MATEMATYKA - WFiIS, Informatyka stosowana, I rok, grupa 3

Zestaw 4 - Granica i ci¡gªo±¢ funkcji jednej zmiennej

Zadanie 1. Oblicz granice nast¦puj¡cych funkcji :

a) lim

x→2

x

2

+4

x+2

b) lim

x→2

x

2

−4

x−2

c) lim

x→−

1
2

4x

2

−1

2x+1

d) lim

x→2

x

3

−8

x−2

e) lim

x→3

27−x

3

x−3

f) lim

x→3

x

2

−4x+3

2x−6

g) lim

x→−1

x

2

−1

x+1

h) lim

x→−2

x+2

x

5

+32

i) lim

x→4

x

2

−2x−8

x

2

−9x+20

j) lim

x→−5

x

3

+125

2x

2

−50

k) lim

x→−2

3x

2

+5x−2

4x

2

+9x+2

l) lim

x→1

x

5

−1

x−1

m) lim

x→0

√

1+mx−1

x

n) lim

x→25

√

x−5

x−25

o) lim

x→∞

√

x

2

+1−

√

x+1

1−

√

x+1

p) lim

x→−2

1
2

x

2

+

1
2

x−1

x

2

+5x+6

r) lim

x→−1

x

2

−2x−3

2x

2

+6x+4

s) lim

x→−1

x

2

+5x+4

x

2

−2x−3

t) lim

x→−1

x

2

−x−2

x

2

+4x+3

u) lim

x→−2

x

2

+x−2

x

2

+6x+8

v) lim

x→−2

x

2

+5x+6

x

2

−x−6

Zadanie 2. Oblicz granice nast¦puj¡cych funkcji :

a) lim

x→0

sin 6x

4x

b) lim

x→0

6x

7 sin 2x

c) lim

x→

π

2

sin x

x

d) lim

x→

π

2

cos x

x−

π

2

(Wskazówka: Zastosowa¢ wzory redukcyjne.)

e) lim

x→0

tgx

4x

f) lim

x→0

2tg

2

x

3x

2

g) lim

x→8

8−x

sin

π

8

(8−x)

h) lim

x→0

sin 2x
sin 5x

i) lim

x→0

tg2x

tgx

j) lim

x→π

1+cos x

sin

2

x

(Wskazówka: jedynka trygonometryczna)

k) lim

x→

π

4

sin x−sin

π

4

cos x−cos

π

4

(Wskazówka: sin a − sin b = 2 cos

a+b

2

sin

a−b

2

, cos a − cos b = −2 sin

a+b

2

sin

a−b

2

)

l) lim

x→0

arctgx

x

m) lim

x→

1
2

arcsin(1−2x)

4x

2

−1

n) lim

x→0

(1 − 3x)

1
x

o) lim

x→0

(1 + kx)

n
x

p) lim

x→0

e

x

−1

sin x

r) lim

x→0

3

x

−2

x

x

s) lim

x→0

sin(sin x)

x

t) lim

x→0

1−cos(1−cos x)

x

4

(Wskazówka:1 − cos x = 2 sin

2 x

2

)

u) lim

x→∞

1+

10

x−5

x

v) lim

x→0

sin 2x

3 sin 3x

w) lim

x→∞

1+

5

x+2

2x

x) lim

x→0

sin 7x

2x

y) lim

x→0

tg3x

tg7x

z) lim

x→−2

(3 + x)

1

x+2

ab) lim

x→−2

(5 + 2x)

1

x+2

bc) lim

x→3

(x − 2)

1

x2−9

Zadanie 3. Stosuj¡c denicj¦ Heinego granicy funkcji, wyka», »e nie istniej¡ granice:

a) lim

x→∞

sin x

b) lim

x→0

1

1+e

1

x

c) lim

x→4

[

√

x]

d) lim

x→∞

cos x

1

e) lim

x→0

sin

1

x

Zadanie 4. Obliczaj¡c granice lewo- i prawostronne, zbadaj czy istniej¡ granice:

a) lim

x→0

|x|

x

b) lim

x→1

x

x−1

c) lim

x→8

1

(2x−16)

2

d) lim

x→−2

x

2

+3x−2

x

2

−4

e) lim

x→5

xe

1

x−5

f) lim

x→−5

xe

1

x+5

(Wi¦cej przykªadów pojawi si¦ w kontek±cie wyznaczania asymptot funkcji.)

