MATEMATYKA - WFiIS, Informatyka stosowana, I rok, grupa 3

Zestaw 8 - Caªka nieoznaczona

Zadanie 1. Oblicz:

a) R (5x

2

− 6x + 3 −

2

x

+

5

x

2

)dx

b) R

(x

2

−1)

3

x

dx

c) R

x

1+x

2

dx

d) R

x

(x

2

+3)

6

dx

e) R

x

3

√

x+

4

√

x

x

2

dx

f) R

x

√

x−x

4

√

x

3

√

x

dx

g) R

3+5

3

√

x

2

√

x

3

dx

h) R

√

3x + 5dx

i) R

√

ax + bdx

j) R

2x

3

√

2x

2

+1

dx

k) R

x

q

x

2

−

1
6

dx

l) R

6x

2

5

√

x

3

+3

dx

m) R

x

√

e

x

2

dx

n) R xe

−x

2

dx

o) R x

√

a

2

− x

2

dx

p) R tgxdx

r) R ctgxdx

s) R

tgx

cos

2

x

dx

t) R

1+

√

ctgx

sin

2

x

sx

u) R

3

√

tgx+3

cos

2

x

dx

v) R

cos

√

x

√

x

dx

w) R

cos x

1+4 sin

2

x

dx

(2 razy podst.)

x) R sin

5

x cos xdx

y) R cos xe

sin x

dx

z) R

dx

x ln x

ab) R

ln

5

x

x

dx

bc) R

ctgx

ln (sin x)

dx

cd) R 6

1−x

dx

de) R

dx

x ln x ln (ln x)

(2 razy podst.)

ef) R arctgxdx

fg) R arcsin xdx

gh) R arccos xdx

hi) R x sin xdx

ij) R x

n

ln xdx

jk) R x

3

e

x

dx

(kilka razy p.cz.)

kl) R ln xdx

lm) R ln

2

x

(2 razy p.cz.)

mn) R e

x

cos xdx

no) R

√

x ln xdx

op) R x

3

ln

2

xdx

pr) R x

2

e

−2x

3

+1

dx

rs) R x

3

e

2x

4

+5

dx

st) R

x

√

2x

2

+3

dx

tu) R

x

3

√

4x

4

+1

dx

uv) R x

2

e

x

dx

vw) R x ln

2

xdx

wx) R x cos xdx

xy) R x

2

cos xdx

yz) R x

2

sin xdx

abc) R

√

1 − x

2

dx

bcd) R x3

x

dx

cde) R

x

cos

2

x

dx

def) R x

√

4 − x

2

dx

efg) R

√

5 ln x+7

x

dx

fgh) R sin

2

xdx

ghi) R

cos x

2 sin

3

x

dx

hij) R

2x

2

√

4x

3

+5

dx

ijk) R 5(sin x)

9

cos xdx

jkl) R x

7

cos x

4

dx

klm) R (2x + 3) ln xdx

lmn) R sin x cos xe

cos x

dx

mno) R

tgx

(cos x)

2

e

tgx

dx

nop) R x ln (9 + x

2

)dx

opr) R (x

2

+ 3) sin 3xdx

prs) R

(ln x)

3

x

dx

rst) R

√

ln x

x

dx

stu) R

x

2

2+x

3

dx

Zadanie 2. Oblicz:

a) R

dx

(3x+5)

6

b) R

dx

2x+3

c) R

2x−1
2x+1

dx

d) R

x+2

3x+4

dx

e) R

2x−3

x

2

−3x+3

dx

f) R

4x+3

2x

2

+3x+1

dx

g) R

1

2x−3x

2

dx

h) R

5x

2+3x

dx

i) R

dx

6x

2

−13x+6

j)

dx

−x

2

+6x−5

k) R

dx

x

2

−6x+13

l) R

dx

2x

2

−2x+5

m) R

x+13

x

2

−4x−5

dx

n) R

4x−5

2x

2

−5x+3

dx

o) R

x

4

x

2

+1

dx

p) R

x+6
x+5

dx

q) R

x+2

2x+3

dx

r) R

x+6

3x+8

dx

s) R

x+7

2x+9

dx

t) R

dx

3x

2

+3x

1

u) R

3x+5
x

2

+1

dx

v) R

6x−3
2x+1

dx

Zadanie 3. Oblicz:

a) R

7x

2

+7x−176

x

3

−9x

2

+6x+56

dx

b) R

x

3

−4x

2

+1

(x−2)

