Analiza matematyczna 1
II kolokwium, 20 stycznia 2004
Na pierwszej stronie pracy prosz napisa nazw kursu, z którego odbywa si kolokwium,
swoje imi i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imi i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzcej wiczenia), dat oraz sporzdzi ponisz tabelk. Po-
nadto prosz ponumerowa i podpisa wszystkie pozostałe kartki pracy.
E1
1
2
3
4
Suma
Treci zada prosz nie przepisywa. Rozwizanie zadania o numerze
naley napi-
n
a na
-tej kartce pracy. Na rozwizanie zada przeznaczono 60 minut, za rozwizanie
n
kadego zadania mona otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwizaniach naley dokładnie
opisywa przebieg rozumowania, tzn. formułowa wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytacza stosowane wzory, uzasadnia wycigane wnioski. Ponadto prosz sporzdza
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia !
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Uzasadni, e dla kadego
zachodzi nierówno
x ∈ R
.
e
x
≥
ex
Sporzdzi rysunek.
2. Obliczy
z dokładnoci do
.
ln 1, 02
10
−
5
3. Na osi
wyznaczy punkt
tak, aby suma jego odległoci od
Ox
M
punktów
była moliwie najmniejsza.
A = (
0, 3 ), B = ( 4, 5 )
4. Obliczy, stosujc dwa róne podstawienia, całk
.
dx
cos x
Zadanie dodatkowe. Blaszana misa ma kształt powierzchni obrotowej
uzyskanej w wyniku obrotu wokół osi
krzywej
dla
,
Oy
y =
0
0 ≤ x ≤ 1
dla
. Jaka jest pojemno tej misy?
y =
x −
1
1 ≤ x ≤ 2
Analiza matematyczna 1
II kolokwium, 20 stycznia 2004
Na pierwszej stronie pracy prosz napisa nazw kursu, z którego odbywa si kolok-
wium, swoje imi i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imi
i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzcej wiczenia), dat oraz sporzdzi ponisz
tabelk. Ponadto prosz ponumerowa i podpisa wszystkie pozostałe kartki pracy.
F1
1
2
3
4
Suma
Treci zada prosz nie przepisywa. Rozwizanie zadania o numerze
naley na-
n
pisa na
-tej kartce pracy. Na rozwizanie zada przeznaczono 60 minut, za roz-
n
wizanie kadego zadania mona otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwizaniach naley
dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn. formułowa wykorzystywane definicje
twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia wycigane wnioski. Ponadto pro-
sz sporzdza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia !
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Uzasadni, e dla
zachodzi zwizek
x ≥
0
.
π
2
−
2 arctg x = arcsin
1 − x
2
1 + x
2
2. Znale wielomian, który na przedziale
przyblia funkcj
[−
1, 1 ]
f ( x ) = x
e
x
z błdem nie przekraczajcym
.
0, 01
3. Obliczy całk
.
( x + 1 + x − 1 ) dx
4. Obliczy całk
.
4
5
5 − 2x
(
x
2
−
5x + 6 )
2
dx
Zadanie dodatkowe. Obliczy objto bryły
powstałej z obrotu
V
wokół osi
obszaru ograniczonego osi
, prostymi
Oy
Ox
oraz wykresem funkcji
.
x =
π
3
, x =
π
2
f ( x ) =
cos x
2
Analiza matematyczna 1
II kolokwium, 20 stycznia 2004
Na pierwszej stronie pracy prosz napisa nazw kursu, z którego odbywa si kolokwium,
swoje imi i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imi i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzcej wiczenia), dat oraz sporzdzi ponisz tabelk. Po-
nadto prosz ponumerowa i podpisa wszystkie pozostałe kartki pracy.
G1
1
2
3
4
Suma
Treci zada prosz nie przepisywa. Rozwizanie zadania o numerze
naley napisa
n
na
-tej kartce pracy. Na rozwizanie zada przeznaczono 60 minut, za rozwizanie
n
kadego zadania mona otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwizaniach naley dokładnie
opisywa przebieg rozumowania, tzn. formułowa wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytacza stosowane wzory, uzasadnia wycigane wnioski. Ponadto prosz sporzdza
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia !
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. W oparciu o wzór Maclaurina uzasadni, e
dla
.
2 +
x
4
−
x
2
64
<
4 + x < 2 +
x
4
x >
0
2. Wyznaczy przedziały wklsłoci, wypukłoci oraz punkty przegicia
wykresu funkcji
.
f ( x ) =
x
2
+
2x + 1
x
2
+
2x + 2
3. Jaki kształt powinna mie cylindryczna puszka do piwa (bezalkoholo-
wego) o pojemnoci
, aby ilo blachy potrzebnej do jej wypro-
0, 5 l
dukowania była minimalna?
4. Stosujc podstawienie
obliczy całk
t =
cos x
.
sin
3
x
sin
2
x +
2 cos
2
x
dx
Zadanie dodatkowe. Obliczy pole obszaru
ograniczonego krzywymi
D
.
y =
ln x, y = ln
2
x
Analiza matematyczna 1
II kolokwium, 20 stycznia 2004
Na pierwszej stronie pracy prosz napisa nazw kursu, z którego odbywa si kolok-
wium, swoje imi i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imi
i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzcej wiczenia), dat oraz sporzdzi ponisz
tabelk. Ponadto prosz ponumerowa i podpisa wszystkie pozostałe kartki pracy.
H1
1
2
3
4
Suma
Treci zada prosz nie przepisywa. Rozwizanie zadania o numerze
naley na-
n
pisa na
-tej kartce pracy. Na rozwizanie zada przeznaczono 60 minut, za roz-
n
wizanie kadego zadania mona otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwizaniach naley
dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn. formułowa wykorzystywane definicje
twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia wycigane wnioski. Ponadto pro-
sz sporzdza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia !
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Uzasadni, e dla kadego
zachodzi nierówno
x >
0
.
sh x > x
Sporzdzi rysunek.
2. Obliczy
z dokładnoci do
.
4
16, 4
2 ⋅ 10
−
4
3. Obliczy całk
.
6x − 1
x
2
+
2x + 4
dx
4. Liczc z definicji całk oznaczon odpowiedniej funkcji znale
granic
.
lim
n→∞
1
1
2
+
2n
2
+
2
2
2
+
2n
2
+
... +
n
n
2
+
2n
2
Zadanie dodatkowe. Obliczy objto bryły
ograniczonej powierz-
V
chni powstał przy obrocie krzywej
dla
wokół
y =
ctg x
π
6
≤
x ≤
3π
4
osi
. Sporzdzi rysunek.
Ox