Analiza matematyczna 1

II kolokwium, 20 stycznia 2004

Na pierwszej stronie pracy prosz
napisa nazw
kursu, z którego odbywa si
kolokwium,
swoje imi
i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imi
i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzcej wiczenia), dat
oraz sporzdzi ponisz tabelk
. Po-
nadto prosz
ponumerowa i podpisa wszystkie pozostałe kartki pracy.

E1

1

2

3

4

Suma

Treci zada prosz
nie przepisywa. Rozwizanie zadania o numerze

naley napi-

n

a na

-tej kartce pracy. Na rozwizanie zada przeznaczono 60 minut, za rozwizanie

n

kadego zadania mona otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwizaniach naley dokładnie
opisywa przebieg rozumowania, tzn. formułowa wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytacza stosowane wzory, uzasadnia wycigane wnioski. Ponadto prosz
sporzdza

staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia !

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Uzasadni, e dla kadego

zachodzi nierówno

x ∈ R

.

e

x

≥

ex

Sporzdzi rysunek.

2. Obliczy

z dokładnoci do

.

ln 1, 02

10

−

5

3. Na osi

wyznaczy punkt

tak, aby suma jego odległoci od

Ox

M

punktów

była moliwie najmniejsza.

A = (

0, 3 ), B = ( 4, 5 )

4. Obliczy, stosujc dwa róne podstawienia, całk

.

dx

cos x

Zadanie dodatkowe. Blaszana misa ma kształt powierzchni obrotowej
uzyskanej w wyniku obrotu wokół osi

krzywej

dla

,

Oy

y =

0

0 ≤ x ≤ 1

dla

. Jaka jest pojemno tej misy?

y =

x −

1

1 ≤ x ≤ 2

Analiza matematyczna 1

II kolokwium, 20 stycznia 2004

Na pierwszej stronie pracy prosz
napisa nazw
kursu, z którego odbywa si
kolok-
wium, swoje imi
i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imi

i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzcej wiczenia), dat
oraz sporzdzi ponisz
tabelk
. Ponadto prosz
ponumerowa i podpisa wszystkie pozostałe kartki pracy.

F1

1

2

3

4

Suma

Treci zada prosz
nie przepisywa. Rozwizanie zadania o numerze

naley na-

n

pisa na

-tej kartce pracy. Na rozwizanie zada przeznaczono 60 minut, za roz-

n

wizanie kadego zadania mona otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwizaniach naley
dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn. formułowa wykorzystywane definicje
twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia wycigane wnioski. Ponadto pro-

sz
sporzdza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia !

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Uzasadni, e dla

zachodzi zwizek

x ≥

0

.

π
2

−

2 arctg x = arcsin

1 − x

2

1 + x

2

2. Znale wielomian, który na przedziale

przyblia funkcj

[−

1, 1 ]

f ( x ) = x

e

x

z bł
dem nie przekraczajcym

.

0, 01

3. Obliczy całk

.

( x + 1 + x − 1 ) dx

4. Obliczy całk

.

4

5

5 − 2x

(

x

2

−

5x + 6 )

2

dx

Zadanie dodatkowe. Obliczy obj
to bryły

powstałej z obrotu

V

wokół osi

obszaru ograniczonego osi

, prostymi

Oy

Ox

oraz wykresem funkcji

.

x =

π
3

, x =

π
2

f ( x ) =

cos x

2

Analiza matematyczna 1

II kolokwium, 20 stycznia 2004

Na pierwszej stronie pracy prosz
napisa nazw
kursu, z którego odbywa si
kolokwium,
swoje imi
i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imi
i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzcej wiczenia), dat
oraz sporzdzi ponisz tabelk
. Po-
nadto prosz
ponumerowa i podpisa wszystkie pozostałe kartki pracy.

G1

1

2

3

4

Suma

Treci zada prosz
nie przepisywa. Rozwizanie zadania o numerze

naley napisa

n

na

-tej kartce pracy. Na rozwizanie zada przeznaczono 60 minut, za rozwizanie

n

kadego zadania mona otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwizaniach naley dokładnie
opisywa przebieg rozumowania, tzn. formułowa wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytacza stosowane wzory, uzasadnia wycigane wnioski. Ponadto prosz
sporzdza

staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia !

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. W oparciu o wzór Maclaurina uzasadni, e

dla

.

2 +

x
4

−

x

2

64

<

4 + x < 2 +

x
4

x >

0

2. Wyznaczy przedziały wkl
słoci, wypukłoci oraz punkty przegi
cia

wykresu funkcji

.

f ( x ) =

x

2

+

2x + 1

x

2

+

2x + 2

3. Jaki kształt powinna mie cylindryczna puszka do piwa (bezalkoholo-

wego) o pojemnoci

, aby ilo blachy potrzebnej do jej wypro-

0, 5 l

dukowania była minimalna?

4. Stosujc podstawienie

obliczy całk

t =

cos x

.

sin

3

x

sin

2

x +

2 cos

2

x

dx

Zadanie dodatkowe. Obliczy pole obszaru

ograniczonego krzywymi

D

.

y =

ln x, y = ln

2

x

Analiza matematyczna 1

II kolokwium, 20 stycznia 2004

Na pierwszej stronie pracy prosz
napisa nazw
kursu, z którego odbywa si
kolok-
wium, swoje imi
i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imi

i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzcej wiczenia), dat
oraz sporzdzi ponisz
tabelk
. Ponadto prosz
ponumerowa i podpisa wszystkie pozostałe kartki pracy.

H1

1

2

3

4

Suma

Treci zada prosz
nie przepisywa. Rozwizanie zadania o numerze

naley na-

n

pisa na

-tej kartce pracy. Na rozwizanie zada przeznaczono 60 minut, za roz-

n

wizanie kadego zadania mona otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwizaniach naley
dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn. formułowa wykorzystywane definicje
twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia wycigane wnioski. Ponadto pro-

sz
sporzdza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia !

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Uzasadni, e dla kadego

zachodzi nierówno

x >

0

.

sh x > x

Sporzdzi rysunek.

2. Obliczy

z dokładnoci do

.

4

16, 4

2 ⋅ 10

−

4

3. Obliczy całk

.

6x − 1

x

2

+

2x + 4

dx

4. Liczc z definicji całk
oznaczon odpowiedniej funkcji znale

granic

.

lim

n→∞





1

1

2

+

2n

2

+

2

2

2

+

2n

2

+

... +

n

n

2

+

2n

2





Zadanie dodatkowe. Obliczy obj
to bryły

ograniczonej powierz-

V

chni powstał przy obrocie krzywej

dla

wokół

y =

ctg x

π
6

≤

x ≤

3π

4

osi

. Sporzdzi rysunek.

Ox