4

dx

c) R

3x

2

−5x+2

x

3

−2x

2

+3x−6

dx

d) R

x

4

x

2

+1

dx

e) R

2x

4

−10x

3

+21x

2

−20x+5

x

2

−3x+2

dx

f) R

17x

2

−x−26

(x

2

−1)(x

2

−4)

dx

g) R

2x

(x

2

+1)(x

2

+3)

dx

h) R

6x

3

+4x+1

x

4

+x

2

dx

i) R

dx

x

3

+x

2

+x

j) R

dx

x

4

+x

2

+1

k) R

dx

x

4

+64

l) R

x

3

−2x

2

+5x−8

x

4

−8x

2

+16

dx

Zadanie 4. Oblicz:

a) R

3

√

x

x+

6

√

x

5

dx

b) R

√

2x + 1dx

c) R

1

√

4x+3

dx

d) R

dx

3

√

3x−4

e) R x

3

√

x − 4dx

f) R

x

2

3

3

√

x+2

dx

g) R

dx

x

√

x+a

h) R

dx

x

√

x−a

i) R

1+

√

x

1−

√

x

dx

j) R

dx

√

x+2

3

√

x

2

k) R

√

x−1

(x−1)

2

√

x−2

dx

l) R

8x+3

√

4x

2

+3x+1

dx

m) R

dx

√

2x−x

2

n) R

dx

√

7−6x−x

2

o) R

x+3

√

1−4x

2

dx

p) R

x

√

−3x

2

−2x+1

dx

q) R

x+1

√

−x

2

+2x+8

dx

r) R

dx

√

x

2

+3x+2

s) R

dx

√

4x

2

+3x−1

t) R

dx

√

x

2

−x+m

u) R

dx

√

(x−a)(x−3a)

v) R

3x+2

√

x

2

−5x+19

dx

w) R

x+a

√

x

2

−ax

dx

x) R

√

−x

2

− 2x + 3dx

y) R

√

x

2

− 3x + 2dx

z) R

x

2

√

1−x

2

dx

ab) R

q

x

1−x

dx

bc) R

2x

2

+3x+1

√

x

2

+1

dx

cd) R

x

3

−x+1

√

x

2

+2x+2

dx

de) R x

√

−x

2

+ x + 6dx

ef) R

dx

(x+1)

√

x

2

−1

fg) R

dx

(x+1)

√

1+2x−3x

2

gh) R

dx

(x

2

+1)

√

x

2

−1

Zadanie 5. Oblicz:

a) R sin (ax) cos (bx)dx

b) R sin

7

xdx

c) R sin

4

xdx

d) R sin

4

x cos

3

xdx

e) R sin

2

x cos

2

xdx

f) R

dx

sin x

g) R

dx

cos

x
2

h) R

dx

sin x cos x

i) R tgxdx

j) R ctgxdx

k) R

dx

sin

2

x cos

2

x

l) R sin

2

xdx

m) R cos

2

xdx

n) R tg

2

xdx

o) R ctg

2

xdx

p) R tg

4

xdx

q) R ctg

4

xdx

r) R

cos

3

x

sin

4

x

dx

s) R

sin x

cos

2

x

dx

t) R cos(5x) cos(7x)dx

u) R sin(2x) sin(5x)dx

v) R sin(3x) cos(2x)dx

w) R sin

3

xdx

x) R sin

4

xdx

y) R sin

2

(2x)dx

z) R cos

5

xdx

ab) R tg

5

xdx

bc) R sin

5

x cos

2

xdx

cd) R sin

3

x cos

3

xdx

de) R

cos x

sin

8

x

dx

ef) R sin xtgxdx

fg) R

sin (2x)

