MATEMATYKA - WFiIS, Informatyka stosowana, I rok, grupa 3

Zestaw 7 - Pochodna funkcji jednej zmiennej - ci¡g dalszy

Zadanie 1. Oblicz korzystaj¡c z denicji:

a) f

0

(2)

gdy f(x) =

√

4x + 1

b) f

0

(−1)

gdy f(x) = −2x

3

+ 5x

c) f

0

(1)

gdy f(x) =

1

x+1

d) f

0

(2)

gdy f(x) = x +

1

x

Zadanie 2. Korzystaj¡c z denicji zbadaj, czy istnej¡ pochodne nast¦puj¡cych funkcji w punkcie
x

0

= 0

:

a) f(x) =



x sin

1
x

dla

x 6= 0

0

dla

x = 0

b) f(x) = x·|x|

c) f(x) =



x

2

sin

1

x

dla

x 6= 0

0

dla

x = 0

Zadanie 3. Badaj¡c granice jednostronne rozstrzygnij, czy istniej¡ pochodne nast¦puj¡cych funkcji

we wskazanych punktach:

a) f(x) =



x

2

+ x + 1

dla

x ≥ 1

3x

2

dla

x < 1

w x

0

= 1

b) f(x) =



xarctg

1

x

dla

x 6= 0

0

dla

x = 0

w x

0

= 0

c) f(x) =

p

1 − e

−x

2

w x

0

= 0

Zadanie 4. Oblicz pochodne w podanych punktach (je±li istniej¡).

a) f

0

(1)

je±li f(x) =



−2x

2

+ 3x + 1

dla

x ≤ 1

x

2

− 3x + 4

dla

x > 1

b) f

0

(2)

je±li f(x) =



−x

2

+ x

dla

x ≤ 2

x

2

− 7x + 8 dla x > 2

c) f

0

(0)

je±li f(x) =



0

dla

x > 0

x(x + 1)

2

dla

x ≤ 0

d) f

0

(3)

je±li f(x) =



x

2

+ 4x − 4

dla

x < 3

5x + 2

dla

x ≥ 3

e) f

0

(0)

je±li f(x) =



xarctgx

dla

x 6= 0

0

dla

x = 0

Zadanie 5. Dobierz parametry a, b (lub a, b, c i d) tak, by funkcja f byªa ró»niczkowalna na R.

a)f(x) =



sin x

dla

x < 0

ax

2

+ bx

dla

x ≥ 0

b)f(x) =







ax + b

dla

x ≤ 0

cx

2

+ dx

dla

x ∈ (0, 1]

1 −

1

x

dla

x > 1

Zadanie 6. Dana jest funkcja f : R → R okre±lona wzorem

f (x) =







ax + 1

dla

x < −2

3 − x

dla

x ∈ [−2, 3)

x

2

+ x + b

dla

x ≥ 3

.

1

Dobierz parametry a i b, tak by funkcja f byªa ci¡gªa na R. Czy jest ona wówczas ró»niczkowalna

na R?

Zadanie 7. Zbadaj, czy istnieje f

000

(0)

, je±li f(x) = |x|

3

.

Zadanie 8. Korzystaj¡c z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczy¢ pochodn¡ f

−1

w

punkcie y=f(x).

a) f(x) = ctgx; gdy x ∈ [0, π]

b) y = e

x

Zadanie 9. Na danej kuli o promieniu R opisa¢ sto»ek o najmniejszej obj¦to±ci.

Zadanie 10. Jaki wycinek nale»y usun¡¢ z koªa o promieniu R, by z pozostaªej cz¦±ci mo»na

byªo utworzy¢ sto»ek o najwi¦kszej pojemno±ci?

Zadanie 11. Udowodnij, »e:

a) ln(1 + x) >

arctgx

1+x

dla x ≥ 0

b) 2 ln x < x −

1
x

dla x > 1

Zadanie 12. Niech f(x) = x

2
3

. Czy x

0

= 0

to punkt minimum lokalnego funkcji f? (Wskazówka:

Wykorzystaj warunek konieczny istnienia ekstremum.)

Zadanie 13. Korzystaj¡c z wªasno±ci Darboux udowodnij, »e równanie 4

x

= x

2

ma dokªadnie

jeden pierwiastek ujemny.

Zadanie 14. Napisa¢ równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f(x) = ln x w punkcie o

odci¦tej x

0

= 1

.

Zadanie 15. Na paraboli y = x

2

obrano dwa punty P

1

i P

2

o odci¦tych x

1

= 1

oraz x

2

= 3

.

