1

Podstawy Konstrukcji Maszyn

Wykład 2

Podstawy obliczeń elementów maszyn

Dr inż. Jacek Czarnigowski

Obciążenia elementu

Obciążeniem elementu (części lub całej maszyny) są

oddziaływania innych elementów, środowiska oraz
obciążeń wewnętrznych

Obciążenia powierzchniowe

Obciążenia objętościowe

2

Obciążenia elementu

P

1

P

2

P

3

P

n

Obciążenia powierzchniowe:

Siły czynne – „napędzające”

Siły bierne – „hamujące”

Obciążenia elementu

P

1

P

2

P

3

P

n

Obciążenia objętościowe:

Siły bezwładności i ciężaru

Obciążenia wewnętrzne – zmiana stanu wewnętrznego materiału

P

g

Oddziaływanie środowiska – ciśnienie itp.

3

Obciążenia elementu

P

1

P

2

Obciążenia wewnętrzne

P

3

P

n

P

g

Obciążenia elementu

P

1

P

2

Obciążenia wewnętrzne

W

W

2

W

n

W

1

4

Obciążenia elementu

W

2

W

n

W

1

Naprężenia

i

i

i

ś

r

A

W

=

ρ

A

W

A

0

lim

→

=

ρ

2

m

N

Pa

=

2

2

6

mm

N

1

m

N

10

MPa

1

=

=

Naprężenia

ρ

ρ

ρ

ρ

x

y

z

Naprężenie normalne

σ

Naprężenie styczne

τ

5

Naprężenia

x

y

z

Naprężenie normalne

Naprężenie styczne

σ

y

τ

x

τ

z

σ

z

τ

x

τ

y

σ

x

τ

y

τ

z

3

6

Klasyfikacja obciążeń

Rozciąganie lub ściskanie

A

P

r

=

σ

A

P

c

=

σ

6

Klasyfikacja obciążeń

Ścinanie

A

T

t

=

τ

Klasyfikacja obciążeń

Zginanie

x

x

g

g

W

l

P

W

M

⋅

=

=

σ

Oś obojętna przedmiotu

7

Klasyfikacja obciążeń

Skręcanie

o

o

s

s

W

r

P

W

M

⋅

=

=

τ

Środek ciężkości przekroju

Wskaźniki bezwładności przekroju

O – środek ciężkości

X – oś obojętna

Y – oś obojętna

W

x

W

y

W

o

8

Wskaźniki bezwładności przekroju

X

Y

d

A

x

y

Moment bezwładności przekroju względem osi obojętnej

∫

=

A

x

dA

y

J

2

∫

=

A

y

dA

x

J

2

Wskaźniki bezwładności przekroju

X

Y

d

A

x

y

Moment bezwładności przekroju względem środka ciężkości

y

x

A

o

J

J

dA

r

J

+

=

=

∫

2

r

9

Wskaźniki bezwładności przekroju

X

Y

x

max

y

max

max

x

J

W

x

x

=

max

y

J

W

y

y

=

Wskaźnik bezwładności przekroju względem osi obojętnej

Wskaźniki bezwładności przekroju

X

Y

r

max

max

r

J

W

o

o

=

Wskaźnik bezwładności przekroju względem środka ciężkości

10

Wskaźniki bezwładności przekroju

Typowe przekroje

64

4

d

J

J

y

x

⋅

=

=

π

32

4

d

J

J

J

y

x

o

⋅

=

+

=

π

32

2

3

d

d

J

W

W

x

y

x

⋅

=

=

=

π

16

2

3

d

d

J

W

o

o

⋅

=

=

π

Wskaźniki bezwładności przekroju

Typowe przekroje

12

3

h

b

J

x

⋅

=

12

3

b

h

J

y

⋅

=

(

)

12

2

2

b

h

h

b

J

J

J

y

x

o

+

⋅

⋅

=

+

=

6

2

2

h

b

h

J

W

x

x

⋅

=

=

6

2

2

b

h

b

J

W

y

y

⋅

=

=

2

2

2

2

6

h

b

h

b

h

b

J

W

o

o

+

⋅

⋅

=

+

=

11

Wskaźniki bezwładności przekroju

Typowe przekroje

obrys

Wewnetrzny

obrys

y

Zewnetrzyn

J

J

J

−

=

(

)

64

64

64

4

4

4

4

d

D

d

D

J

J

y

x

−

⋅

=

⋅

−

⋅

=

=

π

π

π

(

)

32

32

32

4

4

4

4

d

D

d

D

J

o

−

⋅

=

⋅

−

⋅

=

π

π

π

(

)

D

d

D

D

J

W

W

x

y

x

⋅

−

⋅

=

=

=

32

2

4

4

π

(

)

D

d

D

D

J

W

o

o

⋅

−

⋅

=

=

16

2

4

4

π

Złożony stan naprężeń

Zasada superpozycji – obciążenia można traktować
jako oddzielne, a łączyć wyniki ich oddziaływania na
element

b

h

l

P

P

P

x

P

y

Obliczenie

naprężeń

składowych

Rozciąganie

Zginanie
Ścinanie

Naprężenia
zastępczego

12

Złożony stan naprężeń

Składanie naprężeń

Tego samego typu (styczne lub normalne)

Różnych typów (styczne i normalne)

Składanie geometryczne wektorów

Hipoteza Hubera

Złożony stan naprężeń

Składanie naprężeń – Hipoteza Hubera

Hipoteza Hubera (polski uczony z XIX wieku) – hipoteza energii
odkształcenia postaciowego oparta na założeniu, że naprężenia
styczne inaczej oddziaływają na element niż naprężenia normalne.
Przy czym możliwe jest obliczenie naprężenia zastępczego o
identycznej energii odkształcenia „ziarna” elementu jak wspólne
działanie naprężeń stycznych i normalnych.