√

1+cos

2

x

dx

gh) R

dx

sin

3

x

hi) R

dx

cos

3

x sin x

ij) R

dx

5+4 cos x

jk) R

3+sin

2

x

2 cos

2

x−cos

4

x

dx

kl) R

sin x cos x

1+sin

4

x

dx

lm) R cos

7

xdx

2

Zadanie 6. Oblicz:

a) arcsin x R dx

b) arccos x R dx

c) arctgx R dx

d) arcctgx R dx

e) x

2

arctgx

R dx

f) R

dx

(1+9x

2

)

√

arctg3x

g) R

xarctgx

(1+x

2

)

2

dx

h) R

arcsin(e

x

)

e

x

dx

i) R x(1 + x

2

)arctgxdx

Zadanie 7. Oblicz:

a) R ln xdx

b) R log

p

xdx

c) R

dx

x ln x

d) R ln(x

2

+ 1)dx

e) R (ln x)

2

dx

f) R ln(x+

√

x

2

+ 1)dx

g) R

dx

3

x

+1

h) R (e

3x

+

√

e

x

)dx

i) R

dx

e

x

+e

−x

j) R

e

x

−e

−x

2

dx

k) R

e

x

−e

−x

e

x

+e

−x

dx

l) R

dx

√

3+2e

x

m) R

e

x

e

x

+5

dx

n) R

e

x

√

3−5e

2x

dx



Powodzenia.

El»bieta Sowa



Odpowiedzi

Odpowiedzi mog¡ nieco ró»ni¢ sie w zale»no±ci od zastosowanych przeksztaªce« np. funkcji try-

gonometrycznych typu sin(2x) = 2 sin x cos x, itp. Z góry przepraszam za ewentualne bª¦dy, przy

takiej ilo±ci przykªadów mogªy si¦ jakie± wkra±¢.

Zadanie 1.

a)

5
3

x

3

− 3x

2

+ 3x − 2 ln |x| −

5

x

+ C

b)

x

6

6

−

3
4

x

4

+

3
2

x

2

− ln |x| + C

c)

1
2

ln (1 + x

2

) + C

d)

−1

10(x

2

+3)

5

+ C

e) 3x

1
3

−

4
3

x

−

3
4

+ C

f)

6

13

x

13

6

−

12
23

x

23
12

+ C

g) −6x

−

1
2

+ 30x

1
6

+ C

h)

2
9

(3x + 5)

3
2

+ C

i)

2

3a

(ax + b)

3
2

+ C

j)

3
4

(2x

2

+ 1)

2
3

+ C

k)

q

x

2

−

1
6

+ C

l)

5
2

(x

2

+ 3)

4
5

+ C

m) −e

1
x

+ C

n) −

1
2

e

−x

2

+ C

o) −

1
3

(a

2

− x

2

)

3
2

+ C

p) − ln | cos x| + C

r) ln | sin x| + C

s)

1
2

tg

2

x + C

t) −ctgx −

2
3

(ctgx)

3
2

+ C

u)

3
4

(tgx + 3)

4
3

+ C

v) 2 sin

√

x + C

w)

1
2

arctg(2 sin x) + C

x)

1
6

sin

6

x + C

y) e

sin x

+ C

z) ln | ln |x|| + C

ab)

1
6

ln

6

x + C

bc) ln | ln | sin x|| + C

cd)

−1

ln 6

6

1−x

+ C

de) ln | ln | ln |x||| + C

ef) xarctgx −

1
2

ln (1 + x

2

) + C

fg) xarctgx +

√

1 − x

2

+ C

3

gh) xarccosx −

√

1 − x

2

+ C

hi) sin x − x cos x + C

ij)

x

n+1

n+1

(ln x −

1

n+1

) + C

jk) (x

3

− 3x

2

+ 6x − 6)e

x

+ C

kl) x(ln x − 1) + C

lm) x(ln

2

x − 2 ln x − 2) + C

mn)

