest

macierzą 1

× (n–1), d jest liczbą rzeczywistą. Odp.

, gdzie

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

uCA

BCA

−

Dokładniej, macierz odwrotna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy

≠

−

, i wtedy macierz odwrotna

wyraża się wzorem jak wyżej.

WARTOŚCI WŁASNE I WEKTORY WŁASNE MACIERZY

2)*

Czy istnieje baza przestrzeni R

złożona z wektorów własnych następujących macierzy (A)? Jeśli tak, to

znaleźć ją; utworzyć macierz P, której kolumnami będą wektory znalezionej bazy, znaleźć macierz P

-1

obliczyć iloczyn P

-1

AP (niekoniecznie wykonując te żmudne mnożenia).

1 0 2
0 3 1
0 0 9

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

3 2

2 3

2 2

−
−

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

2 3

1 4

1 5

−
−

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

3 2

4 2

−
−
−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

2 4

4 8

3)*

Znaleźć macierz, której wartościami własnymi są

, a wektorami własnymi v

, v

= 1,

= 2,

= 3, v

, v

1
0
0

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

, v

1
1
0

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

1
1
1

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

= 2, v

, v

1
0
1

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

, v

2
1
0

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

1
2

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

= 1,

= 2, v

, v

1
1
0

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

, v

1
0
0

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

1
1
1

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

Str. 46 z 46

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Algebra Geometria analityczna i Nieznany (2)
sciaga algebra wzory, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr I, Matematyka, Algebra z Geometrią
Przykładowe pytania egzaminacyjne z algebry, Studia, Informatyka, Semestr I, Algebra z geometrią, Eg
Zadania na 2 kolokwium z algebry, Biotechnologia, SEMESTR 1, Algebra liniowa z geometrią analityczną
sciaga algebra dowody, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr I, Matematyka, Algebra z Geometri
sciaga algebra dowody 1, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr I, Matematyka, Algebra z Geomet
sciaga algebra definicje, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr I, Matematyka, Algebra z Geome
sciaga algebra dowody 2, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr I, Matematyka, Algebra z Geomet
Algebra, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr I, Matematyka, Algebra z Geometrią Analityczną,
Egzamin 2011 algebra id 151848 Nieznany
algebra Skrypt Algebra KSzW 201 Nieznany
3222142 d viii geometria analit Nieznany (2)
Algebra z geometrią teoria, przykłady, zadania
Analiza i Algebra liniowa semestr 2 Politechnika koszalińska kierunek informmatyka
Historia Kosciola skrypt semest Nieznany

więcej podobnych podstron