2

2

3

w

w

z

τ

σ

σ

⋅

+

=

13

Złożony stan naprężeń

2

2

3

w

w

z

τ

σ

σ

⋅

+

=

Składanie naprężeń – Hipoteza Hubera

w

w

τ

σ

2

1

>

gdy

2

2

3

1

w

w

z

τ

σ

τ

+

=

gdy

w

w

σ

τ

⋅

>

2

Gdzie:

w

σ

- Wypadkowe naprężenie normalne

w

τ

- Wypadkowe naprężenie styczne

Przykład 02.1

b = 10 mm

h = 30 mm

l = 100 mm

Obliczyć naprężenia
maksymalne przekroju przy
mocowaniu elementu

P = 2 kN

α

= 30

o

P

x

P

y

y

x

y

z

P

x

= P sin

α

α

α

α

= 2000 sin 30

o

= 1000 N

P

y

= P cos

α

α

α

α

= 2000 cos 30

o

= 1732 N

14

Przykład 02.1

b = 10 mm

h = 30 mm

l = 100 mm

Obciążenia należy zredukować
do środka ciężkości
rozpatrywanego przekroju
zastępując je odpowiednimi
siłami i momentami

P = 2 kN

α

= 30

o

P

x

P

y

y

x

y

z

Przykład 02.1

b = 10 mm

h = 30 mm

l = 100 mm

P

x

= 1000 N

y

x

y

z

Rozciąganie

h

b

P

A

P

x

x

r

⋅

=

=

σ

MPa

33

,

3

mm

N

33

,

3

30

10

1000

2

=

=

⋅

=

r

σ

15

Przykład 02.1

b = 10 mm

h = 30 mm

l = 100 mm

P

y

y

x

y

z

Ścinanie

h

b

P

A

P

y

y

t

⋅

=

=

τ

MPa

77

,

5

mm

N

77

,

5

30

10

1732

2

=

=

⋅

=

t

τ

Przykład 02.1

l = 100 mm

P

y

y

x

y

z

M

g

= P l

Zginanie

2

2

6

6

h

b

l

P

h

b

l

P

W

M

y

y

z

g

g

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

=

σ

MPa

47

,

115

mm

N

47

,

115

mm

mm

N

47

,

115

30

10

100

1732

6

2

3

2

=

=

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

g

σ

16

Przykład 02.1

Rozciąganie

MPa

33

,

3

=

r

σ

Ścinanie

MPa

77

,

5

=

t

τ

Zginanie

MPa

47

,

115

=

g

σ

normalne

normalne

styczne

Przykład 02.1

Rozciąganie

MPa

33

,

3

=

r

σ

Ścinanie

MPa

77

,

5

=

t

τ

Zginanie

MPa

47

,

115

=

g

σ

sumują

odejmują

17

Przykład 02.1

Rozciąganie

MPa

33

,

3

=

r

σ

Ścinanie

MPa

77

,

5

=

t

τ

Zginanie

MPa

47

,

115

=

g

σ

sumują

Maksymalne

Naprężenia zastępcze – zgodnie z hipotezą Hubera

MPa

8

,

118

47

,

115

33

,

3

=

+

=

+

=

g

r

w

σ

σ

σ

MPa

77

,

5

=

=

t

w

τ

τ

Przykład 02.1

Maksymalne

Naprężenia zastępcze – zgodnie z hipotezą Hubera

MPa

8

,

118

47

,

115

33

,

3

=

+

=

+

=

g

r

w

σ

σ

σ

MPa

77

,

5

=

=

t

w

τ

τ

MPa

22

,

119

77

,

5

3

8

,

118

3

2

2

2

2

=

⋅

+

=

⋅

+

=

w

w

z

τ

σ

σ

18

Naprężenia dopuszczalne

Warunek wytrzymałościowy

x

Z

k

=

≤

σ

x

Z

k

=

≤

τ

k – naprężenie dopuszczalne [MPa]

Z – granica wytrzymałości [MPa]

x – współczynnik bezpieczeństwa

Naprężenia dopuszczalne

Naprężenia dopuszczalne są określane oddzielnie dla:
- każdego materiału,
- każdego typu obciążenia,
- 3 typów zmienności obciążenia.

Rozciąganie:

k

r

Ściskanie:

k

c

Zginanie:

k

g

Skręcanie:

k

s

Ścinanie:

k

t

19

Zmienność obciążeń

Klasyfikacja obciążeń:

Obciążenia stałe

Obciążenia zmienne

Wartość, kierunek i zwrot

nie ulegają zmianie w czasie

Wartość, kierunek lub zwrot

(jedna lub wiele z

powyższych) ulega zmianie

w czasie

Naprężenia dopuszczalne przy
obciążeniu stałym

Do określania naprężenia dopuszczalnego przy naprężeniach
stałych przyjmuję się jako granicę wytrzymałości wartość granicy
plastyczności

R

e

R

0,2

lub doraźnej wytrzymałości

R

m

(dla

materiałów kruchych).

Odkształcenie

R

m

20

Naprężenia dopuszczalne przy
obciążeniu stałym

Dla materiałów kruchych (np. żeliwo)

m

m

x

R

k

=

x

m

= 3,5

Dla materiałów z wyraźną granicą plastyczności (np. stal)

e

e

x

R

k

=

x

e

= 2

÷

2,3

Dla materiałów z umowną granicą plastyczności

e

x

R

k

2

,

0

=

x

e

= 2

÷

2,3