1
2

e

x

(sin x + cos x) + C

no)

2
3

x

√

x(ln x −

2
3

) + C

op)

x

4

4

(ln

2

x −

1
2

ln x −

1
6

) + C

pr) −

1
6

e

−2x

3

+1

+ C

rs)

1
8

e

2x

4

+5

+ C

st)

1
2

√

2x

2

+ 3 + C

tu)

1
8

√

4x

4

+ 1 + C

uv) e

x

(x

2

− 2x + 2) + C

vw)

x

2

2

(ln

2

x − ln x +

1
2

) + C

wx) x sin x + cos x + C

xy) x

2

sin x + 2x cos x − 2 sin x + C

yz) −x

2

cos x + 2x sin x + 2 cos x + C

abc)

1
2

arcsin x +

x
2

√

1 − x

2

+ C

bcd)

x

ln 3

3

x

−

1

ln

2

3

3

x

+ C

cde) xtgx − ln | cos x| + C

def) −

1
3

p(4 − x

2

)

3

+ C

efg)

2

15

p(5 ln x + 7)

3

+ C

fgh)

x
2

−

1
4

sin 2x + C

ghi)

−1

4 sin

2

x

+ C

hij)

1
3

√

4x

3

+ 2 + C

ijk)

1
2

sin

10

x + C

jkl)

1
4

(x

4

sin (x

4

) + cos (x

4

)) + C

klm) (x

2

+ 3x) ln x −

x

2

2

− 3x + C

lmn) e

cos x

(1 − cos x) + C

mno) e

tgx

(tgx − 1) + C

nop)

1
2

(9 + x

2

)[ln (9 + x

2

) − 1] + C

opr) −

1
3

(x

2

+ 3) cos 3x +

2
9

x sin 3x +

2

27

cos 3x + C

prs)

1
4

ln

4

x + C

rst)

2
3

(ln x)

3
2

+ C

stu)

1
3

ln |x

3

+ 2| + C

Zadanie 2.

a) −

1

15

1

(3x+5)

5

+ C

b)

1
2

ln |2x + 3| + C

c) x − ln |2x + 1| + C

d)

x
2

+

2
9

ln |3x + 4| + C

e) ln |x

2

− 3x + 3| + C

f) ln |2x

2

+ 3x + 1| + C

g)

1
2

ln |x| −

1
2

ln |2 − 3x| + C

h)

1
3

ln |3x + 2| + C

i)

1
5

ln |

2x−3
3x−2

| + C

j)

1
4

ln |

x−1
x−5

| + C

k)

1
2

arctg

x−3

2

+ C

l)

1
3

arctg

2
3

(x −

1
2

) + C

m) ln |

(x−5)

3

(x+1)

2

| + C

n) ln |2x

2

− 5x + 3| + C

o)

x

3

3

− x + arctgx + C

p) x + ln |x + 5| + C

q)

x
2

+

1
4

ln |2x + 3| + C

r)

x

3

+

10

9

ln |3x + 8| + C

s)

x
2

+

5
4

ln |2x + 9| + C

t)

1
3

ln |

x

x+1

| + C

u)

3
2

ln (x

2

+ 1) + 5arctgx + C

v) 3x − 3 ln |2x + 1| + C

Zadanie 3.

a) 8 ln |x − 7| + 2 ln |x − 4| − 3 ln |x + 2| + C

b)

7+2(x−2)+2(x−2)

2

3(x−2)

3

+ ln |x − 2| + C

c)

4
7

ln |x − 2| +

17
14

ln(x

2

+ 3) +

1

7

√

3

arctg

x

√

3

+ C

d)

x

3

3

− x + arctgx + C

e)

2
3

x

3

− 2x

2

+ 5x +

3
2

ln |x

2

− 3x + 2| −

1
2

ln |

x−2
x−1

| + C

f)