Przeprowadzono przez te punkty prost¡ sieczn¡. Korzystaj¡c z twierdzenia Lagrange'a o przy-

rostach poda¢ punkt, w którym styczna do paraboli jest równolegªa do siecznej.

Zadanie 16. Niech g(x) = x

6

− x

5

− 6x

4

+ x

2

− x − 6

. Korzystaj¡c z twierdzeia Rolle'a uzasadnij,

»e równanie g

0

(x) = 0

ma rozwi¡zanie w przedziale [−2, 3].

Zadanie 17. Korzystaj¡c z twierdzenia Rolle'a uzasadnij, »e wielomian w(x) = 2x

5

−

130

3

x

3

+

360x + 5

nie mo»e mie¢ dwóch ró»nych pierwiastków w przedziale (−2, 2).

Zadanie 18. Niech f(x) = x

2

+ x − 6

. Bez liczenia pochodnej uzasadnij, »e istnieje c ∈ (−3, 2)

takie, ze f

0

(c) = 0

.

Zadanie 19. Oblicz przybli»on¡ warto±¢ wyra»e«.

a) ln(0, 96)

b) e

2,97

Zadanie 20. Kraw¦d¹ sze±cianu zmierzono z dokªadno±ci¡ 1mm i otrzymano 125mm. Z jak¡ w

przybli»eniu dokªadno±ci¡ mo»na obliczy¢ pole powierzchni caªkowitej tego sze±cianu?

Zadanie 21. Stosuj¡c wzór Maclaurina oblicz e

2

z dokªadno±ci¡ 0, 001.

Zadanie 22. Korzystaj¡c z reguªy de l'Hospitala oblicz granice funkcji.

a) lim

x→+∞

(cos

1

x

)

x

b) lim

x→+∞

(

1

x

)

e

−x

c) lim

x→0

(cos x)

1

x2

2

Zadanie 23. Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji.

a) y =

x

arctgx

b) y = x ln (e +

1

x

)

c) y = xarctgx + 3

1
x

d) y = (x + 1) ln (

2x+1

x+1

)

e) y = xarcctgx + 2

1
x

f) y = x ln

2x

x−2



Powodzenia.

El»bieta Sowa



Odpowiedzi

Zadanie 1.

a)

2
3

b) −1

c) −

1
9

d)

3
4

Zadanie 2.

a) nie istnieje

b) istnieje

c) istnieje

Zadanie 3.

a) nie istnieje

b) nie istnieje

c) nie sitnieje

Zadanie 4.

a) −1

b) −3

c) nie istnieje

d) nie istnieje

e) nie istnieje

Zadanie 5.

a) a ∈ R, b = 1

b) a = −1, b = 0, c = 1, d = −1

Zadanie 6.

a = 2, b = −12

, nie ró»niczkowalna na R

Zadanie 7.

nie istnieje

Zadanie 8.

a)

−1

1+y

2

b)

1
y

Zadanie 9.

Obj¦to±¢ minimalna to

16

3

πR

3

, przy wysoko±ci sto»ka h = 4R (lub promieniu podstawy sto»ka

r = R

√

2

).

Zadanie 10.

Nale»y wyci¡¢ wycinek o k¡cie ±rodkowym α = 2(1 −

q

2
3

)π

.

3

Zadanie 12.

nie

Zadanie 14.

y = x − 1

Zadanie 15.

Punkt (2, 4).

Zadanie 19.

a) −0, 04

b) 0, 97e

3

Zadanie 20.

15cm

2

Zadani 20.

Wystarczy rozwin¡¢ do n = 4.

Zadanie 22.

a) 1

b) 1

c) e

−

1
2

Zadanie 23.

a) brak asymptoty pionowej, asymptota uko±na w +∞ to y =

2

π

x

, za± w −∞ to y = −

2

π

x

b) x = −

1
e

asymptota pionowa lewostronna, za± y = x +

1
e

to asymptota uko±na w +∞ i −∞

c) x = 0 asymptota pionowa prawostronna, y =

π

2

x

to asymptota uko±na w +∞, y = −

π

2

x

to asymptota uko±na w −∞

d) x = −

1
2

asymptota pionowa prawostronna, y = (x + 1) ln 2 −

1
2

asymptota uko±na w +∞

i −∞

e) x = 0 asymptota pionowa prawostronna, y = 2 asymptota pozioma w +∞, y = πx + 2

asymptota uko±na w −∞

f) x = 2 asymptota pionowa prawostronna, y = x ln 2 + 2 asymptota uko±na w +∞ i −∞



4