Zadanie 5. Wska» punkty nieci¡gªo±ci nast¦puj¡cych funkcji:

a) y =

x−1
x+1

b) y =

2

1−x

2

c) y = tgx

d) y =

x

x

2

+1

Zadanie 6. Zbadaj ci¡gªo±¢ nast¦puj¡cych funkcji:

a) f(x) =



x

2

−25

x+5

dla

x 6= −5

−10

dla

x = −5

b) f(x) =



sin x

x

dla

x 6= 0

1

dla

x = 0

c) f(x) =







x

2

dla

x ∈ (−1, 1)

1
2

dla

x = 1

0

dla

x > 1

d) f(x) =

 x

2

+ 4

dla

x ≤ 0

3x − 1 dla

x > 0

e) f(x) =







x − 1

dla

x ≤ −1

−2

dla

− 1 < x < 0

2x − 2 dla

x ≥ 0

f) f(x) =







x

2

− 1 dla

x ≤ 0

0

dla

0 < x < 1

log x

dla

x ≥ 1

Zadanie 7. Dla jakich warto±ci parametrów a, b ∈ R funkcja f jest ci¡gªa?

a) f(x) =







−3

x+2

dla

x ≤ −1

ax + b

dla

− 1 < x < 4

1

x−3

− 2 dla

x ≥ 4

b) f(x) =







2

x+2

dla

x ≤ −3

ax + b

dla

− 3 < x ≤ 2

1

1−x

− 1 dla

x > 2



Powodzenia.

El»bieta Sowa



Odpowiedzi

Zadanie 1.

2

a) 2

b) 4

c) -2

d) 12

e) -27

f) 1

g) -2

h)

1

80

i) -6

j) −

15

4

k) 1

l) 5

m)

m

2

n)

1

10

o) ∞

p) −

3
2

r) -2

s) −

3
4

t) −

3
2

u) −

3
2

v) −

1
5

Zadanie 2.

a)

3
2

b)

3
7

c)

2

π

d) -1

e)

1
4

f)

2
3

g)

8

π

h)

2
5

i) 2

j)

1
2

k) -1

l) 1

m) −

1
2

n) e

−3

o) e

kn

p) 1

r) ln

3
2

s) 1

t)

1
8

u) e

10

v)

2
9

w) e

10

x)

7
2

y)

3
7

z) e

ab) e

2

bc) e

1
6

Zadanie 3.

a) np. {x

n

} = πn

, {y

n

} =

π

2

(2n − 1)

b) np. {x

n

} =

1

n

, {y

n

} = −

1

n

c) np. {x

n

} = 4 −

1

n

, {y

n

} = 4 +

1

n

d) np. {x

n

} = 2πn

, {y

n

} =

π

2

+ 2πn

e) np. {x

n

} =

1

2πn

, {y

n

} =

1

π

2

+2πn

Zadanie 4.

a) nie

b) nie

c) tak

d) nie

e) nie

f) nie

Zadanie 5.

a) x = −1

b) x = 1, x = −1

c) x = (2k + 1)

π

2

,

k ∈ Z

d) ci¡gªa ∀x ∈ R

Zadanie 6.

a) ci¡gªa dla x ∈ R

b) ci¡gªa dla x ∈ R

c) ci¡gªa dla x ∈ R \ {1}, x = 1 punkt nieci¡gªo±ci

d) ci¡gªa dla x ∈ R \ {0}, x = 0 punkt nieci¡gªo±ci

e) ci¡gªa dla x ∈ R

f) ci¡gªa dla x ∈ R \ {0}, x = 0 punkt nieci¡gªo±ci

3

Zadanie 7.

a) a =

2
5

, b = −

13

5

a) a = −

1
2

, b = −1



4