1
3

ln |

(x−1)

5

(x−2)

10

(x+1)

4

(x+2)

11

| + C

4

g)

1
2

ln(

x

2

+1

x

2

+3

) + C

h) ln(x

6

+ x

4

) −

1
x

− arctgx + C

i) ln |

x

√

x

2

+x+1

| −

√

3

3

arctg

2x+1

√

3

+ C

j)

1
4

ln |

x

2

+x+1

x

2

−x+1

| +

1

2

√

3

[arctg

2x+1

√

3

+ arctg

2x−1

√

3

] + C

k)

1

128

ln |

x

2

+4x+8

x

2

−4x+8

| +

1

64

[arctg

x+2

2

+ arctg

x−2

2

] + C

l)

1
2

[ln(x

2

+ 4) −

1

x

2

+4

] − arctg

x
2

+ C

Zadanie 4.

a) 3

3

√

x − 6

6

√

x + 6 ln |

6

√

x + 1| + C

dla x > 0

b)

1
3

p(2x + 1)

3

+ C

c)

√

4x+3

2

+ C

d)

3

√

(3x+4)

2

2

+C

e)

3
7

(x−4)

7
3

+3(x−4)

4
3

+C

f)

3
8

(x+2)

8
3

−

12

5

(x+2)

5
3

+6(x+2)

2
3

+C

g)

1

√

a

ln |

√

x+a−

√

a

√

x+a+

√

a

| + C

h)

2

√

a

arctg

q

x−a

a

+ C

i) −x − 4

√

x − ln |1 −

√

x| + C

j)

3
2

3

√

x −

3
2

6

√

x +

3
4

ln |2

6

√

x + 1| + C

k) ln |

1+

q

x−1
x−2

1−

q

x−1
x−2

| + C

l) 2 ln |

√

4x

2

+ 3x + 1| + C

m) arcsin (x − 1) + C

n) arcsin

x+3

4

+ C

o) −

1
4

√

1 − 4x

2

+

3
2

arcsin (2x) + C

p) −3

√

−3x

2

− 2x + 1 −

1
3

arcsin

3x+1

2

+ C

q) 2 arcsin

x−1

3

−

√

−x

2

+ 2x + 8 + C

r) ln |2x + 3 +

√

4x

2

+ 12x + 8| + C

s)

1
2

ln |2x +

3
4

+

√

4x

2

+ 3x − 1| + C

t) ln |x −

1
2

+

√

x

2

− x + m| + C

u) ln |x − 2a + p(x − a)(x − 3a)| + C

v) ln |x −

5
2

+

√

x

2

− 5x + 19| + C

w)

√

x

2

− ax +

3
2

a ln |x −

a
2

+

√

x

2

− ax| + C

x) (x + 1)

√

−x

2

− 2x + 3 + 4 arcsin

x+1

2

+ C

y)

1
2

(x −

3
2

)

√

x

2

− 3x + 2 −

1
8

ln |x −

3
2

+

√

x

2

− 3x + 2| + C

z)

1
2

arcsin x −

x

2

√

1 − x

2

+ C

ab) −

√

x

3

− 2x

2

+ 2x − arcsin

√

1 − x

2

+ C

bc) (x + 3)

√

x

2

+ 1 + C

cd)

1
6

(2x

3

− 5x − 1)

√

x

2

+ 2x + 2 +

5
2

ln |x + 1 +

√

x

2

+ 2x + 2| + C

de) 12(4x

2

− x −

51

2

) +

25

4

arcsin

2x−1

5

+ C

ef)

q

x−1
x+1

+ C

dla x > 1, −

q

x−1
x+1

+ C

dla x < 1

fg) ±

1
2

arcsin

2x

x+1

+ C

gh)

√

2

4

ln |

√

2x+

√

x

2

−1

√

2x−

√

x

2

−1

| + C

Zadanie 5.

a) −

1

2(a+b)

cos(a + b) −

1

2(a−b)

cos(a − b) + C

b) − cos x + cos

3

x −

3
5

cos

5

x −

1
7

cos

7

x + C

c) −

1
4

sin

3

x cos x +

3
8

x −

3

16

sin(2x) + C

d)

1
5

sin

5

x −

1
7

sin

7

x + C

e)

x

8

+

1
4

sin

3

x cos x −

1

16

sin(2x) + C

f) ln |tg

x

2

| + C

g) ln |tg(

π

4

+

x
2

)| + C

h) ln |tgx| + C

i) − ln | cos x| + C

j) ln | sin x| + C

k) tgx − ctgx + C

5

l)

x
2

−

1
4

sin(2x) + C

m)

x
2

+

1
4

sin(2x) + C

n) tgx − x + C

o) −ctgx − x + C

p)

1
3

tg

3

x − tgx + x + C

q) −

1
3

ctg

3

x + ctgx + x + C

r) −

1
3

cos

2

x

sin

3

x

+

2

3 sin x

+ C

s)

1

cos x

+ C

t)

1

24

sin(12)x +

1
4

sin(2x) + C

u)

1
6

sin(3x) −

1

14

sin(7x) + C

v) −

1

10

cos(5x) −

1
2

cos x + C

w)

1
3

cos

3

x − cos x + C

x) − cos x sin

3

x +

3
8

x −

3

32

sin(4x) + C

y)

x

2

−

1
8

sin(4x) + C

z) sin x −

2
3

sin

2

x +

1
5

sin

5

x + C

ab)

1
4

tg

4

x −

1
2

tg

2

x − ln | cos x| + C

bc)

1
7

cos

7

x +

2
5

cos

5

x −

1
3

cos

3

x + C

cd) cos

4

x(

1
6

cos

2

x −

1
4

) + C

de) −

1

7 sin

7

x

+ C

ef) − sin x + ln |tg(

x

2

+

π

4

)| + C

fg) −2

√

cos

2

x + 1 + C

gh) −

cos x

2 sin

2

x

+

1
2

ln |tg

x
2

| + C

hi) ln | sin x| +

1

2 cos

2

x

+ C

ij)

2
3

arctg(

1
3

tg

x

2

) + C

jk) 2tgx +

1

√

2

arctg(

√

2tgx) + C

kl)

1
2

arctg(2tg

2

x + 1) + C

lm) sin x − sin

3

x +

3
5

sin

5

x +

1
7

sin

7

x + C

Zadanie 6.

a) x arcsin x+

√

1 − x

2

+ C

b) x arccos x−

√

1 − x

2

+ C

c) xarctgx−

1
2

ln(1 + x

2

) + C

d) xarcctgx +

1
2

ln(1 + x

2

) + C

e)

x

3

3

arctgx −

x

2

6

+

1
6

ln(1 + x

2

) + C

f)

2
3

√

arctg3x + C

g)

x+(x

2

−1)arctgx

4(x

2

+1)

+ C

h) −

arcsin (e

x

)

2e

x

+

1
2

ln |tg(

arcsin(e

x

)

2

)| + C

i) −

x
4

−

x

3

12

+

1
4

arctgx

cos

2

(arctgx)

+ C

Zadanie 7.

a) x(ln x−1)+C

b)

x(ln x−1)

ln p

+C

c) ln | ln x|+C

d) x[ln(x

2

+1)−2]+2arctgx+C

e) x(ln

2

x − 2 ln x + 2) + C

f) x ln |x +

√

x

2

+ 1| −

√

x

2

+ 1 + C

g)

1

ln 3

ln

3

x

3

x

+1

+ C

h)

e

3x

3

+ 2

√

e

x

+ C

i) arctg(e

x

) + C

j)

e

x

+e

−x

2

+ C

k) ln(e

x

+ e

−x

) + C

l)

1

√

3

ln |

√

2e

x

+3−

√

3

√

2e

x

+3+

√

3

| + C

m) ln(e

x

+ 5) + C

n)

1

√

5

arcsin(

q

5
3

e

x

) + C



6